修正版 1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) (1) 设( )(ln )f xyfx e,其中f可微,则dy _. (2) 若函数12201( )1( )1f xxf x dxx,则10( )f x dx _. (3) 差分方程12tttyyt的通解为_. (4) 若二次型2221231231223(,)22f x xxxxxx xtx x是正定的,则t的取值范围是_. (5) 设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布2(0,3 )N,而19,XX和19,YY分别是来自总体XY和的简单随机样本,则统计量192219XXUYY服从_分布(2 分),参数为_. 二、 选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设函数561 cos20( )sin, ( )56xxxf xt dt g x,则当0x 时,( )f x是( )g x的 ( ) (A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小 (2) 若()( )()fxf xx , 在(,0)内( )0fx, 且( )0fx, 则 在(0,)内 有 ( ) (A) ( )0fx,( )0fx (B) ( )0fx,( )0fx (C) ( )0fx,( )0fx (D) ( )0fx,( )0fx (3) 设向量组1,2,3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( ) (A) 12,23,31 (B) 12,23,1232 (C) 122,2323,313 (D) 123,1232322,123355 (4) 设,A B为同阶可逆矩阵,则 ( ) (A) ABBA (B) 存在可逆矩阵P,使1P APB (C) 存在可逆矩阵C,使TC ACB (D) 存在可逆矩阵P和Q,使PAQB 修正版 (5) 设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：111,2P XP Y 1P X 112P Y,则下列各式中成立的是 ( ) (A) 12P XY (B) 1P XY (C) 104P XY (D) 114P XY 三、(本题满分 6 分) 在经济学中,称函数 1( )(1)xxxQ xAKL 为固定替代弹性生产函数,而称函数 1QAK L 为 Cobb-Douglas 生产函数(简称 CD 生产函数). 试证明：但0x 时,固定替代弹性生产函数变为 CD 生产函数,即有 0lim( )xQ xQ. 四、(本题满分 5 分) 设( , , )uf x y z有连续偏导数,( )yy x和( )zz x分别由方程0xyey和0xexz所确定,求dudx. 五、(本题满分 6 分) 一商家销售某种商品的价格满足关系70.2px(万元/吨),x为销售量(单位：吨),商品的成本函数31Cx(万元). (1) 若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量； (2) t为何值时,政府税收总额最大. 六、(本题满分 6 分) 设函数( )f x在0,)上连续、单调不减且(0)0f,试证函数 01( ),0,( )0,0,xnt f t dtxF xxx若若 在0,)上连续且单调不减(其中0n ). 七、(本题满分 6 分) 从点1(1,0)P作x轴的垂线,交抛物线2yx于点1(1,1)Q；再从1Q作这条抛物线的切线与x轴交于2P,然后又从2P作x轴的垂线,交抛物线于点2Q,依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;,;nnP Q P QP Q. 修正版 (1) 求nOP； (2) 求级数1 122nnQ PQ PQ P的和. 其中(1)n n 为自然数,而12M M表示点1M与2M之间的距离. 八、(本题满分 6 分) 设函数 f t在0,)上连续,且满足方程 222242241( )()2txytf tefxy dxdy,求( )f t. 九、(本题满分 6 分) 设A为n阶非奇异矩阵,为n维列向量,b为常数.记分块矩阵 0,TTEAPQAAb， 其中A是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ； (2) 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是1TAb. 十、(本题满分 10 分) 设 三 阶 实 对 称 矩 阵A的 特 征 值 是1,2,3 ； 矩 阵A的 属 于 特 征 值1,2的 特 征 向 量 分 别 是12( 1, 1,1) ,(1, 2, 1)TT . (1) 求A的属于特征值 3 的特征向量； (2) 求矩阵A. 十一、(本题满分 7 分) 假设随机变量X的绝对值不大于 1；111, 184P XP X ；在事件 11X 出现的条件下,X在( 1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求X的分布函数( )F xP Xx. 十二、(本题满分 6 分) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟从底层起行. 假设一游客在早晨八点的第X分钟到达底层候梯处,且X在0,60上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望. 十三、(本题满分 6 分) 两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度( )f t、数学期望和方差. 修正版 1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程yxy确定y是x的函数,则dy _. (2) 设( )arcsinxf x dxxC,则1( )dxf x_. (3) 设00,xy是抛物线2yaxbxc上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是_. (4) 设 123222212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa,123nxxXxx,1111B , 其中(; ,1,2, )ijaa ij i jn.则线性方程组TA XB的解是_. (5) 设由来自正态总体2( ,0.9 )XN容量为 9 的简单随机样本,得样本均值5X ,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为_. 二、 选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 累次积分cos200( cos , sin )df rrrdr可以写成 ( ) (A) 2100( , )y ydyf x y dx (B) 21100( , )ydyf x y dx (C) 1100( , )dxf x y dy (D) 2100( , )x xdxf x y dy (2) 下述各选项正确的是 ( ) (A) 若21nnu和21nnv都收敛,则21()nnnuv收敛 (B) 1nnnu v收敛,则21nnu与21nnv都收敛 (C) 若正项级数1nnu发散,则1nun (D) 若级数1nnu收敛,且(1,2,)nnuv n,则级数1nnv也收敛 (3) 设n阶矩阵A非奇异(2n ),A是矩阵A的伴随矩阵,则 ( ) 修正版 (A) 1()nAAA (B) 1()nAAA (C) 2()nAAA (D) 2()nAAA (4) 设有任意两个n维向量组1,m和1,m,若存在两组不全为零的数1,m 和1,mkk,使111111()()()()0mmmmmmkkkk,则 ( ) (A) 1,m和1,m都线性相关 (B) 1,m和1,m都线性无关 (C) 1111,mmmm线性无关 (D) 1111,mmmm线性相关 (5) 已知0( )1P B且1212()()P AABP A BP A B,则下列选项成立的是( ) (A) 1212()()P AABP A BP A B (B) 1212()()P ABA BP ABP A B (C) 1212()()P AAP A BP A B (D) 1122()() ()P BP A P B AP A P B A 三、(本题满分 6 分) 设( ),0,( )0,0,xg xexf xxx其中( )g x有二阶连续导数,且(0)1,(0)1gg . (1)求( )fx； (2)讨论( )fx在(,) 上的连续性. 四、(本题满分 6 分) 设函数( )zf u,方程( )( )xyuup t dt确定u是, x y的函数,其中( ), ( )f uu可微；( )p t,( )u连续,且( )1u.求( )( )zzp yp xxy. 修正版 五、(本题满分 6 分) 计算20(1)xxxedxe. 六、(本题满分 5 分) 设( )f x在区间0,1上可微,且满足条件120(1)2( )fxf x dx.试证:存在(0,1)使 ( )( )0.ff 七、(本题满分 6 分) 设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q可以表示成aQcpb,其中ab、 、 c均为正数,且abc. (1) 求p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少. (2) 要使销售额最大,商品单价p应取何值?最大销售额是多少? 八、(本题满分 6 分) 求微分方程22yxydydxx的通解. 修正版 九、(本题满分 8 分) 设矩阵010010000010012Ay. (1) 已知A的一个特征值为 3,试求y； (2) 求矩阵P,使() ()TAPAP为对角矩阵. 十、(本题满分 8 分) 设向量12,t 是齐次线性方程组0AX 的一个基础解系,向量不是方程组 0AX 的解,即0A.试证明:向量组12,t 线性无关. 十一、(本题满分 7 分) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获得利润 5 万元；发生两次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损2 万元.求一周内期望利润是多少? 十二、(本题满分 6 分) 考虑一元二次方程20xBxC,其中BC、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q. 十三、(本题满分 6 分) 假设12,nXXX是来自总体 X 的简单随机样本；已知).4 , 2 , 2 , 1()(kaXEkk. 证明：当n充分大时,随机变量211nniiZXn近似服从正态分布,并指出其分布参数. 修正版 1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 设1( )1xf xx,则( )( )nfx . (2) 设( )yzxyfx,( )f u可导,则xyxzyz . (3) 设(ln )1fxx ,则( )f x . (4) 设100220345A,A是A的伴随矩阵,则1()A . (5) 设12,nXXX是 来 自 正 态 总 体2( ,)N 的 简 单 随 机 样 本 , 其 中 参 数和2未 知 , 记22111,() ,nniiiiXX QXXn则假设0:0H的t检验使用统计量t _. 二、 选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设( )f x为可导函数,且满足条件0(1)(1)lim12xffxx ,则曲线( )yf x在点 (1,(1)f处的切线斜率为 ( ) (A) 2 (B) 1 (C) 12 (D) 2 (2) 下列广义积分发散的是 ( ) (A) 111sindxx (B) 12111dxx (C) 20xedx (D) 221lndxxx (3) 设矩阵m nA的秩为( )r Amn,mE为m阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( ) (A) A的任意m个行向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零 (C) 若矩阵B满足0BA ,则0B (D) A通过初等行变换,必可以化为(,0)mE的形式 (4) 设随机变量X和Y独立同分布,记,UXY VXY,则随机变量U与V必然 ( ) (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 (5) 设随即变量X服从正态分布2( ,)N ,则随的增大,概率P X ( ) (A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定 修正版 三、(本题满分 6 分) 设2202(1 cos ),0( )1,01cos,0xxxxf xxt dtxx,试讨论( )f x在0x 处的连续性和可导性. 四、(本题满分 6 分) 已知连续函数( )f x满足条件320( )3xxtf xfdte,求( )f x. 五、(本题满分 6 分) 将函数2ln(12)yxx展成x的幂级数,并指出其收敛区间. 六、(本题满分 5 分) 计算二次积分I22()min , xyx y edxdy . 七、(本题满分 6 分) 设某产品的需求函数为( )QQ p,收益函数为RpQ,其中p为产品价格,Q为需求量(产品的产量),( )Q p为单调减函数.如果当价格为0p,对应产量为0Q时,边际收益 00Q QdRadQ,收益对价格的边际效应00ppdRcdp,需求对价格的弹性1pEb.求0p和0Q. 修正版 八、(本题满分 6 分) 设( )f x、( )g x在区间, a a(0a )上连续,( )g x为偶函数,且( )f x满足条件 ( )()f xfxA(A为常数). (1) 证明0( ) ( )( )aaaf x g x dxAg x dx； (2) 利用(1)的结论计算定积分22sinarctanxxe dx. 九、(本题满分 9 分) 已知向量组()123, ；()1234, ；()1235, ,如果各向量组的秩 分别为(I)(II)3rr,(III)4r. 证明:向量组12354, 的秩为 4. 十、(本题满分 10 分) 已知二次型2212323121323(,)43448f x xxxxx xx xx x. (1) 写出二次型f的矩阵表达式； (2) 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵. 十一、(本题满分 8 分) 假设一厂家生产的每台仪器,以概率 0.70 可以直接出厂；以概率 0.30 需进一步调试, 经调试后以概率 0.80 可以出厂；以概率 0.20 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 (2)n n 台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求： (1) 全部能出厂的概率； (2) 其中恰好有两台不能出厂的概率； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率. 十二、(本题满分 8 分) 已知随机变量X和Y的联合概率密度为 ., 010 , 10 ,4,其他）（yxxyyx 求X和Y联合分布函数( , )F x y. 修正版 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 2222xxdxx_. (2) 已知, 1)(0 xf则000lim(2 )()xxf xxf xx_. (3) 设方程2cosxyeyx确定y为x的函数,则dydx_. (4) 设121000000,000000nnaaAaa其中0,1,2, ,iain则1A_. (5) 设随机变量X的概率密度为 2 ,01,( )0,xxf x其他， 以Y表示对X的三次独立重复观察中事件12X出现的次数,则2P Y _. 二、 选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 曲线2121arctan(1)(2)xxxyexx的渐近线有 ( ) (A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条 (2) 设常数0,而级数21nna收敛,则级数21( 1)nnnan ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 (3) 设A是mn矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵BAC的秩为1r,则 ( ) (A) 1rr (B) 1rr (C) 1rr (D) r与1r的关系由C而定 (4) 设0( )1,0( )1,()()1P AP BP A BP A B,则 ( ) (A) 事件A和B互不相容 (B) 事件A和B相互对立 (C) 事件A和B互不独立 (D) 事件A和B相互独立 修正版 (5) 设nXXX,21是来自正态总体2( ,)N 的简单随机样本,X是样本均值,记 222212112222341111() ,() ,111() ,() ,1nniiiinniiiiSXXSXXnnSXSXnn 则服从自由度为1n的t分布的随机变量是 ( ) (A) 11XtSn (B) 21XtSn (C) 3XtSn (D) 4XtSn 三、(本题满分 6 分) 计算二重积分(),Dxy dxdy其中22( , )1Dx y xyxy. 四、(本题满分 5 分) 设函数( )yy x满足条件440,(0)2,(0)4,yyyyy 求广义积分0( )y x dx. 五、(本题满分 5 分) 已知22( , )arctanarctanyxf x yxyxy,求2fx y . 六、(本题满分 5 分) 设函数( )f x可导,且10(0)0,( )()xnnnfF xtf xtdt,求20( )limnxF xx 七、(本题满分 8 分) 已知曲线(0)ya x a与曲线lnyx在点00(,)xy处有公共切线,求: (1) 常数a及切点00(,)xy； (2) 两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积xV. 八、(本题满分 6 分) 假设( )f x在 ,)a 上连续,( )fx在, a 内存在且大于零,记 ( )( )( )()f xf aF xxaxa, 证明( )F x在, a 内单调增加. 九、(本题满分 11 分) 设线性方程组 修正版 23112131231222322313233323142434,.xa xa xaxa xa xaxa xa xaxa xa xa (1) 证明:若1234,a a a a两两不相等,则此线性方程组无解； (2) 设1324,(0)aak aak k ,且已知12, 是该方程组的两个解,其中 12111 ,1 ,11 写出此方程组的通解. 十、(本题满分 8 分) 设0011100Axy有三个线性无关的特征向量,求x和y应满足的条件. 十一、(本题满分 8 分) 假设随机变量1234,XXXX相互独立,且同分布 00.6,10.4(1,2,3,4)iiP XP Xi, 求行列式1234XXXXX的概率分布. 十二、(本题满分 8 分) 假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布( ,1)N,内径小于 10 或大于 12 的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T(单位:元)与销售零件的内径X有如下关系: 1,10,20,1012,5,12.XTXX 问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大? 修正版 1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) 2352limsin53xxxx . (2) 已知 232,arctan,32xyffxxx则0xdydx . (3) 级数0(ln3)2nnn的和为 . (4) 设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵*A的秩为 . (5) 设总体X的方差为 1,根据来自X的容量为 100 的简单随机样本,测得样本均值为 5,则X的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为 . 二、 选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设 f x 21sin,0,0,0,xxxx则 f x在点0x 处 ( ) (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 (2) 设 f x为连续函数,且 ln1,xxF xf t dt则 Fx等于 ( ) (A) 2111lnfxfxxx (B) 11lnfxfxx (C) 2111lnfxfxxx (D) 1lnfxfx (3) n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A和B满足()1P B A ,则 ( ) (A) A是必然事件 (B) ()0P B A . (C) AB (D) AB (5) 设随机变量X的密度函数为( )x,且()( )xx.( )F x是X的分布函数,则对任意实数a,有( ) (A) 0()1( )aFax dx . (B) 01()( )2aFax dx 修正版 (C) ()( )FaF a (D) ()2 ( ) 1FaF a 三、(本题满分 5 分) 设zf x,y是由方程0zy xzyxxe 所确定的二元函数,求dz. 四、(本题满分 7 分) 已知22lim4xxaxxax edxxa,求常数a的值. 五、(本题满分 9 分) 设某产品的成本函数为2,Caqbqc需求函数为1(),qdpe其中C为成本,q为需求量(即产量),p为单价, , , ,a b c d e都是正的常数,且db,求: (1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性; (3) 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量. 六、(本题满分 8 分) 假设:(1) 函数( )(0)yf xx 满足条件(0)0f和0( )1xf xe; (2) 平行于y轴的动直线MN与曲线( )yf x和1xye分别相交于点1P和2P; (3) 曲线( )yf x,直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段12PP的长度. 求函数( )yf x的表达式. 七、(本题满分 6 分) 假设函数( )f x在0,1上连续,在(0,1)内二阶可导,过点(0,(0)Af与(1,(1)Bf的直线与曲线( )yf x相交于点( ,( )C c f c,其中01c. 证明:在(0,1)内至少存在一点,使( )0f. 修正版 八、(本题满分 10 分) k为何值时,线性方程组 12321231234,24xxkxxkxxkxxx 有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解. 九、(本题满分 9 分) 设二次型 222123122313222fxxxx xx xx x 经正交变换XPY化成22232fyy,其中123(,)TXx xx和123(,)TYy yy是三维列向量, P是 3 阶正交矩阵.试求常数, . 十、(本题满分 8 分) 设随机变量X和Y同分布, X的概率密度为 23,02,( )80,.xxf x其他 (1) 已知事件AXa和BYa独立,且34P AB.求常数a. (2) 求21X的数学期望. 十一、(本题满分 8 分) 假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数 N t服从参数为t的泊松分布. (1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； (2) 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下,再无故障运行 8 小时的概率Q. 修正版 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) 设商品的需求函数为1005QP,其中,Q P分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于 1,则商品价格的取值范围是_. (2) 级数21(2)4nnnxn的收敛域为_. (3) 交换积分次序2120( , )yydyf x y dx_. (4) 设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且0,0AAa Bb CB,则C _. (5) 将, ,C C E E I N S等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为_. 二、 选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设2( )( )xaxF xf t dtxa,其中( )f x为连续函数,则lim( )xaF x等于 ( ) (A) 2a (B) 2( )a f a (C) 0 (D) 不存在 (2) 当0x 时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( ) (A) 2x (B) 1 cos x (C) 211x (D) tanxx (3) 设A为mn矩阵,齐次线性方程组0Ax 仅有零解的充分条件是 ( ) (A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关 (4) 设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则 ( ) (A) ( )( )( ) 1P CP AP B (B) ( )( )( ) 1P CP AP B (C) ( )()P CP AB (D) ( )()P CP AB (5) 设n个随机变量12,nXXX独立同分布,2111(),niiD XXXn 2211()1niiSXXn,则 ( ) (A) S是的无偏估计量 (B) S是的最大似然估计量 (C) S是的相合估计量(即一致估计量) (D) S与X相互独立 修正版 三、(本题满分 5 分) 设函数lncos(1),1,1 sin( )21,1.xxxf xx问函数( )f x在1x 处是否连续?若不连续,修改函数在1x 处的定义使之连续. 四、(本题满分 5 分) 计算arccot.xxeIdxe 五、(本题满分 5 分) 设sin()( ,)xzxyxy,求2zx y ,其中( , )u v有二阶偏导数. 六、(本题满分 5 分) 求连续函数( )f x,使它满足20( )2( )xf xf t dtx. 七、(本题满分 6 分) 求证:当1x 时,212arctanarccos214xxx. 八、(本题满分 9 分) 设曲线方程(0)xyex. (1) 把曲线xye,x轴,y轴和直线(0)x 所围成平面图形绕x轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积( )V;求满足1( )lim( )2V aV的a. （2）在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积. 九、(本题满分 7 分) 设矩阵A与B相似,其中 20010022 ,02031100AxBy. (1) 求x和y的值. (2) 求可逆矩阵P,使得1P APB. 修正版 十、(本题满分 6 分) 已知三阶矩阵0B ,且B的每一个列向量都是以下方程组的解: 123123123220,20,30.xxxxxxxxx (1) 求的值; (2) 证明0B . 十一、(本题满分 6 分) 设AB、分别为mn、阶正定矩阵,试判定分块矩阵00ACB是否是正定矩阵. 十二、(本题满分 7 分) 假设测量的随机误差2(0,10 )XN,试求 100 次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字). 附表 1 2 3 4 5 6 7 e 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 十三、(本题满分 5 分) 一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10,0.20 和 0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望EX和方差DX. 十四、(本题满分 4 分) 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 ,0,( , )0,yexyf x y其他, (1) 求随机变量X的密度( )Xfx; (2) 求概率1P XY. 修正版 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin,xyze则dz _. (2) 设 曲 线 3f xxax与 2g xbxc都 通 过 点1 0 ,且 在 点1 0 ,有 公 共 切 线 , 则a _,b _,c _. (3) 设 xf xxe,则 nfx在点x _处取极小值 _. (4) 设A和B为可逆矩阵,00AXB为分块矩阵,则1X _. (5) 设随机变量X的分布函数为 0,1,0.4,11,( )0.8,13,1,3.xxF xP Xxxx 则X的概率分布为 _. 二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 下列各式中正确的是 ( ) (A) 01lim 11xxx (B) 01lim 1xxex (C) 1lim 1xxex (D) 1lim 1xxex (2) 设10(1,2,)nann则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A) 1nna (B) 1( 1)nnna (C) 1nna (D) 21( 1)nnna (3) 设A为n阶可逆矩阵,是A的一个特征根,则A的伴随矩阵*A的特征根之一是( ) (A) 1nA (B) 1A (C) A (D) nA (4) 设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( ) (A) A与B不相容 (B) A与B相容 (C) P ABP A P B (D) P ABP A (5) 对于任意两个随机变量X和Y,若()()( )E XYE XE Y,则 ( ) (A) ()()( )D XYD XD Y (B) ()()( )D XYD XD Y 修正版 (C) X和Y独立 (D) X和Y不独立 三、(本题满分 5 分) 求极限 120limxxnxxxeeen,其中n是给定的自然数. 四、(本题满分 5 分) 计算二重积分DIydxdy,其中D是由x轴,y轴与曲线1xyab所围成的区域,0,0ab. 五、(本题满分 5 分) 求微分方程22dyxyxydx满足条件2x eye的特解. 六、(本题满分 6 分) 假设曲线1L：2101yxx 、x轴和y轴所围区域被曲线2L：2yax分为面积相等的两部分,其中a是大于零的常数,试确定a的值. 七、(本题满分 8 分) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p和2p；销售量分别为1q和2q；需求函数分别为11240 2q. p和22100 05q.p,总成本函数为123540Cqq. 试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？ 八、(本题满分 6 分) 试证明函数1( )(1)xf xx在区间(0,)内单调增加. 九、(本题满分 7 分) 设有三维列向量 12321110111111, 问取何值时, (1) 可由123, 线性表示,且表达式唯一? (2) 可由123, 线性表示,且表达式不唯一? (3) 不能由123, 线性表示? 修正版 十、(本题满分 6 分) 考虑二次型22212312132344224fxxxx xx xx x.问取何值时,f为正定二次型. 十一、(本题满分 6 分) 试证明n维列向量组12,n 线性无关的充分必要条件是 1112121222120TTTnTTTnTTTnnnnD , 其中Ti表示列向量i的转置,1,2,in. 十二、(本题满分 5 分) 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X的概率分布. 十三、(本题满分 6 分) 假设随机变量X和Y在圆域222xyr上服从联合均匀分布. (1) 求X和Y的相关系数;(2) 问X和Y是否独立? 十四、(本题满分 5 分) 设总体X的概率密度为 1,0,( ; )0,0,aaxaxexp xx 其中0是未知参数,0a 是已知常数.试根据来自总体X的简单随机样本 12,nXXX,求的最大似然估计量. 修正版 1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.) (1) 极限lim(3)nnnnn_. (2) 设函数( )f x有连续的导函数,(0)0,(0)ffb,若函数 ( )sin,0,( ),0f xaxxF xxAx 在0x 处连续,则常数A=_. (3) 曲线2yx与直线2yx所围成的平面图形的面积为_. (4) 若线性方程组121232343414,xxaxxaxxaxxa 有解,则常数1234,aaaa应满足条件_. (5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为_. 二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数sin( )tanxf xxx e,则( )f x是 ( ) (A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数( )f x对任意x均满足等式(1)( )fxaf x,且有(0),fb其中, a b为非零常 数,则 ( ) (A) ( )f x在1x 处不可导 (B) ( )f x在1x 处可导,且(1)fa (C) ( )f x在1x 处可导,且(1)fb (D) ( )f x在1x 处可导,且(1)fab (3) 向量组12,s 线性无关的充分条件是 ( ) (A) 12,s 均不为零向量 (B) 12,s 中任意两个向量的分量不成比例 (C) 12,s 中任意一个向量均不能由其余1s个向量线性表示 (D) 12,s 中有一部分向量线性无关 (4) 设,A B为两随机事件,且BA,则下列式子正确的是 ( ) (A) P ABP A (B) P ABP A 修正版 (C) P B AP B (D) ( )P BAP BP A (5) 设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为 m -1 1 P Xm 12 12 则下列式子正确的是 ( ) (A) XY (B) 0P XY (C) 12P XY (D) 1P XY 三、计算题(本题满分 20 分,每小题 5 分.) (1) 求函数2ln( )21xetI xdttt在区间2 ,e e上的最大值. (2) 计算二重积分2yDxedxdy,其中D是曲线24yx和29yx在第一象限所围成的区域. (3) 求级数21(3)nnxn的收敛域. (4) 求微分方程sincos(ln )xyyxx e的通解. 四、(本题满分 9 分) 某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用1x(万元)及报纸广告费用2x(万元)之间的关系有如下经验公式: 221212121514328210.Rxxx xxx (1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略； (2) 若提供的广告费用为 1.5 万元,求相应的最优广告策略. 五、(本题满分 6 分) 设( )f x在闭区间0, c上连续,其导数( )fx在开区间(0, )c内存在且单调减少；(0)0f,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()( )( )f abf af b,其中常数ab、满足条件0ababc. 六、(本题满分 8 分) 已知线性方程组 1234512345234512345,3230,226,54332,xxxxxaxxxxxxxxxbxxxxx (1) ab、为何值时,方程组有解? (2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解. 七、(本题满分 5 分) m -1 1 P Ym 12 12 修正版 已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得0kA ,试证明矩阵EA可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵). 八、(本题满分 6 分) 设A是n阶矩阵,1和2是A的两个不同的特征值,12,XX是分别属于1和2的特征向量.试证明12XX不是A的特征向量. 九、(本题满分 4 分) 从0,1,2,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率： 1A 三个数字中不含 0 和 5；2A 三个数字中不含 0 或 5. 十、(本题满分 5 分) 一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布函数为: 0.50.50.5(),0,0,( , )0,xyx yeeexyF x y1-若其他. (1) 问X和Y是否独立? (2) 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率. 十一、(本题满分 7 分) 某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为 72 分,96 分以上的占考生总数的 2.3%,试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率. 附表 x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ( )x 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中( )x是标准正态分布函数. 1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 修正版 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sinyxx在点122,处的切线方程是_ _ . (2) 幂级数01nnxn的收敛域是_ _ . (3) 齐次线性方程组 1231231230,0,0xxxxxxxxx 只有零解,则应满足的条件是_ _ . (4) 设随机变量X的分布函数为 00sin0212,x,F xAx,x,x, 则A=_,6PX . (5) 设 随 机 变 量X的 数 学 期 望()E X, 方 差2()D X, 则 由 切 比 雪 夫 (Chebyshev) 不 等 式 , 有3 P X_ _ . 二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设 232xxf x,则当0x 时 ( ) (A) f x与x是等价无穷小量 (B) f x与x是同阶但非等价无穷小量 (C) f x是比x较高阶的无穷小量 (D) f x是比x较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A) fx dxf x (B) dfxf x (C) df x dxf xdx (D) df x dxf x (3) 设A为n阶方阵且0A ,则 ( ) (A) A中必有两行(列)的元素对应成比例 (B) A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A中至少有一行(列)的元素全为 0 (4) 设A和B均为nn矩阵,则必有 ( ) (A) ABAB (B)ABBA 修正版 (C) ABBA (D) 111ABAB (5) 以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为 ( ) (A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销” (C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 三、计算题(本题满分 15 分,每小题 5 分) (1) 求极限11lim sincosxx.xx (2) 已知( , ),zf u v uxy vxy且( , )f u v的二阶偏导数都连续.求2zx y . (3) 求微分方程562xyyye的通解. 四、(本题满分 9 分) 设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为 2( )10xPP xe, 且最大需求量为 6,其中x表示需求量,P表示价格. (1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2 分) (2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4 分) (3) 画出收益函数的图形.(3 分) 五、(本题满分 9 分) 已知函数 ,01,( )2,12.xxf xxx 试计算下列各题： (1) 200( );xSf x e dx(4 分) (2) 412(2);xSf xe dx(2 分) (3) 222(2 )(2,3,);nxnnSf xn e dx n(1 分) (4) 0nnSS.(2 分) 六、(本题满分 6 分) 假设函数( )f x在 , a b上连续,在( , )a b内可导,且( )0fx,记 1( )( ),xaF xf t dtxa 证明在( , )a b内,( )0F x. 七、(本题满分 5 分) 修正版 已知XAXB,其中010111101A, 112053B,求矩阵X. 八、(本题满分 6 分) 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3, ) t. (1) 问当t为何值时,向量组123, 线性无关?(3 分) (2) 问当t为何值时,向量组123, 线性相关?(1 分) (3) 当向量组123, 线性相关时,将3表示为1和2的线性组合.(2 分) 九、(本题满分 5 分) 设122212221A. (1)试求矩阵A的特征值；(2 分) (2)利用(1)小题的结果,求矩阵1EA的特征值,其中E是三阶单位矩阵.(3 分) 十 、(本题满分 7 分) 已知随机变量X和Y的联合密度为 (),( , )0,x yexyf x y 00其它. 试求：(1) P XY；(5 分) (2) ()E XY.(2 分) 十一、(本题满分 8 分) 设随机变量X在2,5上服从均匀分布,现在对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于 3 的概率. 修正版 1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、填空题（本题满分 20 分，每小题 4 分） （1）若 ，是0,20,cossin2xaxxxxexf上的连续函数，则a_. （2）若tfxtxx则）（,11tlimtf2_. （3）设 f（x）是连续函数，且 7f,103则xdttfx_. （4）tgxxx)1(lim0_. （5）40dxex_. 二、选择题:（本题满分 20 分，每小题 4 分）. (1) 16213123xxxxf的图形在点(0,1)处切线与 x 轴交点的坐标是（ ） (A)061， (B)01， (C)061， (D) 01， (2) 若 则必有上皆可导，且，在与),(xgxfxgxf( ) (A)xgxf (B) xgxf (C) xgxfxxxx00limlim (D)dttgdttfxx00 (3)若函数 0,21)(0xxfxfy则当有时，该函数在0xx 处的微分dy是( ) (A)与x等阶的无穷小 (B)与x同阶的无穷小 (C)与x低阶的无穷小 (D) 与x高阶的无穷小 (4)曲线xxy0sin23与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所形成的旋转( ) (A)34 (B) 34 (C) 232 (D) 32 (5) n维向量组nsaaas3,21线性无关的充分必要条件是( ) (A)由一组不全为 0 的数0,221121sssakakakkkk使 (B)saaa,21中任意两个向量都线性无关 (C)saaa,21中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出 (D)saaa,21中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 三、（本题满分 15 分，每小题 5 分） 修正版 （1）已知）（求）（且）（）（xxxxx. 0,1f ,exf2并写出它的定义域。 （2）已知0|0|,1 xyxyxeyxy及求 （3）求微分方程) 1(112xxyxy的通解（一般解）。 四、（本题满分 12 分） 作函数4262xxy的图形，并填写下表。 单调增区间 单调减区间 极值点 极值 凹 区间 凸 区间 拐点 渐近线 五、（本题满分 8 分） 将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形。问着两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？ 六、（本题满分 10 分） 设函数 xyy 满足微分方程,223xeyyy 且图形在点 1 , 0处的切线与曲线12xxy在该点的切线重合，求函数 xyy 。 七、（本题满分 6 分） 设.|1, 11dttxx求 八、（本题满分6 分） 设 ，在xf上有连续导数，且 .Mxfm （1）求;41lim20dtatfatfaaaa （2）证明 .0,21amMxfdttfaaa 修正版 1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、填空题（每小题 2 分，满分 10 分。把答案填在题中横线上） （1）设,1lnaxy其中a为非零常数，则 y_.， y_. （2）曲线arctgxy 在横坐标为 1 点处的切线方程是_.；法线方程是_. （3）积分中值的条件是 ，结论是 。 （4）nnnnlin)12(_. （5） dxxf_.； dxxfba2_. 二、（本题满分 6 分） 求极限)111(lim0xxex 三、（本题满分 7 分） 设.,cos15sin522dxyddxdytyttx求 四、（本题满分 8 分） 计算定积分10.arcsin xdxx 五、（本题满分 8 分） 设 D 是曲线1sinxy与三条直线0, 0yxx围成的曲边梯形。求 D 绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积。 修正版 六、证明题（本题满分 10 分） （1）（5 分）若 baxf,在内可导，且导数 xf 恒大于零，则baxf,)(在内单调增加。 （2）（5 分）若cxxg在)(处二阶导数存在，且. 0)(, 0)( cgcg则)()(xgcg为的一个极大值。 七、（本题满分 10 分） 计算不定积分xbxadx2222cossin（其中 a,b 为不全为零的非负数） 八、（本题满分 15 分） （1）（7 分）求微分方程, yxdxdyx满足条件02xy的解。 （2）（8 分）求微分方程xxeyyy 2的通解。 九、选择题（每小题 4 分，满分 16 分） (1)是xexxfx,sin)(cos( ) (A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数 (2) 函数xxxfsin)( ) (A)当x时为无穷大 (B)当x时有极限 (C)在），（内有界 (D) 在），（内无界 (3)设axxf在)(处可导，则xxafxafx)()(lim0 等于( ) (A)(af (B)(2af (C)0 (D)2( af (4)设)(xf为已知连续函数，ItsdxtxftIts则, 0, 0,)(0的值( ) (A)依赖与 s 和 t (B) 依赖与 s、t、x (C) 依赖与 t 和 x，不依赖与 s (D) 依赖与 s，不依赖与 t 十、（本题满分 10 分） 在第一象限内，求曲线12xy上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积。