第2章 连续时间系统时域分析主要内容主要内容: :1、微分方程式的建立与求解2、起始点的跳变(从0-到0+)3、零输入响应与零状态响应4、冲激响应与阶跃响应5、卷积及其性质SIGNALS AND SYSTEMS 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院本章内容特点：本章内容特点：1、以电路分析、高等数学、工程数学等先修课程为 基础；理论、提高与应用之间比较难把握和处理；2、系统响应的时域求解、计算过程比较繁琐；3、对冲激函数的理解和应用，需要灵活掌握。SIGNALS AND SYSTEMS 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.1 引言2.1 引言 分析过程中不经过任何变换，直接求解系统的微分分析过程中不经过任何变换，直接求解系统的微分（积分）方程，所涉及的函数的变量都是时间（积分）方程，所涉及的函数的变量都是时间t，称为，称为时域分析方法（time-domain method）。 系统分析的两个主要任务:（1）建立数学模型建立数学模型 （线性微分方程）（线性微分方程）（2）分析信号通过系统产生的响应分析信号通过系统产生的响应（求解线性微分方程）（求解线性微分方程）系统数学模型的时域表示：（1）输入）输入/输出描述输出描述 一元n阶微分方程（2）状态变量描述）状态变量描述 n元联立一阶微分方程 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解2.2 微分方程式的建立与求解 连续时间系统种类很多，其描述的工具都可用微分方程。对连续时间系统种类很多，其描述的工具都可用微分方程。对于电系统，依据是电网络的两个约束特性：于电系统，依据是电网络的两个约束特性： 元件特性约束： 即表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电感、电即表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电感、电容各自的电压与电流的关系等。容各自的电压与电流的关系等。 网络拓扑约束： 由网络结构决定的电压、电流约束关系。以基尔霍夫电压由网络结构决定的电压、电流约束关系。以基尔霍夫电压定律定律(KVL)和基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电流定律(KCL)表示。表示。1. 微分方程式的建立（1）元件端口的电压与电流约束关系电电网络的两个约束特性：网络的两个约束特性：C微分方程式的建立方法连续时间系统数学模型 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS（2） 各电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）电电网络的两个约束特性：网络的两个约束特性：2.2 微分方程式的建立与求解例例 1： 如右图所示如右图所示RLC电路，求电路，求 电阻电阻R2两端电压两端电压y(t)与输入电压与输入电压f(t)之间的关系。之间的关系。解：解：设电路中两回路电流分别为设电路中两回路电流分别为i1(t) 和和i2(t)。根据。根据KVL列出回路方程为：列出回路方程为：LCR2f(t)回路回路（1）LR1f(t)回路回路（2）利用利用 可得到可得到将将(1)(2)整理得到：整理得到：（1）（2） 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解 例例 2： 如右图所示的一机械位移系统，如右图所示的一机械位移系统，质量为质量为m的物体由的物体由 弹簧牵引，另一端固弹簧牵引，另一端固定在墙壁。物体与地面摩擦系数为定在墙壁。物体与地面摩擦系数为f，弹，弹簧系数为簧系数为k，外加牵引力为，外加牵引力为FS(t) 。求。求FS(t) 与物体运动速度与物体运动速度v(t)的关系。的关系。 解：解：弹簧拉力：摩擦力：运动物体的惯性力：整个系统的力是平衡的：化简得： 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解说明： 对比例题1、2可以看出，虽然是两个不同性质的系统，但却具有相同的数学模型。 如果组成系统的元件都是参数恒定的线性元件，则构成的系统是线性时不变系统，体现在方程形式上是一线性微分方程。例题例题1：例题例题2： 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS微分方程式的求解方法经典法: 即时域分析法，以前电路分析课里已经讨论 过。但对于含有冲激函数时的情况，需特别 处理。双零法: 零输入可利用经典法求 零状态利用卷积积分法求解变换域法: 将时间变量变换成其它形式的变量求解2.2 微分方程式的建立与求解n阶常系数微分方程的求解法 the solution method for constant-coefficient difference equation of Nth-order微分方程求解时域分析法（经典法）变换域法 （拉普拉斯变换法） 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解全响应= 齐次方程通解+非齐次方程特解（自由响应）（受迫响应）全响应= 零输入响应+零状态响应（解齐次方程）（叠加积分法） 卷积，杜阿美尔积分 例3：对于一个线性系统，其激励信号对于一个线性系统，其激励信号 x(t) 与响应函数与响应函数 y(t) 之之间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述。间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述。上式就是一个上式就是一个常系数常系数 n 阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。2. 微分方程式的求解方法经典时域分析方法 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解 上方程的上方程的完全解由两部分组成，即由两部分组成，即齐次解和和特解。齐次解。齐次解应满足齐次微分方程：应满足齐次微分方程： 特征方程为特征方程为 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解齐次解的基本形式为齐次解的基本形式为 ，将其代入上式得，将其代入上式得（1）当特征根为不等单实根）当特征根为不等单实根 ，微分方程的，微分方程的 齐次解齐次解为为固有响应固有响应(自由响应自由响应)固有频率固有频率(自由频率自由频率) （3）若）若 、 为共轭复根，即为共轭复根，即 。那么，在。那么，在 齐次解齐次解中，中，对对应于应于 、 的部分为的部分为2.2 微分方程式的建立与求解 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS （2）当特征根有重根，假设）当特征根有重根，假设 是特征方程的是特征方程的K重根，重根，那那 么，在么，在齐次解齐次解中，对应于中，对应于 的部分将有的部分将有K项项.以上各式中的以上各式中的Ai为待定系数，由初始条件确定。为待定系数，由初始条件确定。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS特征方程的根所对应微分方程的齐次解特征方程的根特征方程的根微分方程的齐次解微分方程的齐次解1、单实根、单实根2、K重实根重实根3、一对单共轭复根、一对单共轭复根4、一对、一对K重共轭复根重共轭复根2.2 微分方程式的建立与求解例例3： 求下列微分方程的齐次解。求下列微分方程的齐次解。解解：微分方程的微分方程的特征方程为特征方程为特征根特征根（重根重根），），齐次解齐次解 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解 特解的求法： 特解的函数形式与特解的函数形式与激励函数的形式激励函数的形式有关有关2.2 微分方程式的建立与求解 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS微分方程的右端的函数式称为微分方程的右端的函数式称为“自由项” 通常由观察自由项，来试选特解函数式，代入方程后通常由观察自由项，来试选特解函数式，代入方程后求得特解函数式中的待定系数，即求得特解函数式中的待定系数，即可求出特解可求出特解 。（注意：特解一定是系统在（注意：特解一定是系统在t0+时刻的解）时刻的解） 几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数x(t)响应函数响应函数y(t)的特解的特解解解: （1）列出微分方程式为：）列出微分方程式为：节点节点1：节点节点2：例例5：如下图所示电路，已知激励信号如下图所示电路，已知激励信号x(t)=cos2t u(t), 两个电两个电容上的初始电压均为零，求输出信号容上的初始电压均为零，求输出信号v2(t)的表达式的表达式。12R1R2+-x(t)v1(t)+-C10.5F+-C2+-v2(t)化简上两式得化简上两式得（2）为求齐次解，写出特征方程）为求齐次解，写出特征方程特征根特征根（3）查表，得）查表，得特解特解形式为形式为代入原方程得：代入原方程得：齐次解为齐次解为比较上述方程两边系数得：比较上述方程两边系数得： 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解强迫响应！强迫响应！自由响应！自由响应！（4）则方程的）则方程的完全解完全解为为 由于已知电容由于已知电容C2上的初始电压为零，因而有上的初始电压为零，因而有v2(0) = 0。 又因为电容又因为电容C1上的初始电压也为零，于是流过上的初始电压也为零，于是流过R2、C2中的中的初始电流也为零，即初始电流也为零，即v2(0) = 0 。（1）由由 v2(0) = 0 及及v2(0) = 0 代入方程（代入方程（1）可求得系数）可求得系数A1、A2R1R2+-x(t)v1(t)+-C10.5F+-C2+-v2(t) 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解由由 v2(0) = 0 及及v2(0) = 0 代入（代入（1）式求得：）式求得：R1R2+-x(t)v1(t)+-C10.5F+-C2+-v2(t)（1） 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解自由响应（齐次解）强迫响应（特解） 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解自由响应自由响应（齐次解）（齐次解）强迫响应强迫响应（特解）（特解）前两项随着前两项随着t的增大而消的增大而消失，称为瞬态响应失，称为瞬态响应 后两项随着后两项随着t的增大呈现等的增大呈现等幅振荡，称为稳态响应幅振荡，称为稳态响应 一般地，稳定系统的一般地，稳定系统的全响应 = 瞬态（暂态）响应 + 稳态响应 瞬态响应是激励接入后，暂时出现的分量，由指数衰减的各项瞬态响应是激励接入后，暂时出现的分量，由指数衰减的各项组成。组成。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解分别画出波形图如下分别画出波形图如下:瞬态响应瞬态响应稳态响应稳态响应 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解 一般将激励信号加入的时刻定义为一般将激励信号加入的时刻定义为t t=0 =0 ，响应为，响应为 时的方程的解，初始条件：时的方程的解，初始条件：1、齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解的形式：写出齐次解的形式：（注意重根情况处理方法）（注意重根情况处理方法）初始条件的确定是要解决的主要问题。经典法求解微分方程步骤：3、全 解：齐次解齐次解+特解，由特解，由初始条件初始条件定出齐次解系数定出齐次解系数 。2、特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的 特解函数式特解函数式代入原方程代入原方程，比较系数定出特解。，比较系数定出特解。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.2 微分方程式的建立与求解小结：1、微分方程的齐次解表示系统的自由响应，它由系统本身 的属性决定；2、特征方程的根称为系统的固有频率，它决定了系统自由 响应的全部形式；3、特解称为系统的强迫响应，它只与激励函数的形式有关；4、系统的完全响应= =自由响应+ +强迫响应。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.3 起始点的跳变2.3 起始点的跳变从0-到0+ 1、起始状态与初始条件 起始状态起始状态：在激励接入之前的瞬时（在激励接入之前的瞬时（t=0-时刻）系统的固时刻）系统的固 有状态，也称有状态，也称0-状态。反映的是系统以往的历状态。反映的是系统以往的历 史信息。史信息。 初始条件初始条件: : 在激励接入之后的瞬时（在激励接入之后的瞬时（t=0+时刻时刻 ）系统的）系统的 状态，也称系统的状态，也称系统的0+状态或初始条件。状态或初始条件。 系统微分方程的求解限于系统微分方程的求解限于 时间范围时间范围 在用经典方法求系统响应时，必须确定系统的初始条件，这是求解微分方程的关键。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.3 起始点的跳变1、初始条件的确定实际电路的初始条件：由储能元件的储能情况由储能元件的储能情况 或或 ，来确定，来确定0-状态。状态。 当没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于C；没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于L时，电路的0+状态为：电路分析中电路分析中的换路定则的换路定则 但是当有冲激电流强迫作用于电容，或有冲激电压强迫作用于电感，0-到0+状态就会发生跳变。跳变值往往不易直接求得，这时，可借助微分方程式两端各奇异函数系数平衡的方法作出判断。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.3 起始点的跳变1、初始条件的确定一般系统的初始条件： 当系统用微分方程表示时，系统的0-到0+的状态有没有跳变取决于微分方程右端函数式有无冲激函数 及其各阶导数项。 初始条件的求法： 1、电路分析中的换路定则经典法； 2、当微分方程的右端包含冲激函数时，就用冲激函数 及其导数平衡匹配法奇异函数平衡法。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS例例6：如右图所示电路，如右图所示电路，t0开关开关S处于处于1的位置且电路已的位置且电路已经达到稳态；当经达到稳态；当t=0转向转向2。建立建立i(t)的微分方程，并求的微分方程，并求i(t)在在 时的变化。时的变化。 解：解：（1）列出电路的微分方程）列出电路的微分方程回路方程：回路方程：节点方程：节点方程：化简上式，并代入电路参数得到：化简上式，并代入电路参数得到：2.3 起始点的跳变利用经典法求0+状态节点 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS（2）求系统的完全响应）求系统的完全响应求齐次解：求齐次解：特征方程：特征方程：特征根：特征根：齐次解：齐次解：求特解：求特解：特解形式为特解形式为 将其将其代入方程（代入方程（1）得得（1）系统的全响应为系统的全响应为: 2.3 起始点的跳变 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.3 起始点的跳变（3）确定换路后的）确定换路后的换路后换路后换路前换路前 电容两端电压、电感中的电电容两端电压、电感中的电流在换路瞬间不发生突变！流在换路瞬间不发生突变！（用经典法求0+状态） 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.3 起始点的跳变（4）求系统）求系统t0+的全响应的全响应系统系统t0+时的全响应为：时的全响应为：求待定系数求待定系数初始条件代入初始条件代入 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS利用冲激函数及其导数平衡匹配法求0+状态 设某系统地微分方程如下，给定初始状态为设某系统地微分方程如下，给定初始状态为r(0-)，确定它的，确定它的0+状态状态 r(0+)。由方程两端平衡由方程两端平衡, 得知得知 必包含必包含 推出推出 r(t)含含t=0时，时，r(t)含有含有-9u(t)注意：注意：u(t)表示0-到0+相对单位跳变函数！因而有因而有 r(0+)-r(0-)=-9根据上述过程则可得到冲激函数及其导数平衡匹配方法！2.3 起始点的跳变 含含 和和 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.3 起始点的跳变将上两式代入原方程得将上两式代入原方程得 可以设可以设（2）两边积分得两边积分得（3）利用冲激函数及其导数平衡匹配法求0+状态:（1）原方程原方程由方程两端平衡得由方程两端平衡得 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.3 起始点的跳变将将a,b,c的值代入方程（的值代入方程（2），并在区间），并在区间0-,0+进行积分进行积分所求的初始条件（所求的初始条件（0+状态）为状态）为上述即为冲激函数及其导数平衡匹配法求0+状态的步骤!（2） 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.3 起始点的跳变例例7：某某LTI系统的系统方程为系统的系统方程为已知已知求求解解:将输入将输入f(t)代入微分方程代入微分方程,得得（1）因为（因为（1）式对所有的）式对所有的 t 成立，故方程左右两端冲激函成立，故方程左右两端冲激函数及其各阶导数的系数应分别相等。数及其各阶导数的系数应分别相等。设设（2）对（对（2）式等号两端积分，得）式等号两端积分，得（3） 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.3 起始点的跳变对（对（3）式等号两端从）式等号两端从 到到 t 积分，得积分，得（4）将（将（2）、（）、（3）、（）、（4）式代入到微分方程，得）式代入到微分方程，得上式中等号两端冲激函数及各阶导数的系数应分别对应相等上式中等号两端冲激函数及各阶导数的系数应分别对应相等故可求得故可求得 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.3 起始点的跳变将将a,b,c,d的值代入方程（的值代入方程（2），并对等号两端从），并对等号两端从0-到到0+进行进行积分，有积分，有将将a,b,c的值代入方程（的值代入方程（3），并对等号两端从），并对等号两端从0-到到0+进行积进行积分，有分，有 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.3 起始点的跳变 由此可见，当微分方程等号右端含有冲激函数及其各阶导数时，系统响应及各阶导数从0-到0+的瞬间将发生跃变。 上述方法是根据微分方程等号两端各个奇异函数的系数上述方法是根据微分方程等号两端各个奇异函数的系数相等的原理。相等的原理。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应2.4 零输入响应和零状态响应系统响应的类型:自由响应自由响应: 也叫固有响应，由系统本身特性决定的，和也叫固有响应，由系统本身特性决定的，和 外加激励形式无关。对应于齐次解。外加激励形式无关。对应于齐次解。强迫响应强迫响应: 形式取决于外加激励，对应于特解。形式取决于外加激励，对应于特解。完全响应=自由响应+强迫响应从微分方程经典法求解规律考虑 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS系统响应的类型:2.4 零输入响应和零状态响应暂态响应暂态响应: 是指激励信号接入一段时间内，完全响应是指激励信号接入一段时间内，完全响应中中 暂时出现的有关成分，随着时间暂时出现的有关成分，随着时间 t 增加，它增加，它 将消失。将消失。稳态响应稳态响应: 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响响 应分量。应分量。完全响应=暂态响应+稳态响应从时间趋于无穷大的状态考虑 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应零输入响应零输入响应：是指输入信号为是指输入信号为0，仅有系统的，仅有系统的初始状初始状 态态 （起始时刻系统储能）作用于系统（起始时刻系统储能）作用于系统 而产生的输出响应。而产生的输出响应。零状态响应零状态响应：是指系统的初始状态为是指系统的初始状态为 0（不考虑起（不考虑起 始时刻系统的储能作用），由始时刻系统的储能作用），由外部激外部激 励作用于系统而产生的输出响应励作用于系统而产生的输出响应。完全响应=零输入响应+零状态响应从区分初始储能和激励作用考虑系统响应的类型： 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应 零输入响应零输入响应 ：当激励信号：当激励信号 x(t) = 0时，由起始状态时，由起始状态 所产生的响应。所产生的响应。零输入响应的求解 由于激励信号由于激励信号x(t) = 0，所以系统的起始时刻不会产生所以系统的起始时刻不会产生跳变，所以跳变，所以 。 零输入响应为自由响应的形式，零输入响应为自由响应的形式，即即其中系数其中系数Azik由由起始条件起始条件 来确定。来确定。齐次解的齐次解的一部分一部分完全响应完全响应 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应零状态响应零状态响应 ：当起始状态：当起始状态 时，由激励时，由激励 信号信号x(t) 所产生的响应。所产生的响应。零状态响应的形式为零状态响应的形式为：其中，系数其中，系数Azsk由跳变量由跳变量 来确定。来确定。零状态响应的求解自由响应的一部分自由响应的一部分对应微分方程的齐次解对应微分方程的齐次解强迫响应强迫响应特解特解完全响应完全响应求解系统零状态响应主要有两种方法：经典法和卷积法 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应根据前面分析，可以写出系统完全响应的表达式根据前面分析，可以写出系统完全响应的表达式 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应例例7：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始状态初始状态 输入信号输入信号求系统的零输入响应。求系统的零输入响应。1、经典法求解零输入响应解：解： 特征方程特征方程特征根特征根零输入响应零输入响应将初始条件代入，得将初始条件代入，得零输入响应为 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应 （1）由方程右端为零构成的齐次方程而定，即由齐次方程的特征方程求出特征根，再列出解。 （2）由系统的初始0-条件（系统没有加外部激励时的原有状态），确定其待定系数。注：由于激励信号由于激励信号 x(t) = 0，所以所以系统的起始时刻不会产系统的起始时刻不会产生跳变，生跳变，所以所以 。零输入响应的求解步骤 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS 例例8： 已知如右图电路，已知如右图电路，R=2欧，欧，L=1/2H，C=1/2F，电容上的初始储电容上的初始储能为能为 V，电感上初始储能，电感上初始储能为为 ，求输入激励为零时的，求输入激励为零时的电容电压电容电压 。2.4 零输入响应和零状态响应解：解：根据根据KVL，列出方程如下列出方程如下即即代入参数，化简得代入参数，化简得特征根为特征根为 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS零输入响应零输入响应 的一般形式为的一般形式为由电容元件的伏安关系：由电容元件的伏安关系：故有：故有：确定待定系数，必须知道确定待定系数，必须知道 和和将初始条件将初始条件 代入方程（代入方程（1）有）有零输入响应为：2.4 零输入响应和零状态响应只与电容的初只与电容的初始储能有关！始储能有关！（1） 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMSC电容器的等效电路电路等效为起始状态为电路等效为起始状态为0 0 的电的电容器与电压源容器与电压源 的的串联！C2.4 零输入响应和零状态响应2、经典法求解零状态响应 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS电感的等效电路电路等效为起始状态为电路等效为起始状态为0 0 的电的电感感 L L与电流源与电流源 的的并联！2.4 零输入响应和零状态响应 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应经典法求解零状态响应举例例例9 ：如右图所示电路，如右图所示电路，t0开关开关S处于处于1的位置且电路已的位置且电路已经达到稳态，当经达到稳态，当 t=0转向转向2。建立建立i(t)的微分方程，并求的微分方程，并求i(t)在在 时的时的零输入响应零输入响应和和零零状态响应状态响应。 解：解：将将t0+时的零状态响应为时的零状态响应为:得到方程组得到方程组2.4 零输入响应和零状态响应 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS通过上面的分析，系统的响应可以表示为下列各种形式通过上面的分析，系统的响应可以表示为下列各种形式 固有响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 瞬态响应 稳态响应2.4 零输入响应和零状态响应零状态响应零状态响应包含自由响包含自由响应的一部分应的一部分零输入响应包含零输入响应包含自由响应的一部自由响应的一部分，且为自由响分，且为自由响应的形式！应的形式！ 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应例例10 已知系统方程已知系统方程 ，起始状态，起始状态 ， 求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和完全响应。完全响应。解解：（1）由方程求得特征根）由方程求得特征根 ,齐次解是齐次解是特解是特解是 。由方程两端奇异函数平衡条件容易判断，由方程两端奇异函数平衡条件容易判断，r(t)在起始点无跳在起始点无跳变，即变，即 r(0+)=r(0-)=3/2，代入（，代入（1）求得系数）求得系数A=1/2。所以所以其中，其中，自由响应自由响应 ，强迫响应强迫响应=1完全响应为完全响应为:（1） 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应（2）求零输入响应）求零输入响应在此条件下，特解在此条件下，特解=0，由，由 初始条件初始条件r(0-)=3/2，求得系求得系数数A=3/2，于是，于是零输入响应零输入响应为：为：（3）求零状态响应）求零状态响应在此条件下，在此条件下，r(0+)=0，求得系数求得系数A=-1，于是，于是零状态响零状态响应应为：为：完全响应：完全响应： 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS（1）连续系统的完全响应，可以分解为零输入响应和零状 态响应两部分。也可分解为齐次解和特解两部分。 齐次解 的函数形式仅取决于系统本身的特性，与输入信的函数形式仅取决于系统本身的特性，与输入信号的函数形式无关，故称为系统的号的函数形式无关，故称为系统的自由响应自由响应（固有响应）。（固有响应）。 特解 的形式由微分方程的自由项或输入信号决定，故称的形式由微分方程的自由项或输入信号决定，故称为系统的为系统的强迫响应强迫响应。 几点说明：2.4 零输入响应和零状态响应 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应几点说明：零输入响应： 由由0-条件确定，条件确定，系数值系数值仅取决于系统的仅取决于系统的初始储能状态初始储能状态，其结果代表零输入响应。，其结果代表零输入响应。 （2）零输入响应和自由响应都是系统齐次微分方程的解， 其函数形式也相同，但两者的系数是不一样的。自由响应： 由由0+条件确定，条件确定，系数值系数值由由初始状态初始状态和和输输入信号入信号共同确定。共同确定。自由响应中除包含零输入响应外，还包括零状态响应的一部分，二者都与系统自身参数有关。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.4 零输入响应和零状态响应几点说明：（3）若系统初始无储能，即0-条件为零，则零输入响应为 零，但自由响应可以不为零，由激励信号和系统参 数共同决定。（4）零输入响应，由0-时刻到0+时刻不跳变。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.5 冲激响应和阶跃响应1、冲激响应概念 冲激响应：在初始状态为0的条件下，单位冲激信号 作用在系统上的响应，以 表示。2.5 冲激响应和阶跃响应说明：（1）激励信号在）激励信号在t=0的瞬间作用系统（输入能量）的瞬间作用系统（输入能量）,在在t0+ 以后激以后激 励为励为0，输入的初始能量在起作用；，输入的初始能量在起作用；（2）冲激响应仅取决于系统内部结构及元件参数，具有不同结构）冲激响应仅取决于系统内部结构及元件参数，具有不同结构 和元件参数的系统，将具有不同的冲激响应。和元件参数的系统，将具有不同的冲激响应。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.5 冲激响应和阶跃响应任意信号都可以用冲击信号组合来表示 若把它作用于冲击相应为若把它作用于冲击相应为 的线性时不变系统，则的线性时不变系统，则输出相应为：输出相应为： 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.5 冲激响应和阶跃响应 阶跃响应：在初始状态为0的条件下，单位阶跃信号 作用在系统上的响应，以 表示。 考虑到冲激信号考虑到冲激信号 与单位阶跃信号与单位阶跃信号 之间存在微分之间存在微分与积分关系，因而对于与积分关系，因而对于LTI系统，系统， 和和 也同样存在也同样存在上述关系。上述关系。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.5 冲激响应和阶跃响应2、求解系统的冲激响应对于由常系数描述的系统，它的冲激响应满足微分方程及初始状态及初始状态 。 由于由于 在在 t=0 时作用于系统，在时作用于系统，在 时时 及其各阶导数都等于及其各阶导数都等于0，因此上方程右端各项在，因此上方程右端各项在 时恒为时恒为0，它成为齐次方程，则冲激响应，它成为齐次方程，则冲激响应 与相应与相应的齐次解具有相同的形式。的齐次解具有相同的形式。冲激响应的形式既与特征根有关, 又与n,m相对大小有关！ 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.5 冲激响应和阶跃响应 （2）如果）如果n=m，冲激响应冲激响应h(t)将包含一个将包含一个 项，即项，即注意带注意带u(t) （1）在）在nm时，冲激响应时，冲激响应h(t)应与齐次解的形式相同，如应与齐次解的形式相同，如果特征根包括果特征根包括n个非重根，则个非重根，则h(t)应与齐次解的形式相同，应与齐次解的形式相同，不包含不包含 及其各阶导数，即有及其各阶导数，即有 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.5 冲激响应和阶跃响应 （3）在）在n0时，时， 图形右移，图形右移，t0时，图形左移。时，图形左移。由上述卷积积分公式可总结出卷计算积积分步骤：由上述卷积积分公式可总结出卷计算积积分步骤：（4）相乘相乘：（5）对乘积后的图形）对乘积后的图形积分积分：0t12h(t)x(t)-1/210t1 例例16：已知信号已知信号x(t)与与h(t)如下图所示，求如下图所示，求01-2解：解： -1/211tt-2 （1）当）当 时时，（2）当当 时，时，-1/211tt-2（3）当当 ，即当，即当 时时（4）当当 ，即当，即当 时时,-1/211tt-2-1/211tt-2重合区间重合区间重合区间重合区间重合区间重合区间-1/211tt-2（5）当当 ，即，即 时，时，-1/21 3/2 23t0 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.6 卷积没有重合没有重合，则，则 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.6 卷积 例例15 ：已知已知 , 求求 。 解：解：首先进行变量替换，画出首先进行变量替换，画出 的波形。的波形。对对 进行反转，画出波形进行反转，画出波形（1）当当 t 0 时，时，则则 s(t) = 0 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS则得到则得到2.6 卷积 与与 图形没有相遇图形没有相遇 与与 图形相遇图形相遇 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.6 卷积几点说明： 1、求卷积关键是确定积分区间和被积函数表达式；2、卷积结果y(t)的起点和终点等于x(t)和h(t)的起点 和终点之和；3、若卷积的两个信号不含有冲激信号或其各阶导数， 则卷积的结果必定为一个连续函数；4、信号翻转时，尽量翻转比较简单的信号，以简化运 算过程。 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质一、卷积代数（1）交换律）交换律设设 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质（2）分配律）分配律 分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。h2(t)h1(t)x(t) 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质（3）结合律）结合律 结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。h2(t)h1(t)x(t) 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质二、卷积的微分与积分（1）函数卷积后微分证明：证明： 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质二、卷积的微分与积分（2）函数卷积后积分证明：证明： 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质二、卷积的微分与积分由（由（1）（）（2）推出）推出设设 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质若若则则（3）函数延时后的卷积 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质 三、函数与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：推广：例例17：已知：已知 f1(t)、 f2(t)如图所示，求如图所示，求s(t)=f1(t)*f2(t) ，并并画出画出 s(t) 的的波形。波形。解：解： 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质-1/210t(1)dx(t)/dt(-1)0t12h(-1)(t)0t12h(t)-1/210t1x(t)例例18：用卷积积分的微分与积分特性求下面两信号用卷积积分的微分与积分特性求下面两信号x(t)与与h(t)的的卷积积分卷积积分s(t)=x(t)*h(t), 并并画出画出s(t)的波形。的波形。30t12-1/21 3/2-1 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质0-1/21 3/22t3 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS2.7 卷积的性质 鲁东大学电子与电气工程学院鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALS AND SYSTEMS本章小结:1、深刻理解、深刻理解0-和和0+时刻系统状态的含义，并掌握冲激时刻系统状态的含义，并掌握冲激函数匹配法求初始条件；函数匹配法求初始条件；2、理解冲激响应、阶跃响应的物理意义，并掌握其求、理解冲激响应、阶跃响应的物理意义，并掌握其求解方法；解方法；3、掌握系统全响应的两种求解方式：自由响应和强迫、掌握系统全响应的两种求解方式：自由响应和强迫响应，零输入响应和零状态响应；响应，零输入响应和零状态响应；4、掌握卷积积分的概念、性质及运算规律，并能运用、掌握卷积积分的概念、性质及运算规律，并能运用卷积积分求卷积积分求LTI系统的零状态响应。系统的零状态响应。