第一充分条件第一充分条件:在在内可导内可导,(1) “左左正正右右负负” ,(2) “左左负负右右正正” ,极值的必要条件极值的必要条件:若若是函数是函数f(x)的极值的极值,则则或或不存在不存在.极值的充分条件极值的充分条件(3) “不变号不变号” ,则则不是极值不是极值设函数设函数 f(x)在在上上连续连续,3.5内容回顾内容回顾第二充分条件第二充分条件:二阶导数二阶导数 , 且且则则 在点在点 取极大值取极大值 ;则则 在点在点 取极小值取极小值 .第三充分条件第三充分条件则则:数数 , 且且1) 当当 为偶数为偶数时时,是极小点是极小点 ;是极大点是极大点 .2) 当当 为奇数为奇数时时,为极值点为极值点 , 不是极值点不是极值点 .是拐点是拐点.不是拐点不是拐点.(拐点的第二充分条件拐点的第二充分条件): 当当 在区间在区间I 上连续且只有上连续且只有一个一个极值点时极值点时, 当当 在在 上上单调单调时时, 最值必在端点处达到最值必在端点处达到.若在此点取极大若在此点取极大 值值 , 则也是最大则也是最大 值值 . (小小) 对应用问题对应用问题 , 有时可根据有时可根据实际意义实际意义判别求出的判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点可疑点是否为最大值点或最小值点 .(小小)闭区间上闭区间上 连续函数连续函数的最值的最值:一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线二、二、 函数图形的描绘函数图形的描绘3.6 函数图形的描绘 第三三章 1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若若则曲线则曲线有水平渐近线有水平渐近线若若则曲线则曲线有铅直渐近线有铅直渐近线一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线2. 斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线若若( P75 题题13)二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数确定函数的定义域的定义域 ,2. 求求并求出并求出及及3. 列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点求出极值和拐点 ;4. 求渐近线求渐近线 ;5. 作图作图为为 0 和不存在的点和不存在的点 ;并考察其对称性及周期性并考察其对称性及周期性 ;(2) 画出渐近线画出渐近线(3)描点描点:首先是表中的特殊点首先是表中的特殊点(4)结合单调性与凹凸性及渐近线分段连线作图结合单调性与凹凸性及渐近线分段连线作图(必要时补充一些关键点必要时补充一些关键点)(1)画出坐标系画出坐标系(适当确定两轴的单位适当确定两轴的单位)例例1. 描绘描绘的图形的图形.解解: 1) 定义域为定义域为无对称性及周期性无对称性及周期性.2)3)(极大极大)(拐点）拐点）(极小极小)4)无渐近线无渐近线,补充点补充点(-1,2/3)、(3,2)5)描点作图描点作图例例2. 描绘函数描绘函数的的图形图形. 解解: 1) 定义域为定义域为图形对称于图形对称于 y 轴轴.2)3)(极大极大)(拐点拐点)(极大极大)(拐点拐点)为为水平渐近线水平渐近线5) 作图作图4) 求渐近线求渐近线例例3.3.描绘函数描绘函数解解非奇非偶函数非奇非偶函数, ,且无对称性且无对称性. .的的图形图形. 3).3).列表列表拐点拐点极值极值点点4) 求渐近线求渐近线补充点补充点:(-2,-3)5)作图：作图：.D例例4. 求曲线求曲线的渐近线的渐近线 .解解:所以有铅直渐近线所以有铅直渐近线及及又因又因为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线 .(无水平渐近线无水平渐近线)水平渐近线水平渐近线 ;铅直渐近线铅直渐近线; 内容小结内容小结1. 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法斜渐近线斜渐近线按作图步骤进行按作图步骤进行2. 函数图形的描绘函数图形的描绘拐点为拐点为 ,凸区间是凸区间是 , 曲线曲线的凹区间是的凹区间是 ,提示提示:及及渐近线渐近线 .单增区间单增区间 ,单减区间单减区间 .0,+)(-,0P76 14 (2); P169 2 ; 5作业作业曲线的弯曲程度曲线的弯曲程度与切线的转角有关与切线的转角有关与与曲线的弧长有关曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 3.7 平面曲线的曲率 第三三章 一、一、 弧微弧微分分设设在在(a , b)内有连续导数内有连续导数, 其其图形为图形为 AB,弧长弧长(增函数增函数)表示有向弧表示有向弧的值的值则则弧长微分公式为弧长微分公式为或或若若曲线由参数方程表示曲线由参数方程表示:又又s=s(x)是增函数是增函数,则则若若曲线由极坐标方程表示曲线由极坐标方程表示:代入参数方程时的弧微分公式得代入参数方程时的弧微分公式得,请记住三个弧微分公式请记住三个弧微分公式!二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点在光滑弧上自点 M 开始取弧段开始取弧段, 其长为其长为对应切线对应切线定义定义弧段弧段 上的平均曲率上的平均曲率点点 M 处的曲率处的曲率注意注意: 直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为 0 !转角为转角为例例1. 求半径为求半径为R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示如图所示 ,可见可见: R 愈小愈小, 则则K 愈大愈大 , 圆弧弯曲得愈厉圆弧弯曲得愈厉害害 ;R 愈大愈大, 则则K 愈小愈小 , 圆弧弯曲得愈小圆弧弯曲得愈小 .有曲率近似计算公式有曲率近似计算公式故曲率计算公式为故曲率计算公式为又又曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导二阶可导,设曲线弧设曲线弧则由则由两边微分得两边微分得:三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设设 M 为曲线为曲线 C 上任一点上任一点 , 在在点点在在曲线曲线把以把以 D 为中心为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点为半径的圆叫做曲线在点 M 处的处的曲率圆曲率圆 ( 密切圆密切圆 ) ,R 叫做叫做曲率半径曲率半径, D 叫做叫做曲率中心曲率中心.在点在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线有公切线;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点的凹向一侧法线上取点 D 使使设曲线方程为设曲线方程为且且求求曲线上点曲线上点M 处的处的曲率半径及曲率中心曲率半径及曲率中心设点设点M 处的曲率圆方程为处的曲率圆方程为故曲率半径公式为故曲率半径公式为满足方程组满足方程组的坐标公式的坐标公式 .由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式(注意注意与与异号异号 )95年考研题：推导曲率中心的坐标公式年考研题：推导曲率中心的坐标公式例例2. 设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨现要用砂轮磨削其削其内内表面表面 , 问选择多大的砂轮比较合适问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为设椭圆方程为显然显然, 椭圆在椭圆在处处曲率最大曲率最大 ,即即曲率半径最小曲率半径最小, 且为且为则则选择选择砂轮半径不超过砂轮半径不超过(想一想怎样求想一想怎样求?)=0内容小结内容小结1. 弧长微分弧长微分或或2. 曲率公式曲率公式3. 曲率圆曲率圆曲率半径曲率半径曲率中心曲率中心(不必记此公式不必记此公式,知道概念、会推导知道概念、会推导)思考与练习思考与练习 求双曲线求双曲线的曲率半径的曲率半径 R , 并分析何处并分析何处 R 最小最小?解解:则则利用利用作业作业P175 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； 9