实数知识点归纳及典型例题 Last updated at 10:00 am on 25th December 2020 第十三章实数-知识点总结 一、算术平方根 1. 算术平方根的定义： 一般地，如果 的 等于 a，即 ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根a的算术平方根记为 ，读作“根号 a”，a 叫做 规定：0 的算术平方根是 0. 也就是，在等式ax2 (x0)中，规定ax 。 理解： ax2 (x0) ax a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的算术平方根 a的算术平方根是 x 2. a的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时，a是一个有限数； 当 a 不是一个完全平方数时，a是一个无限不循环小数。 3. 当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)； 4. 夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法： ） 二、平方根 1. 平方根的定义：如果 的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a的 即：如果 ，那么 x 叫做 a的 理解： ax2 ax a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的平方根 a 的平方根是 x 2.开平方的定义：求一个数的 的运算，叫做 开平方运算的被开方数必须是 才有意义。 3. 平方与开平方 ：3 的平方等于 9，9 的平方根是3 4. 一个正数有 平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数 平方根，即负数不能进行开平方运算 5. 符号：正数 a 的正的平方根可用a表示，a也是 a 的算术平方根； 正数 a 的负的平方根可用-a表示 6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 三、立方根 1. 立方根的定义：如果 的 等于a，这个数叫做a的 （也叫做 ），即如果 ，那么x叫做a的立方根。 2. 一个数a的立方根，记作3a，读作：“三次根号a”， 其中a叫被开方数，3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 理解： ax 3 3ax a 是 x 的立方 x 的立方是 a x 是 a 的立方根 a 的立方根是 x 3. 一个正数有一个正的立方根；0 有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。 4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即330aa a 。 四、实数 1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数 3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数 4. 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如2，33，是正无理数，2，33，是负无理数。由于非 0 有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类： 5. 实数与数轴上点的关系： 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数， 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 6. 数a的相反数是a，这里a表示任意一个实数。 7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0。 8. 无限小数是有理数（ ） 无限小数是无理数（ ） 有理数是无限小数（ ） 无理数是无限小数（ ） 数轴上的点都可以用有理数表示（ ） 有理数都可以由数轴上的点表示（ ） 数轴上的点都可以用无理数表示（ ） 无理数都可以由数轴上的点表示（ ） 数轴上的点都可以用实数表示（ ） 实数都可以由数轴上的点表示（ ） 五、考点分析 类型一、有关概念的识别 例 1下面几个数：57223064. 0010010001. 1 , 7231 . 03，其中，无理数的个数有 A、1 B、2 C、3 D、4 【变式 1】下列说法中正确的是（ ） A、81的平方根是 3 B、1 的立方根是 1 C、11 D、5是 5 的平方根的相反数 【变式 2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点 A 表示的数是（ ） A、 B、 C、2 D、3 类型二、计算类型题 例 2设a26，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 举一反三： 【变式 1】1）的算术平方根是_；平方根是） -27 立方根是_. 3）_， _，_. 【变式 2】求下列各式中的 （1）252x （2）912x （3）643x 类型三、数形结合 例 3. 点A在数轴上表示的数为53，点B在数轴上表示的数为 2，则A，B两点的距离为_ 举一反三： 【变式 1】如图，数轴上表示 1，2的对应点分别为 A，B，点 B 关于点 A的对称点为 C，则点 C 表示的数是（ ） A12 B21 C22 D22 类型四、实数非负性的应用 例 4已知026262zyyxx，求33zyx的值。 【变式 1】已知01522cba，求cba的值。 类型五、易错题 例 5判断下列说法是否正确 （1）23的算术平方根是-3 （ ） （2）225的平方根是15 （ ） （3）当 x=0 或 2 时，02 xx （ ） （4）23是分数 （ ） 类型六、实数应用题 例 6有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。 类型七、引申提高 例 7. 把下列无限循环小数化成分数：0.6 0.23 0.107 一、填空题 1、（）2的平方根是 2、若=25,=3,则 a+b= 3、已知一个正数的两个平方根分别是2a2 和 a4，则 a 的值是 4、43 _ 5、若 m、n 互为相反数，则nm5_ 6、大于- 2，小于 10的整数有_个。 7、一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4，则 a= ，x= 。 二、选择题 2ab1、以下语句及写成式子正确的是（ ） A、7 是 49 的算术平方根，即749 B 、7 是2)7(的平方根，即7)7(2 C、7是 49 的平方根，即749 D 、7是 49 的平方根，即749 2、下列语句中正确的是（ ） A、9的平方根是3 B 、9的平方根是3 C、 9的算术平方根是3 D 、9的算术平方根是3 3、下列语句中正确的是（ ） A、任意算术平方根是正数 B 、只有正数才有算术平方根 C、3 的平方是 9，9 的平方根是 3 D 、1是 1 的平方根 三、利用平方根解下列方程 四、解答题 1、若0) 13(12yxx，求25yx 的值。 4、已知052522xxxy，求 7（xy）20 的立方根。