第第7节空间角的计算节空间角的计算最新考纲1.能用几何方法解决空间角问题；2.了解向量方法在研究立体几何空间角问题中的应用.1.求异面直线所成的角(1)(几何法)通过作平行线化为三角形求解.(2)(向量法)设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则知知 识识 梳梳 理理2.求直线与平面所成的角|cosa，n3.求二面角的大小(1)(几何法)通过一个面的垂线或垂面先作出二面角的平面角，然后加以证明和计算.(2)(向量法)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |_，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).|cosn1，n2|常用结论与微点提醒1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.2.线面角的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin |cosa，n|，不要误记为cos |cosa，n|.3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)答案(1)(2)(3)(4)2.(选修21P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45 B.135C.45或135 D.90两平面所成二面角为45或18045135.答案C答案C4.(2018舟山测试)平面的斜线与平面所成的角是35，则此斜线与平面内所有不过斜足的直线所成的角的范围是()A.035B.090C.3590 D.3590解析设平面的斜线的斜足为B，过斜线上A点作平面的垂线，垂足为C，则ABC35，当内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35；当内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，直线与斜线所成的角为90；当内的直线与BC既不平行也不垂直时，直线与斜线所成的角满足3590.答案D答案306.过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_.解析如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，CDAE，从而AE平面PCD.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.答案45考点一求异面直线所成的角(1)PCD的面积.(2)(一题多解)异面直线BC与AE所成的角的大小.(2)法一 如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.图1图2【训练1】 (1)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60，PAAB，则PB与AC所成角的余弦值为()(2)(2018浙江五校联考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在A1C上运动(包括端点)，则BP与AD1所成角的取值范围是()答案(1)C(2)D考点二求直线与平面所成的角【例2】 (2018浙江“超级全能生”联考)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADCDCBa，ABC60，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AEa，点M在线段EF上，且MF2EM.(1)求证：AM平面BDF；(2)(一题多解)求直线AM与平面BEF所成角的余弦值.(1)证明在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCBa，ABC60，四边形ABCD是等腰梯形，且DCADAC30，DCB120，ACBDCBDCA90，ACBC.四边形AMFN是平行四边形，AMNF，又NF平面BDF，AM平面BDF，AM平面BDF.(2)解法一由题知ACEF，点A到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离，过点C作BF的垂线交BF于点H，ACCF，ACBC，BCCFC，AC平面BCF，即EF平面BCF，CHEF，又CHBF，EFBFF，CH平面BEF.(1)求证：平面PBC平面ABCD；(2)(一题多解)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.图1(2)解法一如图1，在平面ABP内，过点P作直线PB的垂线交AB的延长线于点Q，过点M作AB的垂线交AB的延长线于点N，过点C作PQ的垂线交PQ于点E，连接PN，CQ.由于PQPB，PCPB，PQPCP，则PB平面PQC，又PB平面PAB，则平面PQC平面PAB，又CEPQ，平面PQC平面PABPQ，则CE平面PAB，CPE是直线PC与平面PAB所成角.法二如图2，建立空间直角坐标系Mxyz.图2考点三求二面角解(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP，又BP平面ABP，所以BEBP，又EBC120，因此CBP30.图1法二以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系.图2规律方法(1)几何法求二面角的步骤是“一作、二证、三计算”.注意利用二面角一个平面的垂线、垂面找(作)平面角.(2)利用向量计算二面角大小的常用方法：找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【训练3】 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，PAPB，O为AB的中点，ODPC.(1)求证：OCPD；(2)(一题多解)若PD与平面PAB所成的角为30，求二面角DPCB的余弦值.(1)证明如图，连接OP.PAPB，O为AB的中点，OPAB.侧面PAB底面ABCD，OP平面ABCD，OPOD，OPOC.ODPC，OD平面OPC，ODOC，又OPOC，OPODO，OC平面OPD，OCPD.(2)解法一在矩形ABCD中，由(1)得ODOC，AB2AD，不妨设AD1，则AB2.侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，DA平面PAB，CB平面PAB，DPACPB，DPA为直线PD与平面PAB所成的角，法二取CD的中点E，以O为原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.在矩形ABCD中，由(1)得ODOC，AB2AD，不妨设AD1，则AB2.侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，DA平面PAB，CB平面PAB，DPACPB，DPA为直线PD与平面PAB所成的角，