第1章直角三角形1.1直角三角形的性质和判定()第1课时1.1.知道直角三角形两知道直角三角形两锐角的关系角的关系, ,并能根据三角形的两并能根据三角形的两锐角互角互余判定直角三角形余判定直角三角形.(.(重点重点) )2.2.会利用与直角三角形斜会利用与直角三角形斜边上的中上的中线有关的性有关的性质与判定解决与判定解决问题.(.(难点点) )一、与直角三角形两一、与直角三角形两锐角有关的性角有关的性质与判定与判定1.1.直角三角形两直角三角形两锐角的性角的性质: :直角三角形两直角三角形两锐角角_._.2.2.直角三角形的判定直角三角形的判定: :有两个角有两个角_的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形. .二、与直角三角形斜二、与直角三角形斜边上的中上的中线有关的性有关的性质与判定与判定1.1.直角三角形斜直角三角形斜边上中上中线的性的性质: :直角三角形斜直角三角形斜边上的中上的中线等等于斜于斜边的的_._.互余互余互余互余一半一半2.2.直角三角形的判定直角三角形的判定: :已知已知:D:D是是ABAB的中点的中点, ,且且CD= AB,CD= AB,求求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形. .证明明:D:D是是ABAB的中点的中点, ,AD=_=_AB,AD=_=_AB,又又CD= AB,CD= AB,CD=_=_,CD=_=_,A=_,2=_.A=_,2=_.BDBDADADBDBD1 1B B2+B+A+1= _,2+B+A+1= _,即即2(1+2)= _,2(1+2)= _,1+2= _,1+2= _,即即ACB= _,ACB= _,ABCABC是是_三角形三角形. .18018018018090909090直角直角【归纳归纳】直角三角形的判定直角三角形的判定: :如果一个三角形一边上的中线等于这边的如果一个三角形一边上的中线等于这边的_, ,那么这个三角形为直角三角形那么这个三角形为直角三角形. .一半一半 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)直角三角形的两个角互余直角三角形的两个角互余. .( )( )(2)(2)有一个角是有一个角是4545的直角三角形是等腰三角形的直角三角形是等腰三角形. .( )( )(3)(3)如果直角三角形的一条中如果直角三角形的一条中线长是是5,5,那么那么这个直角三角形的个直角三角形的斜斜边长是是10.10.( )( )(4)(4)直角三角形一直角三角形一边上的中上的中线等于等于这边的一半的一半. .( )( )知识点知识点 1 1 直角三角形两直角三角形两锐角关系及直角三角形的判定角关系及直角三角形的判定【例例1 1】已知已知: :如如图, ,在在ABCABC中中,ADBC,1=B.,ADBC,1=B.求求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形. .【解题探究解题探究】(1)1(1)1与与C C有什么关系有什么关系? ?为什么为什么? ?提示提示: :1+C=901+C=90.ADBC,ADC=90.ADBC,ADC=90,1+C=90,1+C=90. .(2)B(2)B与与C C有什么关系有什么关系? ?为什么为什么? ?提示提示: :B+C=90B+C=90.1+C=90.1+C=90,1=B,B+C,1=B,B+C=90=90. .(3)(3)由由B B与与C C的关系确定的关系确定ABCABC的形状的形状, ,并说明理由并说明理由. .提示提示: :ABCABC是直角三角形是直角三角形. .理由是理由是: :有两个角互余的三角形是直有两个角互余的三角形是直角三角形角三角形. .【互互动探究探究】在本在本题的的证明中明中, ,还可以用什么方法可以用什么方法证明明ABCABC是是直角三角形直角三角形? ?提示提示: :可通过证明可通过证明BAC=90BAC=90, ,得到得到ABCABC是直角三角形是直角三角形. .【总结提升总结提升】直角三角形的判定的方法选择直角三角形的判定的方法选择已知条件已知条件选用方法选用方法有一边的中点或中有一边的中点或中线线三角形一边上的中线等于这三角形一边上的中线等于这条边的一半条边的一半, ,则这个三角形则这个三角形是直角三角形是直角三角形存在已知角的度数存在已知角的度数或可得到某些角的或可得到某些角的度数度数1.1.有两个角互余的三角形是有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形. .2.2.有一角为直角的三角形是有一角为直角的三角形是直角三角形直角三角形知识点知识点 2 2 直角三角形斜直角三角形斜边上中上中线的性的性质【例例2 2】如如图, ,在在RtABCRtABC中中,ACB=90,CD,ACB=90,CD是是ABAB边上的中上的中线, ,将将ADCADC沿沿ACAC边所在的直所在的直线折叠折叠, ,使点使点D D落在点落在点E E处, ,得四得四边形形ABCE.ABCE.求求证:ECAB.:ECAB.【思路点拨思路点拨】根据折叠可知根据折叠可知ECA=ACD,ECA=ACD,由由CD=ADCD=AD可知可知,CAD=ACD,CAD=ACD,所以所以ECA=CAD,ECA=CAD,故故ECAB.ECAB.【自主解答自主解答】CDCD是是ABAB边上的中线边上的中线, ,且且ACB=90ACB=90, ,CD=AD.CD=AD.CAD=ACD.CAD=ACD.又又ACEACE是由是由ADCADC沿沿ACAC边所在的直线折叠而成的边所在的直线折叠而成的, ,ECA=ACD.ECA=ACD.ECA=CAD.ECA=CAD.ECAB.ECAB.【总结提升总结提升】直角三角形斜边上中线的性质及应用直角三角形斜边上中线的性质及应用1.1.性质性质: :(1)(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. .(2)(2)直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形形. .2.2.应用应用: :(1)(1)证明线段的平行、相等或倍分关系证明线段的平行、相等或倍分关系. .(2)(2)证明角相等证明角相等. .(3)(3)其逆定理可作为证明直角三角形的理论依据其逆定理可作为证明直角三角形的理论依据. .题组一一: :直角三角形两直角三角形两锐角关系及直角三角形的判定角关系及直角三角形的判定1.1.如如图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,CDAB,ACB=90,CDAB,那么那么图中互中互为余角的余角的角有角有( () )A.6A.6对 B.5B.5对C.4C.4对 D.3D.3对【解析解析】选选C.C.互余的角有互余的角有A A与与B,AB,A与与ACD,BACD,B与与DCB,DCB,ACDACD与与DCB.DCB.2.(20132.(2013昭通中考昭通中考) )如如图,ABCD,DBBC,2=50,ABCD,DBBC,2=50,则1 1的的度数是度数是( () )A.40A.40B.50B.50C.60C.60D.140D.140【解析解析】选选A.DBBC,2=50A.DBBC,2=50, ,BCD=90BCD=90-2=90-2=90-50-50=40=40, ,ABCD,1=BCD=40ABCD,1=BCD=40. .3.(20133.(2013内江中考内江中考) )把一个直尺与一把一个直尺与一块三角板如三角板如图放置放置, ,若若1=40,1=40,则2 2的度数的度数为( () )A.125A.125B.120B.120C.140C.140D.130D.130【解析解析】选选D.D.如图如图, ,1=401=40,A=90,A=90, ,ACB=90ACB=90-1=90-1=90-40-40=50=50, ,FCD=180FCD=180-ACB=180-ACB=180-50-50=130=130, ,EFGH,EFGH,2=FCD=1302=FCD=130. .4.(20134.(2013江西中考江西中考) )如如图,ABC,ABC中中,A=90,A=90,点点D D在在ACAC边上上,DEBC,DEBC,若若1=155,1=155,则B B的度数的度数为. .【解析解析】1=1551=155, ,EDC=180EDC=180-155-155=25=25, ,DEBC,DEBC,C=EDC=25C=EDC=25, ,在在ABCABC中中,A=90,A=90,C=25,C=25, ,B=180B=180-90-90-25-25=65=65. .答案答案: :6565【变式式训练】如如图, ,在在RtABCRtABC中中,C=60,C=60,直直线DEBC,DEBC,分分别交交边AB,ACAB,AC于点于点D,E,D,E,则2 2的度数是的度数是. .【解析解析】B+C=90B+C=90,B=90,B=90-60-60=30=30, ,又又DEBC,2=B=30DEBC,2=B=30. .答案答案: :30305.5.如如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是是BCBC边上的高上的高线,BE,BE是是ABCABC的平分的平分线, ,它它们相交于点相交于点P,P,已知已知EPD=EPD=125,125,求求BADBAD的度数的度数. .【解析解析】ADAD是是BCBC边上的高线边上的高线,EPD=125,EPD=125, ,CBE=EPD-ADB=125CBE=EPD-ADB=125-90-90=35=35, ,BEBE是是ABCABC的平分线的平分线, ,ABD=2ABD=2CBE=2CBE=23535= =7070, ,在在RtABDRtABD中中,BAD=90,BAD=90-ABD=90-ABD=90-70-70=20=20. .题组二二: :直角三角形斜直角三角形斜边上中上中线的性的性质1.1.如如图, ,在在RtABCRtABC中中,ACB=90,B=60,ACB=90,B=60,CDCD是是ABAB边上的中上的中线, ,则与与CDCD相等的相等的线段有段有( () )A.1A.1条条B.2B.2条条C.3C.3条条D.4D.4条条【解析解析】选选C.C.在在RtABCRtABC中中,ACB=90,ACB=90,CD,CD是是ABAB边上的中线边上的中线, ,CD=AD=BD,CD=AD=BD,又又B=60B=60,BCD,BCD是等边三角形是等边三角形,CD=BC,CD=BC,与与CDCD相等的线段有相等的线段有3 3条条. .2.2.如如图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ABC=60,BD,ACB=90,ABC=60,BD平分平分ABC,PABC,P点点是是BDBD的中点的中点, ,若若AD=6,AD=6,则CPCP的的长为( () )A.3 B.3.5 A.3 B.3.5 C.4 C.4 D.4.5 D.4.5【解析解析】选选A.ACB=90A.ACB=90,ABC=60,ABC=60, ,A=30A=30.BD.BD平分平分ABC,ABC,CBD=DBA=30CBD=DBA=30, ,A=DBA,BD=AD=6.A=DBA,BD=AD=6.PP点是点是BDBD的中点的中点,CP= BD,CP= BD= = 6=3.6=3.【变式式训练】如如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC=8,AD,AB=AC=8,AD是底是底边上的中上的中线,E,E为ACAC中点中点, ,则DE=DE=. .【解析解析】在在ABCABC中中,AB=AC=8,AB=AC=8,ABCABC是等腰三角形是等腰三角形, ,又又ADAD是底边上的中线是底边上的中线, ,ADBC,ADBC,在在ADCADC中中,ADC=90,ADC=90, ,EE为为ACAC中点中点, ,DE= ACDE= AC= = 8=4,8=4,DE=4.DE=4.答案答案: :4 43.(20133.(2013广州中考广州中考) )如如图,RtABC,RtABC的斜的斜边AB=16,RtABCAB=16,RtABC绕点点O O顺时针旋旋转后得到后得到RtARtA B B C C , ,则RtARtA B B C C 的斜的斜边A A B B 上上的中的中线C C D D的的长度度为. .【解析解析】RtABCRtABC绕点绕点O O顺时针旋转后得到顺时针旋转后得到RtABC,RtABC,AB=AB=16,AB=AB=16,CDCD为为RtABCRtABC的斜边的斜边ABAB上的中线上的中线, ,CD= AB=8.CD= AB=8.答案答案: :8 84.4.如如图, ,在在RtABCRtABC中中,CD,CD是斜是斜边ABAB上的中上的中线, ,EFEF过点点C C且平行于且平行于AB,AB,若若BCF=35,BCF=35,则ACDACD= =.【解析解析】EFAB,B=BCF=35EFAB,B=BCF=35. .CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线, ,BD=CD,BCD=B=35BD=CD,BCD=B=35, ,ACD=ACB-BCD=90ACD=ACB-BCD=90-35-35=55=55. .答案答案: :5555【想一想错在哪？想一想错在哪？】已知已知: :如如图, ,在在ABCABC中中,B=C,AD,B=C,AD是是BACBAC的平分的平分线,E,F,E,F分分别为AB,ACAB,AC的中点的中点. .求求证:DE=DF.:DE=DF.提示提示: :题目中没有说明题目中没有说明ABDABD和和ACDACD是直角三角形是直角三角形, ,不能直接得不能直接得到到DE= AB,DF= AC.DE= AB,DF= AC.