20102010年高考数学二轮复习专题年高考数学二轮复习专题 分类讨论思想及其应用分类讨论思想及其应用一、复习目标：一、复习目标：1、理解和掌握分类讨论思想，、理解和掌握分类讨论思想，并能灵活运用；并能灵活运用；2、强化巩固相关知识和方法，、强化巩固相关知识和方法，培养和提高学生综合运用能力。培养和提高学生综合运用能力。二、重难点：二、重难点：分类讨论思想的灵活运用。分类讨论思想的灵活运用。三、教学方法：三、教学方法：讲练结合，探析归纳，强化运用。讲练结合，探析归纳，强化运用。四、课时安排：四、课时安排：共计共计2课时。课时。五、教学过程五、教学过程（二）、双基自测（二）、双基自测1.1.从平面外一点从平面外一点P P引与平面引与平面 相交的直线相交的直线, ,使得使得P P与交点与交点A A的距离等于的距离等于1 1，则满足条件的直线条数一定不可能是则满足条件的直线条数一定不可能是 （ ） A.0A.0条条 B.1B.1条条 C.2C.2条条 D.D.无数条无数条解析解析 设点设点P P到平面到平面 的距离为的距离为d d, ,则则d d=1=1时，恰有一条；时，恰有一条；d d11时，不时，不存在；存在；00d d11时，有无数条时，有无数条. .C C（一）要点归纳（一）要点归纳1.1.分类与整合思想是指当问题所给的对象不能进行统一研究时就需分类与整合思想是指当问题所给的对象不能进行统一研究时就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整体问题的解答一类的结论，最后综合各类结果得到整体问题的解答. .实质上，分类实质上，分类与整合是与整合是“化整为零，各个击破，再积零为整化整为零，各个击破，再积零为整”的数学解题策略的数学解题策略. .2.2.分类原则是分类原则是分类的对象确定分类的对象确定, ,标准统一标准统一;不重复不重复, ,不遗漏不遗漏;分分层次层次, ,不越级讨论不越级讨论;归纳总结归纳总结, ,整合完善整合完善. .2.2.函数函数f f( (x x)= )= 若若f f( (a a)=1,)=1,则实数则实数a a的的 所有可能值组成的集合为所有可能值组成的集合为 （ ） A.1 B.1,- C.- D.1, A.1 B.1,- C.- D.1, 解析解析 因为当因为当-1-1a a00,0, 令令f f( (x x)=()=(m m+2)+2)x x2 2+2+2mxmx+1,+1,又又f f(0)=1,(0)=1, 所以函数所以函数f f( (x x) )的图象恒过定点（的图象恒过定点（0,10,1）, ,要使要使 , , 则必满足则必满足 解之得解之得-2-2m m-1-1或或-1-1m m22或或m m=-2,=-2, 所以所以m m的取值范围是的取值范围是-2-2m m2.2.A A4.4.过三棱柱任意两顶点的直线共过三棱柱任意两顶点的直线共1515条，其中异面条，其中异面 直线有直线有 （ ） A.18A.18对对 B.24B.24对对 C.30C.30对对 D.36D.36对对解析解析 因为侧棱的条数为因为侧棱的条数为3,3,且和每一条侧棱异面的直且和每一条侧棱异面的直 线条数为线条数为4 4；侧面对角线条数为；侧面对角线条数为6,6,且和每一条侧面对且和每一条侧面对 角线异面的直线有角线异面的直线有5 5条；两底面边的条数为条；两底面边的条数为6,6,且和每且和每 一条边异面的直线有一条边异面的直线有5 5条，又知直线异面是相互的，条，又知直线异面是相互的， 所以异面直线共有所以异面直线共有 (3(34+64+65+65+65)=365)=36对对. . D D题型一题型一 由数学概念引起的分类讨论由数学概念引起的分类讨论【例例1 1】设设00x x1,0,0,且且a a1,1,比较比较| |logloga a(1-(1-x x)|)|与与 |log|loga a(1+(1+x x)|)|的大小的大小. . 解解 因为因为00x x1,1,所以所以01-01-x x1,1+1,1,则则01-01-x x2 21.1. 当当00a a10,log)0,loga a(1+(1+x x)0,)0,)0, 即即|log|loga a(1-(1-x x)|log)|loga a(1+(1+x x)|.)|. 当当a a11时时, ,由由logloga a(1-(1-x x)0,log)0, )0, （三）、典型例题探析（三）、典型例题探析 所以所以|log|loga a(1-(1-x x)|-|log)|-|loga a(1+(1+x x)|)| =-log =-loga a(1-(1-x x)-log)-loga a(1+(1+x x) ) =-log =-loga a(1-(1-x x2 2)0,)0, 即即|log|loga a(1-(1-x x)|log)|loga a(1+(1+x x)|.)|. 由由可知可知,|log,|loga a(1-(1-x x)|log)|loga a(1+(1+x x)|.)|.【探究拓展探究拓展】在解答该类问题时在解答该类问题时, ,首先从概念出发判首先从概念出发判 断出绝对值内的数断出绝对值内的数( (或式子或式子) )的符号，然后再去掉绝的符号，然后再去掉绝 对值符号对值符号( (这时需按条件进行分类讨论确定这时需按条件进行分类讨论确定),),再按照再按照 相关的法则去计算相关的法则去计算, ,直至得出结论直至得出结论. .变式训练变式训练1 1 已知函数已知函数 , , 满足满足f f( (c c2 2)=)=(1)(1)求常数求常数c c的值的值;(2);(2)解不等式解不等式f f( (x x)解解 (1)(1)因为因为00c c1,1,所以所以c c2 2 00时时, ,g g( (x x)=)=axax-2-2在在-2,2-2,2上是增函数上是增函数, , g g( (x x)-2)-2a a-2,2-2,2a a-2,-2,任给任给x x1 1-2,2,-2,2,若存在若存在x x0 0-2,2-2,2, ,使得使得g g( (x x0 0)=)=f f( (x x1 1) )成立成立, ,则则当当a a02-2-a a0,0,所所以函数以函数g g( (x x) )在区间在区间(0,+)(0,+)上为增函数，则上为增函数，则x x00时，时，g g( (x x)g g(0)=0(0)=0，即，即f f( (x x)axax. .若若a a2,2,方程方程g g(x x)=0)=0的一个正根为的一个正根为此时，若此时，若x x(0,(0,x x1 1),),则则g g(x x)0,)0,故函数故函数g g( (x x) )在区间（在区间（0 0，x x1 1）上为减函数，）上为减函数，所以所以x x(0,(0,x x1 1) )时时, ,g g( (x x)g g(0)=0,(0)=0,即即f f( (x x)00 ( (n n=1,2,=1,2,).).（1 1）求）求q q的取的取值范范围；（2 2）设b bn n= =a an n+2+2- - a an n+1+1，记 b bn n 的前的前n n项和和为T Tn n， 试比比较S Sn n与与T Tn n的大小的大小. . 解解 (1)(1)因因为 a an n 是等比数列，是等比数列，S Sn n0,0, 可得可得a a1 1= =S S1 10,0,q q0,0, 当当q q=1=1时，S Sn n= =nana1 10;0; 上式等价于上式等价于 或或 解解式得式得q q11；解解式，由于式，由于n n可为奇数，可为偶数，可为奇数，可为偶数，故故-1-1q q1,0,0,且且-1-1q q00,0,所以当所以当-1-1q q 22时，时，T Tn n- -S Sn n0,0,即即T Tn n S Sn n；当；当 q q22且且q q00时，时，T Tn n- -S Sn n0,0,即即T Tn n 00，即，即 时，二次函数时，二次函数f f( (x x) )的图象开的图象开 口向上，对称轴口向上，对称轴 ，它在，它在0,10,1的最大的最大 值只能在区间端点取得值只能在区间端点取得. . f f(0)=(0)=m m, ,f f(1)=2-2(1)=2-2m m. . 当当m m2-22-2m m, ,又又m m , ,即即当当m m2-22-2m m, ,又又m m ，即即m m 时，时，f f( (x x) )maxmax=2(1-=2(1-m m).).若若4-34-3m m0, 时时, ,二次函数二次函数f f( (x x) )的图象开口向的图象开口向 下下, ,又它的对称轴方程又它的对称轴方程 , ,所以函数所以函数f f( (x x) )在在 0,10,1上是减函数上是减函数. . 于是于是f f( (x x) )maxmax= =f f(0)=(0)=m m. . 由由(1)(2)(1)(2)可知可知, ,这个函数的最大值为这个函数的最大值为【探究拓展探究拓展】 在解答该类问题时，应根据条件首先在解答该类问题时，应根据条件首先 确定函数的属性，即分成确定函数的属性，即分成 两类这是两类这是 一级分类；然后对一级分类；然后对 时，按照抛物线的开口方时，按照抛物线的开口方 向分成向分成 两类，这是二级分类；最后两类，这是二级分类；最后 在在 中，比较中，比较f f(0),(0),f f(1)(1)的大小关系，又分成的大小关系，又分成 两类，这是三级分类，每次分两类，这是三级分类，每次分 类都有一个标准，要做到不重不漏类都有一个标准，要做到不重不漏. .变式训练变式训练4 4 已知函数已知函数 ( (a a, ,b b为常数为常数) )，且，且 方程方程f f( (x x)-)-x x+12=0+12=0有两个实根为有两个实根为x x1 1=3,=3,x x2 2=4.=4. (1) (1)求函数求函数f f( (x x) )的解析式；的解析式；（2 2）设）设k k1,1,解关于解关于x x的不等式：的不等式：解解 (1)(1)将将x x1 1=3,=3,x x2 2=4=4分别代入方程分别代入方程 解之得解之得(2)(2)不等式即为不等式即为 即即( (x x-2)(-2)(x x-1)(-1)(x x- -k k)0,)0, 当当11k k222时时, ,解集为解集为(1,2)(1,2)(k k,+).,+).（四）、经典考题赏析（四）、经典考题赏析【考题再现考题再现】 已知函数已知函数f f( (x x)=)=x x2 2e eaxax, ,其中其中a a0,e0,e为自然对数的底数为自然对数的底数. . (1) (1)讨论函数讨论函数f f( (x x) )的单调性；的单调性； (2)(2)求函数求函数f f( (x x) )在区间在区间0,10,1上的最大值上的最大值. .【解题示范解题示范】 解解(1)(1)f f(x x)=)=x x( (axax+ +2 2)e)eaxax. . 2 2分分 当当a a=0=0时，令时，令f f ( (x x)=0)=0，得，得x x=0;=0; 若若x x0,0,则则f f(x x)0,)0,从而从而f f( (x x) )在在(0,+)(0,+)上单调递增；上单调递增； 若若x x0,0,则则f f(x x)0,)0,从而从而f f( (x x) )在在(-,0)(-,0)上单调递减上单调递减. . 4 4分分当当a a00时时, ,令令f f(x x)=0)=0，得得x x( (axax+2)=0,+2)=0,故故x x=0=0或或x x= . = . 5 5分分若若x x00，则，则f f(x x)0)0，从而从而f f( (x x) )在（在（-,0)-,0)上单调递减上单调递减. . 6 6分分 7 7分分 8 8分分(2)(2)当当a a=0=0时，时， f f( (x x) )在区间在区间0,10,1上的最大值是上的最大值是f f(1)=1.(1)=1. 9 9分分当当-2-2a a00时，时，f f( (x x) )在区间在区间0,10,1上的最大值是上的最大值是 f f(1)= e(1)= ea a. 10. 10分分当当a a-2-2时，时，f f( (x x) )在区间在区间0,10,1上的最大值是上的最大值是 1111分分综上所述，当综上所述，当a a=0=0时，时，f f( (x x) )maxmax=1;=1; 当当-2-2a a00时，时，f f( (x x) )maxmax= e= ea a 当当a a-2-2时时, ,f f( (x x) )maxmax= 12= 12分分 （五）思想方法小结（五）思想方法小结分类讨论并不是凭空产生的分类讨论并不是凭空产生的, ,有着它出现的原因有着它出现的原因. .这个这个原因就是我们分类的标准和依据原因就是我们分类的标准和依据. .一般来说一般来说, ,可以归纳可以归纳为以下几点：为以下几点：1.1.涉及的数学概念是分类定义的涉及的数学概念是分类定义的. .2.2.运算有关的公式、运算性质与法则是分类给出的运算有关的公式、运算性质与法则是分类给出的. .3.3.由题中所给的限制条件或研究对象的性质而引发由题中所给的限制条件或研究对象的性质而引发的的. .4.4.数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的. .5.5.涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的. .6.6.有实际问题的实际意义引起的有实际问题的实际意义引起的. .7.7.复杂数学问题或非常规数学问题需要分类解决的复杂数学问题或非常规数学问题需要分类解决的. .在运用分类讨论问题时在运用分类讨论问题时, ,我们要明确分类的原因是什我们要明确分类的原因是什么、对象是什么、分几个类别么、对象是什么、分几个类别. .不仅要掌握分类的原不仅要掌握分类的原则则, ,而且要把握分类的时机而且要把握分类的时机, ,重视分类的合理性与完整重视分类的合理性与完整性性. . ( (六）、知能提升演练六）、知能提升演练一、选择题一、选择题1.1.不等式不等式 的解集是的解集是 （ ） A.A.x x|-2|-2x x22 B. B. C. C.x x|-2|-2x x00或或0000时，原不等式等价于时，原不等式等价于 , , 所以所以00x x2;2; 当当x x0 b b时，时，a a- -b b00，则，则f f( (a a- -b b)=1,)=1, 所以所以当当a a b b时，时，a a- -b b00，则，则f f( (a a- -b b)=-1,)=-1, 所以所以 D D4.4.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6 6和和4 4的矩形的矩形, , 则它的体积为则它的体积为 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D.解析解析 分侧面矩形长、宽分别为分侧面矩形长、宽分别为6 6和和4 4或或4 4和和6 6两种情两种情 况况. D D5.5.设函数设函数 , ,集合集合M M=x x| |f f( (x x)0,)0,)0,若若 , ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是 （ ） A.(-,1) B.(0,1)A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. C.(1,+) D.1,+)1,+)解析解析 因为因为 , ,由由f f( (x x)0,)11时时, ,M M=x x|1|1x x a a ； 当当a a11时，时，M M=x x| |a a x x1;0,)0, 得得a a1,1,P P=x x| |x x1,1,又又 , ,故故a a1.1.C C6.6.在正四面体的一个顶点处在正四面体的一个顶点处, ,有一只蚂蚁每一次都以有一只蚂蚁每一次都以 的概率从一个顶点爬到另一个顶点的概率从一个顶点爬到另一个顶点, ,那么它爬行那么它爬行 了了4 4次又回到起点的概率是次又回到起点的概率是 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D.解析解析 若若4 4次爬行了一条棱的概率为次爬行了一条棱的概率为 ; ; 若若4 4次爬行了两条棱的概率为次爬行了两条棱的概率为 ; ; 若若4 4次爬行了四条棱的概率为次爬行了四条棱的概率为B B二、填空题二、填空题7.7.设设00a a11，函数，函数f f( (x x)=log)=loga a( (a a2 2x x-2-2a ax x-2),-2),则使则使f f( (x x)0)0的的 x x的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 因为因为00a a11且且f f( (x x)0)1,-21, 即即a a2 2x x-2-2a ax x-30,-30,则则( (a ax x-3)(-3)(a ax x+1)0,+1)0, 所以所以a ax x33或或a ax x-1-1（舍），即（舍），即x xlog0,0,n n00时，时，e e= = 解之得，解之得， 当当m m0,0,n n0 f f(5)(5)的解集为的解集为_._.解析解析 由由f f(2-(2-x x)=)=f f(2+(2+x x) )知，开口向上的二次函数知，开口向上的二次函数 f f( (x x) )的对称轴为直线的对称轴为直线x x=2,=2,又因为又因为f f( (a ab b)f f(5),(5), 所以所以a ab b55或或a ab b-1,5,-1|+25, 即即| |x x+2|+|2+2|+|2x x-1|3,-1|3, 当当x x-2-2时，原不等式解集为时，原不等式解集为 x x| |x x-2;-2; 当当 时时, ,原不等式的解集为原不等式的解集为 x x|-2|-2x x0;0即即x（0，1时，时，f(x)=ax3-3x+10可化为可化为设设 , ,所以所以g g( (x x) )在区在区 间间 上单调递增，在区间上单调递增，在区间 上单调递减，上单调递减，因此因此 ，从而，从而a4;当当x0即即x-1，0）时，）时，f(x)=ax3-3x+10可化为可化为 在区间在区间-1，0）上）上单调递增单调递增,因此因此g(x)min=g(-1)=4,从而从而a4,综上综上a=4.答案答案 4 三、解答题三、解答题11.11.设函数设函数f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0)0)，曲线，曲线y y= =f f( (x x) )通通过点（过点（0,20,2a a+3+3），且在点（），且在点（-1,-1,f f(-1)(-1)处的切线垂处的切线垂直于直于y y轴轴. .（1 1）用）用a a分别表示分别表示b b和和c c；（2 2）当）当bcbc取得最小值时，求函数取得最小值时，求函数g g（x x）=-=-f f（x x）e ex x 的单调区间的单调区间. .解解（1）因为）因为f（x）=ax2+bx+c，所以所以f(x)=2ax+b.又因为曲线又因为曲线y=f(x)通过点（通过点（0,2a+3），），故故f(0)=2a+3,而而f(0)=c,从而从而c=2a+3.又曲线又曲线y=f(x)在（在（-1，f(-1)处的切线垂直于处的切线垂直于y轴，轴，故故f（-1）=0，即，即-2a+b=0,因此因此b=2a.所以所以g g( (x x)=-)=-f f( (x x) )e e- -x x, ,所以所以g g(x x)=)=（f f( (x x)-)-f f(x x) )）e e- -x x = =令令g g(x x)=0,)=0,解得解得x x1 1=-2,=-2,x x2 2=2.=2.当当x x（-,-2-,-2）时，）时，g g(x x)0,)0,)0,故故g g( (x x) )在在x x(-2,2)(-2,2)上为增函数上为增函数. .当当x x(2,+)(2,+)时，时，g g(x x)0,)0)0；当；当x x(1,+)(1,+)时，时，f f(x x)0.)00时时, , 其中其中n n为正整数，且有为正整数，且有 又又n2时，时， 且且 取整数取整数n0满足满足 且且n02,则则 即即当当a a0 0时时, ,关于关于x x的不等式的不等式f f( (x x)a a的解集不是的解集不是(0,+).(0,+). 综合综合知知, ,存在存在a a, ,使得关于使得关于x x的不等式的不等式f f( (x x)a a的解的解 集为集为(0,+(0,+）, ,且且a a的取值范围为（的取值范围为（-，0 0. .（七）作业：完成（六）中的题目。（七）作业：完成（六）中的题目。六、教学反思：六、教学反思：