补充一：高斯定理的微分形式补充一：高斯定理的微分形式1、电场的散度电场的散度（divergence）S VP电场在电场在P点点的散度定义为的散度定义为为为通过通过包围包围P点的封闭曲面点的封闭曲面S的电通量的电通量其中其中1 静静电电场场是是有有源源场场，源源头头是是电电荷荷密密度度不不为零的那些点。为零的那些点。2、高斯定理的微分形式高斯定理的微分形式2证明：证明：Si ViPiSV3因因V任意，则得任意，则得高斯定理的微分形式高斯定理的微分形式（积分形式）（积分形式）43、散度的计算散度的计算x, y, zx y z z y x5梯度算符梯度算符高斯定理的微分形式可写成高斯定理的微分形式可写成6 证明：由斯托科斯公式证明：由斯托科斯公式因域因域 S 任意，则任意，则补充二：静电场环路定理的微分形式补充二：静电场环路定理的微分形式LdSESS 是以是以 L 为边界为边界的任意曲面的任意曲面静电场是有源、无旋场：静电场是有源、无旋场：7 针针对对特特定定体体系系：边边界界S内内只只包包围围若若干干个个静静止止导导体，给定导体的几何形状、相互位置。体，给定导体的几何形状、相互位置。补充三：补充三： 静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理 边界边界S导体导体导体导体自由空间：自由空间：E=? 此此外外，再再给给定定哪哪些些条条件件，边边界界S内内自自由由空空间间的的电场才能唯一确定？电场才能唯一确定？8 给给定定哪哪些些边边值值条条件件，边边界界S内内自自由由空空间间的的电电场才能唯一确定？场才能唯一确定？一、一、静电边值问题静电边值问题自由空间：自由空间：解出解出 ，由，由 求电场分布。求电场分布。静电边值问题：静电边值问题：边值条件边值条件9（3）给定一些导体的）给定一些导体的电势电势和其余导体的和其余导体的电量。电量。（1）给定每一个导体的）给定每一个导体的电势。电势。（2）给定每一个导体的）给定每一个导体的电量。电量。 给给定定边边界界S上上的的电电势势分分布布 ，或或 ，再再给给定下列条件之一，定下列条件之一，S内内静电场分布唯一确定静电场分布唯一确定导体导体导体导体自由空间：自由空间：E=?S二、二、静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理10 就就一一般般情情况况“给给定定一一些些导导体体的的电电势势和和其其余余导导体的电量体的电量”证明。证明。假设存在两个解：假设存在两个解：即电场的分布唯一确定。即电场的分布唯一确定。 如果能证明如果能证明则则常数，常数，给定给定 或或 给定给定导体导体导体导体给定给定自由空间：自由空间：E=?S补充：补充：静电场唯一性定理的证明静电场唯一性定理的证明静电边值问题：静电边值问题：11把导体把导体的电荷条件变换成电势条件的电荷条件变换成电势条件其中其中 代表代表导体导体的外表面。的外表面。得电势条件：得电势条件：12静电边值问题改写成：静电边值问题改写成：给定给定 或或 给定给定导体导体导体导体给定给定13设存在两个解：设存在两个解： 和和 ，令，令14如果如果 ，则电场分布唯一。，则电场分布唯一。 1、先证明下式成立先证明下式成立其中其中 代表任意封闭面代表任意封闭面 包围的自由空间体积。包围的自由空间体积。关于关于 的边值问题的边值问题:（ 向外为正）向外为正）15高斯定理（数学）：高斯定理（数学）：设：设：即即得：得：2、再证明再证明 零零16导体导体导体导体VV导体导体界面界面导体导体界面界面17原体系的电场分布是唯一的。原体系的电场分布是唯一的。证毕。证毕。所以所以 即即 ， 等势等势18补充：电像法介绍补充：电像法介绍【例例】点点电电荷荷q放放在在无无限限大大接接地地导导体体平平板板上上方方h处。求板面上的电荷分布。处。求板面上的电荷分布。hqo19边界面内导体电量给定为边界面内导体电量给定为q。板上方空间的电场分布是唯一的。板上方空间的电场分布是唯一的。U=0U =0hqo边界面电势给定边界面电势给定U=U =0，按静电唯一性定理：按静电唯一性定理：解：解：20 上上方方空空间间和和所所求求空空间间的的边边值值条条件件（U=U =0，q）相同。相同。由唯一性定理：由唯一性定理：上方空间电场，即为所求。上方空间电场，即为所求。U=0U =0hqh-q（q 的电象）的电象） 用用q的的电电象象q，代代替替接接地地板板对对上上方方空间电场的作用。空间电场的作用。21U=0U =0hqh-qpa 电电象象法法本本质质：用用域域外外的的象象电电荷荷来来等等效效边边界界上上的未知电荷对域内的影响，以简化计算。的未知电荷对域内的影响，以简化计算。22