32空空间间向量的向量的应应用用32.1直直线线的方向向量与平面的法向量的方向向量与平面的法向量第第3章空章空间间向量与立体几何向量与立体几何学习导航学习导航第第3章空章空间间向量与立体几何向量与立体几何学学习习目目标标1.理解直理解直线线的方向向量与平面的法向量的方向向量与平面的法向量(难难点点)2能用向量能用向量语语言表示言表示线线线线、线线面、面面的平行面、面面的平行关系关系(重点重点)学法学法指指导导直直线线的方向向量和平面的法向量分的方向向量和平面的法向量分别别用来刻画用来刻画直直线线和平面的和平面的“方向方向”，为为判断判断线线线线、线线面、面、面面关系提供了一个面面关系提供了一个崭崭新的思路新的思路.1.直直线线l的方向向量的方向向量我我们们把直把直线线l上的向量上的向量e(e0)以及与以及与e共共线线的非零向量叫做的非零向量叫做_2.法向量法向量如果表示非零向量如果表示非零向量n的有向的有向线线段所在直段所在直线线垂直于平面垂直于平面，那么，那么称向量称向量n垂直于平面垂直于平面，记记作作_，此，此时时，我，我们们把向量把向量n叫做平面叫做平面的的_直直线线l的方向向量的方向向量n法向量法向量1下列下列说说法中不正确的是法中不正确的是_(填序号填序号)平面平面的一个法向量垂直于与平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量；共面的所有向量；一个平面的所有法向量互相平行；一个平面的所有法向量互相平行；如果两个平面的法向量垂直，那么如果两个平面的法向量垂直，那么这这两个平面也垂直；两个平面也垂直；如果如果a，b与平面与平面共面且共面且na，nb，那么，那么n就是平面就是平面的的一个法向量一个法向量2在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1的所有棱、面的所有棱、面对对角角线线、体、体对对角角线线所所对应对应的向量中的向量中,是平面是平面A1B1CD的法向量的是的法向量的是_3设设l1的方向向量的方向向量a(1，2，2)，l2的方向向量的方向向量b(2，3，m)，若，若l1l2，则则m_4已知已知A(1，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，1)，则则平面平面ABC的一个的一个单单位法向量是位法向量是_2直直线线的方向向量的的方向向量的应应用用设设a、b分分别别是直是直线线l1、l2的方向向量，根据下列条件判的方向向量，根据下列条件判断直断直线线l1、l2的位置关系：的位置关系：(1)a(1，2，1)，b(3，6，3)；(2)a(1，2，2)，b(2，3，2)解解(1)因因为为(3，6，3)3(1，2，1)，所以所以b3a，所以所以l1l2.(2)因因为为ab(1，2，2)(2，3，2)(1)2(2)(3)2(2)0，所以所以ab，所以所以l1l2. 方法方法归纳归纳 利用直利用直线线的方向向量可以判断两条直的方向向量可以判断两条直线线的平行、垂直关系：的平行、垂直关系：设设直直线线l1、l2的方向向量分的方向向量分别为别为a、b，则则l1l2(或或l1与与l2重合重合)abakb；l1l2ab0.1.在空在空间间直角坐直角坐标标系中，已知点系中，已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，P是是线线段段AB上的一点，且上的一点，且满满足足APPB12试试求点求点P的坐的坐标标求求给给定坐定坐标标系下的平面的法向量系下的平面的法向量已知平面已知平面经过经过三点三点A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，试试求平面求平面的一个法向量的一个法向量(链链接教材接教材P90T2) 方法方法归纳归纳 用待定系数法求平面的法向量用待定系数法求平面的法向量，关关键键是在平面内找两个不共是在平面内找两个不共线线向量向量, ,设设出平面的法向量出平面的法向量，列出方程列出方程组组，求出的三个坐求出的三个坐标标不不是具体的是具体的值值, ,而是比例关系而是比例关系，取其中一取其中一组组解解(非零向量非零向量)即可即可2.已知三点已知三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则则平面平面ABC的的单单位法向量位法向量为为_正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱的所有棱长长都都为为2，D为为CC1的的中点，中点，试试建立适当的坐建立适当的坐标标系，求平面系，求平面A1AD的一个法向量的一个法向量(链链接教材接教材P88例例1)先建系再求法向量先建系再求法向量 方法方法归纳归纳 平面的法向量就是平面法平面的法向量就是平面法线线的方向向量的方向向量，因此可以先确定平因此可以先确定平面的法面的法线线，再取它的方向向量也可以直接再取它的方向向量也可以直接设设定向量与平面定向量与平面内的两条相交直内的两条相交直线线垂直垂直，从而得到平面的法向量从而得到平面的法向量3.已知正方体已知正方体AC1的棱的棱长为长为1，试试建立适当的坐建立适当的坐标标系，并写出系，并写出下列平面的一个法向量下列平面的一个法向量(1)平面平面ABCD；(2)平面平面ADD1A1；(3)平面平面ABC1D1；(4)平面平面A1BC1.名名师师解解题题直直线线的方向向量与平面的法向量的的方向向量与平面的法向量的综综合合问题问题本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键键退出全屏播放退出全屏播放