第一章 集合与函数概念 一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、 理解两个集合的并集与交集的含义， 会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号 y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念； 体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型， 体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法） ，并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业， 使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论， 只将集合作为一种语言来学习， 要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用 Venn 图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。 3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中. 4. 在例题和习题的编排中， 渗透了集合中的分类思想， 让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方面的训练 . 5. 教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，教师要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 6. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法） ，目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法 . 7. 教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性 . 8. 教材加强了函数与信息技术整合的要求， 通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用. 9. 为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍. 三. 教学内容及课时安排建议 本章教学时间约 13 课时。 1.1 集合 4 课时 1.2 函数及其表示 4 课时 1.3 函数的性质 3 课时 实习作业 1 课时 复习 1 课时 1.1.1 集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1教师利用多媒体设备向学生投影出下面 8 个实例： （1）120 以内的所有质数； （2）我国从 19912003 年的 13 年内所发射的所有人造卫星； （3）金星汽车厂 2003 年生产的所有汽车； （4）2004 年 1 月 1 日之前与我国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形； （6）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点 （7）方程2320xx的所有实数根； （8）新华中学 2004 年 9 月入学的高一学生的全体.； 2教师组织学生分组讨论：这 8 个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出 8 个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母 A，B，C，D，表示，元素常用小写字母, , ,a b c d表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性， 即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于 3 小于 11 的偶数； (2)我国的小河流. 让学生充分发表自己的建解. 3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价. 4.教师提出问题，让学生思考 (1)如果用 A 表示高(3)班全体学生组成的集合， 用a表示高一(3)班的一位同学，b是高一(4)班的一位同学，那么, a b与集合 A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于. 如果a是集合 A 的元素，就说a属于集合 A，记作aA. 如果a不是集合 A 的元素，就说a不属于集合 A，记作aA. (2)如果用 A 表示 “所有的安理会常任理事国” 组成的集合， 则中国.日本与集合 A 的关系分别是什么?请用数学符号分别表示 (3)让学生完成教材第 5 页练习第 1 题. 5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题 1.1A 组第 1 题. 6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题： (1)要表示一个集合共有几种方式? (2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法? 使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。 (四)巩固深化，反馈矫正 教师投影学习： (1)用自然语言描述集合1，3，5，7，9； (2)用例举法表示集合|18AxNx (3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第 5 页练习第 2 题. (五)归纳整理，整体认识 在师生互动中，让学生了解或体会下例问题： 1本节课我们学习过哪些知识内容? 2你认为学习集合有什么意义？ 3选择集合的表示法时应注意些什么? (六)承上启下，留下悬念 1课后书面作业：第 12 页习题 1.1A 组第 4 题. 2. 元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习教材. A 组 一、选择题 1、下列语句中表示集合的是( ) A. 接近与 0 的数的全体 B. 所有的老人 C. 大于 100 的全体实数 D. 著名的数学家 2、下列各组对象不能构成集合的是（ ） A自然数的全体 B大于 1 的整数 C接近零的数的全体 D所有的直角三角形 3、设 M=xx4,a= 15 则下列结论正确的是（ ） AaM BaM CaM DaM 4、集合 A=xZkkx,2， B=Zkkxx, 12，C=Zkkxx, 14又,BbAa则有（ ） A. (a+b)A B. (a+b)B C. (a+b)C D. (a+b)A、B、C 任一个 5、由实数 x，x，x，2x，33 x所组成的集合中，含有元素的个数最多为（ ） A2 B3 C4 D5 6、设 a、b 都是非零实数，ababyabab可能取的值组成的集合为（ ） A 3 B 1，2，3 C 1，1，3 D 1，3 7、方程组345xyyyzzx的解集为2，1，3 ；（2，1，3） ； （2，1，3） ，其中正确的表示方法是（ ） A B C D 8、 （07 全国）设, a bR，集合1, 0, bab aba，则ba（ ） A1 B1 C2 D2 9、集合 M=y | y =26x, x, yZ中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10、集合1,3,5,7,9用描述法表示出来应是 （ ） A. x | x 是不大于 9 的非负奇数 B. x | 1x9 C. x | x9 且 xN D. x | 0x9 且 xZ 11、已知集合 M=比4 大且比 2 小的实数.则下列关系中正确的是 （ ） A. 5M B. 0M C. 2M D. -M 12、下列给出的集合 M、P 中表示同一集合的是 （ ） A. M=(1, 3), P=(3,1) B. M=(1, 3), P=1,3 C. M=0, P=(1,3) D. M=(1, 3), P=(x, y) | x=1,y=3 13、集合 A=x | x2(2a1) x+ a2=0= ,则 a 的取值范围为 （ ） A. a41 B. a41 C. a=41 D. 无法确定. 二、填空题 1、数集2a，a2a中 a 的取值范围是 。 2、 已知集合 A= 0， 1， 1， 2， 2， 3 ， B= yy=x21， xA ， 则集合 B= 。 3 、 已 知 集 合 A= xx2 px+q=0 ， B= yy2+(p 1)y+q 3=0 ， 且 A= 3 ， 则B= 。 4、方程 x2-5x+6=0 的解集可表示为 . 5、关于 x 的方程 m x+ n=0,当 m、n 满足条件 时，解集是无限集。 6、已知 A=-2,-1,0,1,B=x | x=|y|, yA,则 B= . 7、若实数 a、b、c 均不为 0，则aa+bb+cc的值所组成的集合为 . 8、由实数33222,)( ,xxxxxx所组成的集合,最多含有 个元素. 三、解答题 1、若3a3,2a1,a2+1.求实数 a. 2、已知集合 A=x | m x2+2x+1=0,mR, xR至多有一个元素，试求 m 的取值范围. 3、若, 74, 4222RbbbyyBRaaaxxA 2 属于 A 吗? 试确定集合 A 和 B的关系? 4、 设 S 是满足下列两个条件所构成的集合。 1S； 若 aS， 则11aS；（1） 求证： 若 aS， 则11aS；（2）若 2S，则 S 中必有两个其他数，试写出这两个数。