第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 重积分的应用 .1. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 .一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为.任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V . 解解: 曲面曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D )在点例例1. 求曲面求曲面.例例2. 2. 求半径为求半径为a a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为.二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)那么.故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即.若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式那么则有且.例例3. 计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为那么出的面积 A .例例4. 计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积.解解:设球面方程为 球面面积元素为方法方法2 利用直角坐标方程利用直角坐标方程. (见书见书 P167)方法方法1 利用球坐标方程利用球坐标方程.( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2019考研)练习题练习题.提示提示:记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,那么(用极坐标) .由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.