1.2 充分条件充分条件，必要条件必要条件 和和充要条件充要条件判断下列命题的真假判断下列命题的真假: (2)(2)、若两条直线同垂直于一个平面，则这两条、若两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。直线平行。若若a=0,a=0,则则abab=0=0(1)、一一. .充分条件充分条件 一般地，一般地，“若若p p则则q q”为真命题，它是指当为真命题，它是指当p p成立时，成立时，q q也成立。也成立。 即即p pq q ，但，但qpqp. .称称p p是是q q的充分条件。的充分条件。q q是是p p的必要条件的必要条件例例1 1、在下列、在下列“若若p,p,则则q q”形式的命题中，哪些形式的命题中，哪些命题中的命题中的p p是是q q的充分条件？的充分条件？(1)(1)若四边形对角线互相平分，则它是菱形。若四边形对角线互相平分，则它是菱形。(2)(2)三角形中若三角形中若ab,ab,则则ABAB。(3)(3)若若x1,x1,则则x x2 211。解：命题解：命题(2)(2)、(3)(3)中中p p是是q q的充分条件。的充分条件。练习练习1 1、在下列、在下列“若若p,p,则则q q”形式的命题中，哪形式的命题中，哪些命题中的些命题中的p p是是q q的充分条件？的充分条件？(1)(1)、若两个三角形全等，则这两个三角形相似。、若两个三角形全等，则这两个三角形相似。(2)(2)、若、若x5x5，则，则x10x10。“若若p p则则q q”为真命题，为真命题，它是指当它是指当p p成立时，成立时，q q一定成立。一定成立。即即p pq ,qq ,q必须成立必须成立, ,称称q q是是p p的必要条件。的必要条件。而如果而如果“若若p p则则q q”为假命题，为假命题，则则p pq ,q ,称为称为q q不是不是p p的必要条件的必要条件二二. .必要条件必要条件例例2、在下列、在下列“若若p,则则q”形式的命题中，形式的命题中， 哪些命题中哪些命题中的的q是是p的必要条件？的必要条件？(1)、若、若x=1，则，则x2- -4x+3=0。(2)、若、若x为无理数，则为无理数，则x2为无理数。为无理数。(3)、若、若a+5是无理数，则是无理数，则a是无理数。是无理数。(4)、若、若(x- -a)(x- -b)=0，则，则x=a 。分析: “p的必要条件是q” 与“q是p的必要条件”同一意思。也就是p q练习练习2、在以下各组中，哪些使、在以下各组中，哪些使p q 成立成立, 哪些使哪些使 q p 成立，并分析成立，并分析p与与q的关系。的关系。(1) p: x5, q: x4;解：由于解：由于 p q ，则，则p是是q的充分条件的充分条件, q是是p的必要条的必要条件件.(2) p:四边形的对角线相等，四边形的对角线相等， q:四边形是等腰梯形。四边形是等腰梯形。解：由于解：由于 q p ，则，则q是是p的充分条件的充分条件, p是是 q的必要条件的必要条件. (3) p: a,b都是奇数，都是奇数，q: a+b是偶数；是偶数；(4) p: sin =sin , q: = .解：由于解：由于 p q ，则，则p是是q的充分条件的充分条件, q是是 p的必要条件。的必要条件。解：由于解：由于 q p ，则，则q是是p的充分条件的充分条件, p是是q的必要条件。的必要条件。练习练习3、判断下列命题的真假：、判断下列命题的真假：(1) x=2是是x2- -4x+4=0的必要条件；的必要条件；(2) 圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；的必要条件；(3)(4) ab 0是是a 0的充分条件。的充分条件。三三.充要条件充要条件问题问题：已知：已知p:内错角相等，内错角相等，q:两直线平行。其中两直线平行。其中p是是q的的什么条件？什么条件？p q ，所以所以p是是q的充分条件的充分条件。 q p，所以所以p也是也是q的必要条件的必要条件。我们称，我们称，p是是q的的充分必要条件充分必要条件，简称，简称充要条件充要条件。p q并记作：我们也称，我们也称， q 是是p的的充分必要条件充分必要条件，简称，简称充要条件充要条件。综上所述，如果综上所述，如果 ，那么，那么p与与q 互为充要条件。互为充要条件。 p q1.下列各题中，哪些下列各题中，哪些p是是q的充要条件？的充要条件？2、如果p q,q p,3、如果p q,q p,4、如果p q,q p,1、如果p q,q p,那么p是q的充分必要条件。那么p是q的充分不必要条件。那么p是q的必要不充分条件。那么p是q的 既不充分也不必要条件例1、在下列各题中，在下列各题中，p是是q的什么条件。的什么条件。所以p是q的必要不充分条件所以p是q的充分不必要条件解：(1) 因为p q， q p ，(2) 因为p q， q p，在下列各题中，p是q的什么条件。练习2 已知：已知： 的半径为的半径为r,圆圆心到直线心到直线l的距离为的距离为d。求求证：证：d=r是直线是直线l与与 相切相切的充要条件。的充要条件。oPl证明：如图，作证明：如图，作OPl 于点于点P，则，则OP=d.(1)必要性必要性(q p)：若直线若直线l与与 相切，相切，不妨设切点为不妨设切点为P则则OP l 。因此，因此，d=OP=r 。例2、QoPl(2)充分性充分性(pq)：若若d=r，则点则点P在在 上，上，在直线上任取一点在直线上任取一点Q(异于点异于点P)，连接连接OQ， 所以，除点除点P外，直线外，直线l上的点都在上的点都在 的外部。的外部。即直线即直线l与与 仅有一个公共点仅有一个公共点P。因此，直线因此，直线l与与 相切。相切。在在RtOPQ中，中，OQOP=r. 小结小结:1、充分，必要和充要条件的概念。3、证明充要条件的方法。2、条件p与条件q之间的关系。