1一、二重积分的计算一、二重积分的计算1 1定理定理1 1 若函数若函数 在闭矩形域在闭矩形域可积，且可积，且存在，存在，则累次积分则累次积分也存在，且也存在，且22 2推论推论 若函数若函数 在在 a,ba,b 可积，函数可积，函数在在 c,dc,d 可积，则乘积函数可积，则乘积函数在闭矩形域在闭矩形域也可积，且也可积，且3X X型与型与y y型区域型区域定义定义设函数在闭区间设函数在闭区间连续；函数在闭区间连续；函数在闭区间连续，则连续，则x x型区域型区域y y型区域型区域4积分区域为积分区域为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上上连续连续. .如图如图x x型区域型区域5y y型区域型区域6定理定理2 2 设有界闭区域设有界闭区域R R是由两条光滑曲线是由两条光滑曲线以及直线以及直线x=ax=a与与x=bx=b所围成。所围成。在在R R可积，且可积，且定积分定积分存在，存在，也存在，且也存在，且则累次积分则累次积分若函数若函数7如何利用累次积分求二重积分如何利用累次积分求二重积分( (以以 型为例型为例) )化为先对，后对的累次积分化为先对，后对的累次积分. .首先将首先将R R投影到轴，得到闭区间，投影到轴，得到闭区间，在区间在区间 上任取一点，关于积分上任取一点，关于积分，在在R R内的积分限由内的积分限由然后关于从然后关于从到积分到积分到到8二、二重积分的换元二、二重积分的换元定理定理2 2 若函数若函数 在有界闭区域在有界闭区域R R连续，连续，函数组函数组 将将平面上区域一对一地变换为平面上区域一对一地变换为xyxy平面上区平面上区域域R R。且函数组。且函数组 在在 上对上对 与对与对 存在连续偏导数，存在连续偏导数，有有则则9极坐标变换极坐标变换面积微元面积微元设曲面设曲面S S的方程为的方程为：曲面的面积曲面的面积曲面面积为曲面面积为第一型曲面积分的特殊情况第一型曲面积分的特殊情况10利用参数方程来计算利用参数方程来计算曲面面积曲面面积11例例1 1计算二重积分其中计算二重积分其中D D是由直线是由直线和双曲线和双曲线 所围成，所围成，D D既是既是x x型区域又是型区域又是y y型区域型区域12例例2 2 将二重积分将二重积分 化为按不同次序化为按不同次序的累次积分，其中的累次积分，其中R R是由上半圆周是由上半圆周抛物线抛物线和直线和直线所围成所围成13截下的截下的有限曲面片有限曲面片的面积的面积. .被柱面被柱面例例3 求曲面求曲面例例4 4所围所围平面闭区域平面闭区域. .例例5 5 计算由下列曲线围成的面积计算由下列曲线围成的面积14例例6 6例例7 7 计算球体被圆柱面计算球体被圆柱面所截得的那部分立体的体积所截得的那部分立体的体积其中是以其中是以所围成所围成例例815二、三重积分二、三重积分1.1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分设积分区域设积分区域V为为16如如 图，图，过点过点闭区域闭区域V V在在xoyxoy平面的投影为闭区域平面的投影为闭区域D.D.17再再计算计算得得则则注注相交不多两点情形相交不多两点情形. .18x0z yz=z2(x,y)I =P Dz=z1(x,y)这就化为一个这就化为一个定积分和一个定积分和一个二重积分的运算二重积分的运算19三三. . 三重积分换元法三重积分换元法定定理理若三元函数若三元函数 在有界闭体在有界闭体 连续连续, ,则三重积分则三重积分 存在存在. .设函数组设函数组在在 空间有界闭体空间有界闭体 有定义有定义. .若满足若满足下列条件下列条件: :201) 1) 函数函数所有的偏导数在所有的偏导数在 连续连续; ;2) 2) 21则有三重积分的换元公式则有三重积分的换元公式3)3)函数组函数组(1)(1)将将 空间中的空间中的 一一对一一对应地变换为应地变换为 空间中的空间中的 . .222.2.柱面坐标变换柱面坐标变换设设其中其中23先将先将在在xOyxOy面上的投影域用面上的投影域用极坐标极坐标不等式不等式从而从而故故再再确定确定的下的下, , 上边界面上边界面表示表示243球面坐标与球面坐标与 直角坐标的关系为直角坐标的关系为25球面坐标系中的体积微元为球面坐标系中的体积微元为再根据再再根据再V V中中r r， ， 的关系，化为三次积分。的关系，化为三次积分。26例例9 9 计算平面计算平面 与与所围成的四面体的体积所围成的四面体的体积. .例例10 10 计算三重积分计算三重积分，上半椭球体：上半椭球体：其中是其中是例例1111 计算三重积分计算三重积分V：平面平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域所围成的区域27与抛物面与抛物面 所围的立体所围的立体. .例例12 12 计算计算，其中，其中 是球面是球面例例1313 计算计算其中其中 V V 由曲面由曲面和和围围成。成。28其中其中V是由曲面是由曲面所界的区域所界的区域例例1429