拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换一、拉氏变换及其特性一、拉氏变换及其特性1 1、 拉氏变换定义拉氏变换定义如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为补充补充知识知识重点重点式中，s是复变数，（ 、 均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉氏变化，它是一个复变函数，通常称为的象函数，而称为 的原函数；L是表示进行拉氏变换的符号。拉氏变换是这样一种变换，即在一定的拉氏变换是这样一种变换，即在一定的条件下，它能把一实数域中的实变函数条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的变换为一个在复数域内与之等价的复变函数复变函数 。1 1）、）、 典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换（k =const） 单位阶跃函数，记作单位阶跃函数，记作1( t ) （1 1）阶跃函数（位置函数）阶跃函数（位置函数）（2 2）斜坡函数（又称速度函数）斜坡函数（又称速度函数）（k =const） 单位斜坡函数单位斜坡函数（3）抛物函数（又称加速度函数）抛物函数（又称加速度函数）（k =const） 单位抛物函数单位抛物函数（4）单位脉冲函数）单位脉冲函数重要性质重要性质 （5）指数函数）指数函数指数增长函数指数增长函数指数衰减函数指数衰减函数 指数增长函数指数增长函数指数衰减函数指数衰减函数 （6）正弦函数）正弦函数（7）余弦函数）余弦函数2 2、拉氏变换的运算法则、拉氏变换的运算法则（1 1）线性定理）线性定理（2 2）延迟定理）延迟定理（3 3）位移定理）位移定理（4 4）相似定理）相似定理（5 5）微分定理）微分定理微分定理推论微分定理推论特别在零初始条件下特别在零初始条件下 （6 6）积分定理）积分定理当初始条件为零时，则当初始条件为零时，则（7 7）初值定理）初值定理（8 8）终值定理）终值定理（1010）象函数的积分性质象函数的积分性质（9 9）象函数的微分性质）象函数的微分性质的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换的拉氏变换（1111）卷积定理）卷积定理二、二、 拉氏反变换及其计算方法拉氏反变换及其计算方法式中式中表示拉普拉斯反变换的符号表示拉普拉斯反变换的符号1 1、拉氏反变换、拉氏反变换由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法： 方法一：利用拉氏反变换定义求方法一：利用拉氏反变换定义求方法一：利用拉氏反变换定义求方法一：利用拉氏反变换定义求方法二：查拉氏变换表求解方法二：查拉氏变换表求解方法二：查拉氏变换表求解方法二：查拉氏变换表求解方法三：方法三：方法三：方法三：部分分式法部分分式法部分分式法部分分式法不常用解不常用解不常用解不常用解对简单的象函数适用对简单的象函数适用对简单的象函数适用对简单的象函数适用象函数为有理分式函数时适用象函数为有理分式函数时适用象函数为有理分式函数时适用象函数为有理分式函数时适用2 2、拉氏反变换的计算方法、拉氏反变换的计算方法 应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的一般步骤一般步骤 ：（1 1）计算有理分式函数）计算有理分式函数F F（s s）的极点；）的极点；（2 2）根据极点把）根据极点把F F（s s）的分母多项式进行因）的分母多项式进行因式分解、并进一步把式分解、并进一步把F F（s s）展开成部分分式；）展开成部分分式；（3 3）对）对F F（s s）的部分分式展开式两边同时进）的部分分式展开式两边同时进行拉氏逆变换。行拉氏逆变换。1）当解出 为单根时，对 F(s) 作因式分解：其中例例解：解：（1）F（s）的极点的极点（2）对）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把的分母多项式进行因式分解、并把F（s）展开展开成部分分式成部分分式（3）进行拉氏反变换）进行拉氏反变换2）当解出s有重根时，对F(s)作因式分解：其中 例例解：解：3）当解出 s 有共轭复根时，对 F(s) 作因式分解：例例解：解：两边同乘以两边同乘以得得乘共轭(-1-j2)其中其中 用MATLAB展开部分分式 p=1 -12 0 25 126p = 1 -12 0 25 126设： 在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。如要输入多项式：x4-12x3+25x+126用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 anMATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：r, p, k = residue(num, den)其中，r, p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：例例：求的部分分式展开。 num=1 11 39 52 26; den=1 10 35 50 24; r,p,k=residue(num,den)r = 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000k = 1展开式为：例例：求的部分分式展开。 num=1 0 0 10 5 6; den=1 5 9 7 2; r,p,k=residue(num,den)r = -4.0000 20.0000 -20.0000 10.0000p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000k = 1 -5展开式为：num, den = residue(r, p, k)函数 residue 也可用于将部分分式合并，其句法为： r = 1 2 3 4; p = -1 -2 -3 -4; k = 0; num, den = residue(r, p, k)num = 10 70 150 96den = 1 10 35 50 24例例：l 应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方 程； q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程解解：对微分方程左边进行拉氏变换： 实例设系统微分方程为：若xi (t) =1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。即：对方程右边进行拉氏变换：从而：q 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 由上述实例可见：q 系统响应可分为两部分：零状态响应和零输 入响应 所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：零状态响应零输入响应