taskSet of points in Cartesian spaceSet of points in joint spaceTrajectory generator in joint spaceTrajectory generator in Catesian spaceconvertorControl systemSpatial descriptionkinematicssmooth function for interpolatingKinematics Jacobiansdynamics kinematics Jacobians第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 概述概述概述概述1 线性控制仅适用于能够用线性微分方程进行数学线性控制仅适用于能够用线性微分方程进行数学建模的系统建模的系统. 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 概述概述概述概述2 We will model a manipulator as a mechanism that is instrumented with sensors at each joint to measure the joint angle and has an actuator at each joint to apply a torque on the neighboring link. Sometimes velocity sensors (tachometers) are also present at the joints. We wish to cause the manipulator joints to follow prescribed position trajectories, but the actuators are commanded in terms of torque, so we must use some kind of control system to compute appropriate actuator commands that will realize this desired motion.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.1 9.1 反馈与闭环控制反馈与闭环控制反馈与闭环控制反馈与闭环控制3 1. 开环控制开环控制 1由轨迹生成器给定关节角、关节角速度、关节角加速度由轨迹生成器给定关节角、关节角速度、关节角加速度 2用指定模型计算所需要的扭矩用指定模型计算所需要的扭矩: 如果模型是完备和精确的，且没有噪声或者其它干扰存在，如果模型是完备和精确的，且没有噪声或者其它干扰存在，上式即可实现期望轨迹上式即可实现期望轨迹. Trajectory generatorDynamics Robot第八章第八章第八章第八章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.1 9.1 反馈与闭环控制反馈与闭环控制反馈与闭环控制反馈与闭环控制4 Imperfection in the dynamic model and the inevitable presence of disturbances make such a scheme impractical for use in real applications. Such a control technique is termed an open-loop scheme, because there is no use made of the feedback from joint sensors. 2. 闭环系统闭环系统 建立高性能的控制系统的唯一方法就是利用关节传感器的反馈建立高性能的控制系统的唯一方法就是利用关节传感器的反馈. 伺服误差伺服误差: The control system can then compute torque of the actuators as some function of the servo error. The basic idea is to compute actuator torques that would tend to reduce servo errors.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.1 9.1 反馈与闭环控制反馈与闭环控制反馈与闭环控制反馈与闭环控制5 利用反馈的控制系统称为闭环系统利用反馈的控制系统称为闭环系统. 一个好的控一个好的控制系所应该具备的功能：制系所应该具备的功能：这个系统应该是一个稳定的系统这个系统应该是一个稳定的系统.保证闭环系统的性能满足要求保证闭环系统的性能满足要求. 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.1 9.1 反馈与闭环控制反馈与闭环控制反馈与闭环控制反馈与闭环控制6 1.二阶线性系统二阶线性系统 由质量块的受力图得到运动方程由质量块的受力图得到运动方程: 特征方程特征方程: 方程的根方程的根:第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统7 一种描述二阶振动系统的两个参数是一种描述二阶振动系统的两个参数是 阻尼比阻尼比 （ damping ratio ）and 固有频率（固有频率（natural frequency） : 对于有阻尼的质量对于有阻尼的质量-弹簧系统，阻尼比和固有频率分别为弹簧系统，阻尼比和固有频率分别为: 当无阻尼时当无阻尼时 ( ), 阻尼比为阻尼比为0; 对于临界阻尼对于临界阻尼 ( ), 阻尼比是阻尼比是 1 . 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统衰减系数阻尼振荡频率8过阻尼过阻尼 (两个不等实根两个不等实根): 主要受摩擦影响，缓慢回到平衡位置主要受摩擦影响，缓慢回到平衡位置.欠阻尼欠阻尼 (复根复根): 弹性力影响，出现振荡弹性力影响，出现振荡.临界阻尼临界阻尼 (相等实根相等实根): 此时摩擦力与弹性力平衡，系统以最短时间回到此时摩擦力与弹性力平衡，系统以最短时间回到平衡位置平衡位置.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统9 时域特征指标时域特征指标Rise time上升时间上升时间 Settling time第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统10 2. 二阶系统的控制二阶系统的控制 Design a controller so that the system has some desired characteristics. Typical objectives:稳定稳定: stabilize the syatem.位置校正位置校正: regulate the system about some design point.轨迹跟踪轨迹跟踪: follow a given class of command signals.抗干扰抗干扰: reduce response to disturbances.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统11 位置校正系统位置校正系统: 这种系统只是试图保持质量块在一个固定的位置，而不考虑这种系统只是试图保持质量块在一个固定的位置，而不考虑质量块收到的干扰力质量块收到的干扰力. 驱动器给质量块施加一个力驱动器给质量块施加一个力f: 我们给出一个控制律，它是传感器反馈的函数我们给出一个控制律，它是传感器反馈的函数: 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统12 闭环系统的动力学方程如下闭环系统的动力学方程如下: 通过设定控制增益通过设定控制增益 control gains, 可以使闭环系统呈现任可以使闭环系统呈现任何期望的二阶系统特性。通过选择增益获得临界阻尼何期望的二阶系统特性。通过选择增益获得临界阻尼 和某种直接由和某种直接由 给出的期望闭环刚度给出的期望闭环刚度 .第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统13 Note that could be positive or negative, depending on the parameters of the original system. If became negative, the result would be an unstable control system. 例子例子: 如果质量块如果质量块-弹簧系统的各个参数分别为弹簧系统的各个参数分别为 , 找到找到增益增益 ，使得闭环刚度为，使得闭环刚度为16.0，且闭环系统处于临界阻尼状态。，且闭环系统处于临界阻尼状态。 解：如果希望解：如果希望 等于等于 16.0 , 那么为了达到临界阻尼，则需要那么为了达到临界阻尼，则需要: 因为因为 所以有所以有第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统14 3. 控制律的分解控制律的分解 为设计更加复杂的控制律，我们把控制器分解为基于模型为设计更加复杂的控制律，我们把控制器分解为基于模型的控制部分和伺服控制部分的控制部分和伺服控制部分. 系统开环运动方程为系统开环运动方程为: 控制部分为控制部分为: 这里这里 是常数或者函数是常数或者函数, 如果如果 作为新的系统输入作为新的系统输入, 那么那么可以选择可以选择 使得系统简化为单位质量。显然为了在输入时使得系统简化为单位质量。显然为了在输入时将系统简化为单位质量，这个系统中的将系统简化为单位质量，这个系统中的 应该选择如下应该选择如下 : 于是我们得到系统方程于是我们得到系统方程:第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统15 伺服部分伺服部分: We yields: Under this methodology, the setting of the control gains in simple and is independent of the system parameters; that is: must hold for critical damping.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统16 4. 轨迹跟踪控制轨迹跟踪控制 轨迹可以在任一时间轨迹可以在任一时间 给出一组给出一组 . 定义伺服误差为定义伺服误差为: 由伺服控制律得出的轨迹如下由伺服控制律得出的轨迹如下: 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统17 与单位质量运动式联立，得到与单位质量运动式联立，得到: 这种方程称为误差空间这种方程称为误差空间 error space方程方程. 如果模型是正确的，且没有噪声和初始误差，质量块将准确跟踪期望如果模型是正确的，且没有噪声和初始误差，质量块将准确跟踪期望的轨迹运动的轨迹运动. 如果存在初始误差，这个误差将受到抑制，而后这个系统将准确跟踪如果存在初始误差，这个误差将受到抑制，而后这个系统将准确跟踪期望轨迹期望轨迹.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统18 5. 抗干扰抗干扰 控制系统的一个作用就是抗干扰能力，即存在外部干扰或者噪声的时候，控制系统的一个作用就是抗干扰能力，即存在外部干扰或者噪声的时候，仍能保持良好的性能仍能保持良好的性能. 具有附加干扰力输入的轨迹跟踪闭环系统的误差方程为具有附加干扰力输入的轨迹跟踪闭环系统的误差方程为: 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统19 1) BIBO stability有界输入有界输入-有界输出稳定有界输出稳定: If disturbance is bounded, , then the solution of the differential equation is also bounded. 在大范围的干扰下，能够保证系统是稳定的在大范围的干扰下，能够保证系统是稳定的. 2) Steady-state error稳态误差稳态误差 如果如果 是常数是常数. 通过对系统进行静态分析，即所有导数都为零通过对系统进行静态分析，即所有导数都为零 (steady-state analysis): 明显看到，位置增益越大，稳态误差越小明显看到，位置增益越大，稳态误差越小.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统20 3) 附加积分项附加积分项 为了消除稳态误差，有时采用一种修正的控制律为了消除稳态误差，有时采用一种修正的控制律 (PID control law): 误差方程变为误差方程变为: 增加这一项可使系统在恒定干扰下不出现稳态误差增加这一项可使系统在恒定干扰下不出现稳态误差:第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.2 9.2 二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统21 本节为单一旋转关节操作臂建立一个简单模型，通过几项假设把这个本节为单一旋转关节操作臂建立一个简单模型，通过几项假设把这个系统看作为二阶线性系统。系统看作为二阶线性系统。 许多工业机器人常用的驱动器是直流（许多工业机器人常用的驱动器是直流（DC）力矩电机。）力矩电机。定子定子Stator: 机座、轴承、永久磁铁或电磁铁组成。机座、轴承、永久磁铁或电磁铁组成。转子转子Rotor: 电机轴和线圈绕组组成电机轴和线圈绕组组成.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制22 当电流通过线圈绕组时电机会产生转矩，表示为当电流通过线圈绕组时电机会产生转矩，表示为:电机产生转矩的能力用电机转矩常数来表示，电枢电流与电机产生转矩的能力用电机转矩常数来表示，电枢电流与输出转矩的关系可表示为输出转矩的关系可表示为:当电机转动时，成为一个发电机，在电枢上产生一个电压。当电机转动时，成为一个发电机，在电枢上产生一个电压。电机的另一个常数，反电动势常数，表示给定转速时产生电机的另一个常数，反电动势常数，表示给定转速时产生的电压的电压:第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制23 1. Motor-armature inductance电机电枢感抗电机电枢感抗 基尔霍夫定律基尔霍夫定律: 电流放大器式电机驱动器：电流放大器式电机驱动器： 用电机驱动器控制电机转矩，驱动电路通过检用电机驱动器控制电机转矩，驱动电路通过检测电枢电流不断调节电源电压使通过电枢的电流为期望电流测电枢电流不断调节电源电压使通过电枢的电流为期望电流. 当忽略电机感抗时，电机转矩可以直接通过控制电流来控制。当忽略电机感抗时，电机转矩可以直接通过控制电流来控制。 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制24 2. Effective inertia有效惯量有效惯量 传动比传动比 ( ) 可以提高驱动负载的力矩、降低负载的转速。可以提高驱动负载的力矩、降低负载的转速。第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制25 力矩平衡方程力矩平衡方程: 按照电机变量写按照电机变量写: 根据负载变量写根据负载变量写: The term 有效惯量有效惯量can be called effective damping. 有效阻尼有效阻尼第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制26 例例: 如果连杆惯量在如果连杆惯量在 2 和和6 Kg-m2之间变化，转子惯量之间变化，转子惯量 , 传动比传动比 , 求有效惯量的最大值和最小值求有效惯量的最大值和最小值? The minimum effective inertia is: The maximum is: 相对于总有效惯量的比例，通过减速器使得惯量的变化减小了。相对于总有效惯量的比例，通过减速器使得惯量的变化减小了。Hence, we see that, as a percentage of the total effective inertia, the variation of inertia is reduced by gearing.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制27 3. 未建模柔性未建模柔性 前面建模过程是假设传动系统或者被驱动的连杆前面建模过程是假设传动系统或者被驱动的连杆 不发生形变，实际上这不发生形变，实际上这些元件的刚度都是有限的，因此在系统建模时，必须注意不能激发这些共些元件的刚度都是有限的，因此在系统建模时，必须注意不能激发这些共振模态。必须按照下式限定闭环系统的固有频率：振模态。必须按照下式限定闭环系统的固有频率： 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制28 现则控制器增益的根据现则控制器增益的根据: 提高增益会加速系统响应、减小稳态误差提高增益会加速系统响应、减小稳态误差.非建模结构共振限制了系统增益。非建模结构共振限制了系统增益。 典型工业机器人的结构共振范围为典型工业机器人的结构共振范围为 5 Hz to 25 Hz. 最新的最新的设计采用直接驱动方式可以避免由于减速器和传动系统产生设计采用直接驱动方式可以避免由于减速器和传动系统产生的柔性，可使机器人的最低结构共振频率提高到的柔性，可使机器人的最低结构共振频率提高到 70 Hz.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制29 例子例子: 考虑一个质量弹簧系统，系统各个参数值为考虑一个质量弹簧系统，系统各个参数值为 已知系统未建模的最低共振频率为已知系统未建模的最低共振频率为8 radians/second.找到找到 使使系统闭环刚度尽量高，并且未建模模态不被激励系统闭环刚度尽量高，并且未建模模态不被激励. 解解 ：我们选择：我们选择 选择闭环系统的固有频率为选择闭环系统的固有频率为 于是有于是有第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制30 4. 估计共振频率估计共振频率 如果已知柔性结构有效质量或者有效惯量的描述，那么就可以进行振如果已知柔性结构有效质量或者有效惯量的描述，那么就可以进行振动的近似分析。动的近似分析。 例如，简单的质量例如，简单的质量-弹簧系统可以近似得出系统的固有频率弹簧系统可以近似得出系统的固有频率: 这里这里 k 是柔性结构件的刚度，是柔性结构件的刚度，m 为振动系统的等效质量。为振动系统的等效质量。is the equivalent mass displaced in vibrations.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制31 例例: 假设一个没有质量的轴，它的刚度为假设一个没有质量的轴，它的刚度为 400 Nt-m/radian ，驱动一个惯，驱动一个惯量为量为 1 Kg-m2 的负载。如果在动力学模型中不计轴的刚度，那么这个未的负载。如果在动力学模型中不计轴的刚度，那么这个未建模共振频率是多少？建模共振频率是多少？ 解：解：第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制32 为了粗略估计梁和轴的最低共振频率，可以采用集中质量模型为了粗略估计梁和轴的最低共振频率，可以采用集中质量模型. 估计梁估计梁和轴的末端刚度公式是已知的，集中质量模型提供了估算共振频率所需的和轴的末端刚度公式是已知的，集中质量模型提供了估算共振频率所需的有效质量或者有效惯量。有效质量或者有效惯量。 用一个位于梁末端的质量为用一个位于梁末端的质量为 0.23 m 的质点代替质量为的质点代替质量为m的梁，同样，由的梁，同样，由轴末端的集中惯量轴末端的集中惯量0.33 I 代替分布惯量代替分布惯量I.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制33 例例: 一个质量为一个质量为 4.347Kg 的连杆，末端横向刚度为的连杆，末端横向刚度为3600 Nt/m. 假设驱动系统是完全刚性的，由于连杆柔性引起的共振假设驱动系统是完全刚性的，由于连杆柔性引起的共振将会限制控制增益，求将会限制控制增益，求 解：解：4.347 Kg 的质量在连杆上均匀分布，应用集中质量模型的质量在连杆上均匀分布，应用集中质量模型的估算方法，有效质量为的估算方法，有效质量为: 因此，所估算的共振频率是因此，所估算的共振频率是: 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制34 5. 单关节控制单关节控制 三个假设三个假设: 电机感抗电机感抗 可以忽略可以忽略.考虑大传动比的情况，将有效惯量视为一个常数考虑大传动比的情况，将有效惯量视为一个常数结构柔性可以忽略，最低结构共振频率结构柔性可以忽略，最低结构共振频率 用于设定伺服增益的情况用于设定伺服增益的情况除外除外. 应用这些假设，可以用下式给出分解运动对一个单关节操作臂进行控应用这些假设，可以用下式给出分解运动对一个单关节操作臂进行控制：制： 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制35 系统的闭环动力学方程为系统的闭环动力学方程为: 式中的增益取式中的增益取:第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 9.3 9.3 单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制单关节的建模和控制36 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 练习练习练习练习1 1计算这个机器人在位形变化时，关节1的等效惯量的变化（以最大值的百分比表示）采用以下数值：37 第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 练习练习练习练习2 2重新计算，其中机器人带有减速器，减速比转子惯量为38 系统负载在系统负载在4 和和 5 Kg-m2之间，之间， 转子惯量是转子惯量是 , 传传动比动比 . 系统的未建模共振频率为系统的未建模共振频率为 8, 12, and 20 r/s. 设分解运动控设分解运动控制器的制器的 求求 ，要求系统不出现欠阻尼并且不存在共振，刚度，要求系统不出现欠阻尼并且不存在共振，刚度尽可能大尽可能大.第九章第九章第九章第九章 机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制机器人的线性控制 练习练习练习练习3 339