2.2 基本不等式（精讲）（基础版）思维导图考点呈现例题剖析考点一 直接型【例1-1】（2022江西）当时，的最小值为（）A3BCD【答案】D【解析】由（当且仅当时等号成立）可得当时，的最小值为故选：D【例1-2】（2022北京高三学业考试）已知，且，则的最小值为（）A1B2C3D4【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当时取“=”.故选：B.【例1-3】（2022广东）已知正实数a，b，满足条件2a+b=1，则ab的最大值为（）A4B8CD【答案】C【解析】因为正实数a，b，满足2a+b=1，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以ab的最大值为.故选：C【一隅三反】1（2022河南驻马店）已知a0，则当取得最小值时，a的值为（）ABCD3【答案】C【解析】a0，当且仅当，即时，等号成立，故选：C2（2021江苏）若，则的最小值是（）A4BC9D18【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，故选：D3（2021河南南阳）下列函数中，最小值为2的是（）ABCD【答案】C【解析】，A不符合题意.，当且仅当，即时，等号成立，显然不可能成立，B不符合题意.，当且仅当，即时，等号成立，C符合题意.当时，D不符合题意.故选：C考点二 常数替代型【例2-1】（2022甘肃武威高二期末（理）已知，则的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4.故选：D.【例2-2】（2022湖南长沙一中高三阶段练习）已知p，q为正实数且，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】由可知，当，即时，“”成立，故选：A.【一隅三反】1（2022河南郑州）已知实数a0，b0，则的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】依题意，.当且仅当时等号成立.故选：B2（2022山西太原）已知为正实数，则的最小值为（）ABCD4【答案】A【解析】因为所以当且仅当，即时等号成立故选：A3（2022全国高三专题练习）已知，且，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.故选：A4（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A2BCD6【答案】B【解析】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.考点三 配凑型【例3-1】（2022全国高三专题练习）函数的最小值是（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D.【例3-2】（2021辽宁）已知正实数x，则的最大值是（）ABCD【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.【例3-3】（2021河北邢台）若，则的最大值是（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，故选：B.【一隅三反】1（2022全国高三专题练习（理）若 ，则有（）A最大值B最小值C最大值D最小值【答案】A【解析】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A2（2022山西怀仁市第一中学校二模）函数的最小值为（）A8B7C6D5【答案】D【解析】因为，所以3x10，所以，当且仅当，即x =1时等号成立，故函数的最小值为5选：D3（2022江苏徐州）设，为正数，且，则的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】，即，当且仅当，且时，即，时等号成立.故选：.考点四 消元型【例4】（2022重庆西南大学附中）已知正实数，满足，则的最大值为_.【答案】【解析】依题意正实数，满足，当且仅当，时等号成立.故答案为：【一隅三反】1（2022北京人大附中高三阶段练习）已知正数、满足，则的最小值是_.【答案】【解析】因为、为正数，由基本不等式可得，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.2（2020江苏高考真题）已知，则的最小值是_【答案】【解析】且，当且仅当，即时取等号.的最小值为.故答案为：.3（2021安徽泾县中学高一阶段练习）设正实数、满足，则的最大值为（）ABCD【答案】C【解析】因为正实数、满足，则，则，当且仅当时取等号.故的最大值为.故选：C.考点五 求参范围【例5】（2022全国高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；故选：C【一隅三反】1（2022全国高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】当时，（当且仅当时取等号），即的取值范围为.故选：D.2（2022全国高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由题意，对任意，则有，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，又由对任意时，恒成立，所以，即的取值范围为.故选：A.3（2022全国高三专题练习）若，且恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】不等式恒成立，即，等号成立的条件是，即，与条件联立，解得 ，所以的最小值是8，即，解得：.故选：A2.2 基本不等式（精练）（基础版）题组一 直接型1（2022全国课时练习）设x，y满足，且x，y都是正数，则的最大值是( )A400B100C40D20【答案】A【解析】，当且仅当时，等号成立，的最大值为400故选：A2（2021重庆）已知两个正数满足，则的最小值为（）A3B6CD【答案】B【解析】，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故选：3（2021云南砚山县第三高级中学）已知正实数、满足，则的最小值是（）ABCD【答案】B【解析】由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值是.故选：B.4（2022河南濮阳）若a0，b0，a，b的等差中项是1，且的最小值为（）A1B2C3D4【答案】A【解析】利用等差中项性质，得，由均值不等式得（当且仅当时，等号成立），所以，所以，所以最小值为1.故选：A.5（2022河南南阳）已知，且，则的最大值为（）A2B5CD【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故选：D6（2022河南）已知公差不为0的等差数列中，（m，），则mn的最大值为（）A6B12C36D48【答案】C【解析】由题设及等差数列的性质知：，又m，所以，即，当且仅当时等号成立.所以mn的最大值为.故选：C7（2022广东茂名）若a，b都为正实数且，则的最大值是（）ABCD【答案】D【解析】因为，都为正实数，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选：D8（2022山西）已知，则的最大值为（）A0BCD1【答案】A【解析】，当且仅当ab1时，取等号.故选：A.9（2022广东深圳市高级中学）设正实数满足，则的最大值为（）ABCD【答案】C【解析】由基本不等式可得，即，解得，当且仅当，即，时，取等号，故选：C.10（2022北京大兴）当时，的最大值为（）ABCD【答案】B【解析】，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B题组二 常数替代型1（2022安徽高三阶段练习）已知，则的最小值是（）A1B2C4D6【答案】C【解析】因为，所以，当且仅当，即，时取等号；故选：C2（2022河南许昌高中）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（）A1B6C7D【答案】B【解析】由已知条件得，当且仅当，即，时取等号， 的最小值为6；故选：B.3（2022辽宁沈阳二中二模）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（）A1B2C4D6【答案】D【解析】因为a，b为正实数，且，所以.当且仅当，即时取等号.故选：D4（2022福建模拟预测）已知，则的最小值为（）A13B19C21D27【答案】D【解析】，当且仅当，即，b6时，等号成立，故的最小值为27故选：D5（2022天津高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是（）A4BC5D9【答案】B【解析】因为，是正实数，所以故有，当且仅当，即，时取到等号.故选：B.6（2022全国高三专题练习）已知，且，则的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】因为，当且仅当时，等号成立.故选：B7（2022全国高三专题练习）实数，且满足，则的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】，则，由，则，当且仅当时等号成立.的最小值为.故选：C.8（2022全国高三专题练习）若，则的最小值为（）AB1C2D4【答案】D【解析】由题意得，则，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4.故选：D9（2022全国高三专题练习）已知，且，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】由可得，所以，因为，则，当且仅当 即时等号成立，所以的最小值为，故选：A.10（2022广东珠海高三期末）非负实数x，y满足，则的最小值为_【答案】0【解析】当时，；当x，时，由得，所以（当且仅当时，等号成立）所以的最小值为0故答案为：11（2022