专题13 运用空间向量研究立体几何问题（2） 1、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?题组一、运用向量解决几何体中的距离问题1-1、（2023黑龙江牡丹江牡丹江市第三高级中学校考三模）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，(1)求证：平面BDE；(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；(3)求点D到平面ABE的距离1-2、（2023安徽黄山统考三模）如图，在直角梯形中，四边形为平行四边形，对角线和相交于点，平面平面，是线段上一动点（不含端点）(1)当点为线段的中点时，证明：/平面；(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值1-3、（2023四川成都四川省成都列五中学校考三模）如图，四棱柱的侧棱底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点.(1)证明：四点共面；(2)若，求点A到平面的距离.题组二、最值问题2-1、（2022江苏扬州高三期末）如图，在三棱台ABCA1B1C1中，底面ABC是等腰三角形，且BC8，ABAC5，O为BC的中点侧面BCC1B1为等腰梯形，且B1C1CC14，M为B1C1中点（1）证明：平面ABC平面AOM；（2）记二面角ABCB1的大小为，当，时，求直线BB1平面AA1C1C所成角的正弦的最大值2-2、（南京师大附中20222023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PCD平面ABCD，PCD是边长为2等边三角形，点E为CD的中点，点M为PE上一点（与点P，E不重合）（1）证明：AMBD；（2）当AM为何值时，直线AM与平面BDM所成的角最大？2-3、（南京市2023届高三年级学情调研）（本小题满分12分）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.（1）设平面平面，证明：；（2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.题组三、探索性问题3-1、（2023云南玉溪统考一模）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是矩形，M，N分别是线段AB，PC的中点(1)求证：MN平面PAD；(2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由3-2、（2023山西统考一模）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，.(1)求到平面的距离；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.3-3、（2023江苏南京南京市秦淮中学校考模拟预测）如图，三棱柱的侧棱底面，E是棱上的动点，F是的中点，（1）当是棱的中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由3-4、（2023广东佛山统考模拟预测）如图，菱形的边长为，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.(1)证明：；(2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由.1、（2021山东济宁市高三二模）（多选题）如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法止确的是（ ）A四面体的体积是定值B的取值范围是C若与平面所成的角为，则D若三棱锥的外接球表面积为，则2、（2021山东滨州市高三二模）在正方体中，M是棱的中点，P是底面ABCD内(包括边界)的一个动点，若平面，则异面直线MP与所成角的取值范围是（ ）ABCD3、（2022山东青岛高三期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求点A到平面的距离.4、（2023辽宁沈阳统考三模）如图，在三棱锥中，点D为BC中点(1)求二面角的余弦值；(2)在直线AB上是否存在点M，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由5、（2023吉林统考三模）如图，在多面体中，四边形和四边形均是等腰梯形，底面为矩形，与的交点为，平面，且与底面的距离为，(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由