正弦定理在在RtABC中中,各角与其对边各角与其对边(角角A的对边一的对边一般记为般记为a，其余类似，其余类似)的关系的关系:不难得到:CBAabc在非直角三角形在非直角三角形ABCABC中有这样的关系吗中有这样的关系吗? ?AcbaCB所以AD=csinB=bsinC, 即同理可得DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有若三角形是若三角形是锐角三角形锐角三角形, 如图如图1,且仿(2)可得D若三角形是若三角形是钝角三角形钝角三角形,且角且角C是是钝角钝角如图如图2, 此时也有交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2正弦定理:即在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？（R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）另证:证明：证明：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,剖析定理、加深理解1 1、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和，求其他角和边边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角剖析定理、加深理解2 2、A+B+C=A+B+C=3 3、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角剖析定理、加深理解4 4、一般地，把三角形的三个角、一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对边和它们的对边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元素素。已知三角形的几个元素求其他元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫的过程叫解三角形解三角形剖析定理、加深理解5 5、正弦定理的变形形式、正弦定理的变形形式6 6、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化系的转化定理的应用例例 1 1、在、在ABC ABC 中，已知中，已知c = 10, c = 10, A = 45A = 45。, C = 30, C = 30。，解三角形解三角形 ( (精确到精确到0.010.01）已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角BACabc例 2、 已知a=16， b= ， A=30 .解三角形已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理得所以60,或120当 时60C=90C=30当120时B16300ABC16316又又 ba ,ba ,则则 BABA变式: a=30, b=26, A=30，解三角形300ABC2630解：由正弦定理得所以25.70, 或180025.70=154.30由于154.30 +3001800故B只有一解（如图）C=124.30,变式: a=30, b=26, A=30，解三角形300ABC2630解：由正弦定理得所以25.70,C=124.30,a b A B ,三角形中大边对大角230练习 ABC中，（1）已知c3，A45，B75， 则a_，（2）已知c2，A120，a23， 则B_，（3）已知c2，A45，a ，则 B_.26375或15等腰三角形在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等对角的正弦的比相等正正弦弦定定理理内容内容 数学表达式数学表达式1、已知两角和任一边、已知两角和任一边,求其他两边和一角求其他两边和一角;正弦定理的用途：正弦定理的用途：2、已知两边和其中一边的对角、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角求另一边的对角 及其他的边和角及其他的边和角3、判断三角形的形状、判断三角形的形状.从已知条件出发，寻找到三角形的边与边从已知条件出发，寻找到三角形的边与边或角与角之间的关系，然后判断之。或角与角之间的关系，然后判断之。例 2：在ABC中，已知a20，b28， A40，求B和c.解： sinB 0.8999b sinA a B164，B211640ABCbB1B2 在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（1） b20，A60，a203 ;（2） b20，A60，a103 ;（3） b20，A60，a15.60ABCb（1） b20，A60，a203sinB ，b sinA a12B30或150， 15060 180， B150应舍去.6020203ABC（2） b20，A60，a103sinB 1 ，b sinA aB90.B60AC20（3） b20，A60，a15.sinB ，b sinA a233233 1， 无解.6020AC 思考： 当b20，A60，a？时， 有1解、2解、无解.已知两边和其中一边对角时，解的个数的探寻：已知两边和其中一边对角时，解的个数的探寻：另证2:证明：BACDabc而同理ha