B 0 目录 一、分式的概念. 1 考向 1：考查分式的定义. 2 考向 2：考查分式有意义的条件. 2 考向 3：考查分式值为 0 的条件. 2 考向 4：考查分式值为正、负的条件. 2 考向 5：考查分式的值为 1，-1 的条件 . 2 二、分式的基本性质. 2 考向 6：化分数系数、小数系数为整数系数. 3 考向 7：分数的系数变号. 3 考向 8：分式的约分. 3 考向 9：分式的通分. 3 三、分式的运算. 3 考向 10：分式的混合运算. 4 考向 11：化简求值. 4 考向 12：求待定字母的值. 5 四、解分式方程. 5 考向 13：用常规方法解分式方程. 5 考向 14：用特殊方法解分式方程. 5 考向 15：分式方程无解忘检验. 6 考向 16：漏乘无分母的项. 6 考向 17：由分式方程无解或有增根求未知字母的值. 6 五、列分式方程应用题. 6 考向 18：行程中的应用性问题. 6 考向 19：轮船顺逆水应用问题. 6 考向 20：工程类应用性问题. 6 考向 21：营销类应用性问题. 7 考向 22：浓度应用性问题. 7 考向 23：货物运输应用性问题. 7 分式知识点总结与典型例题 一、分式的概念 1、定义：一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 式，A 为分子，B 为分母。 2、与分式有关的条件： 分式有意义：分母不为 0（ B 0 ） 分式无意义：分母为 0（ B 0 ） A 0 分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（ ） 第 1 页 A B 叫做分 分式值为正或大于 0：分子分母同号（ A 0 B 0 B 0 分式值为负或小于 0：分子分母异号（ 或 ） B 0 B 0 1、下列代数式中： , x y, （3） （4） （5） （1） （2） 3 ( x 1)2 为负； 值不变。即： A 的值不变，即 A A 0 或 ） A 0 A 0 分式值为 1：分子分母值相等（A=B） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 典型例题： 考向 1：考查分式的定义 1 x 1 a b x 2 y 2 x y , , 2 a b x y x y 考向 2：考查分式有意义的条件 2、当 x 有何值时，下列分式有意义 ，是分式的有： （1） x 4 x 4 （2） 3x 2 6 x x 2 2 x 2 1 | x | 3 1 x 1 x 考向 3：考查分式值为 0 的条件 3、当 x 取何值时，下列分式的值为 0. x 1 | x | 2 x 3 x 2 4 考向 4：考查分式值为正、负的条件 4、当 x 为何值时，分式 4 8 x 为正； 5、当 x 为何值时，分式 5 x 6、当 x 为何值时，分式 x 2 x 3 为非负数 考向 5：考查分式的值为 1，-1 的条件 7、若 | x | 2 x 2 的值为 1，-1，则 x 的取值分别为 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的 A C A A C ， ，其中 A、B、C 是整式，C 0。 B B C B B C 2、分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式 A A A B B B B 3、最简分式：一个分式的分子与分母 没有公因式 时，叫最简分式。 4、约分：把一个分式的分子与分母的 公因式约去，叫做分式的约分 5、约分化简的方法： 分式的分子与分母均为 单项式 时可直接约分，约去分子、分母 系数 的 最大 公约数 ，然后约去分子分母 相同因式 的 最低次幂 ； 第 2 页 y y 2 x x2 （1） 2 A. 2 分子分母若为 多项式 ，先对分子分母进行 因式分解 ，再约分 6、通分：把几个 异分母 的分式化成与原来的分式 相等 的 同分母 的分式，叫做分 式的通分。 7、通分方法：把各个分式的 分母 进行 因式分解 ；找出 最简公分母 ；用分 式的性质把各个分式化为 同分母 分式。 8、最简公分母的确定方法： 系数取各个 分母系数 的 最小公倍数 作为最简公分母的系数； 取各个 公因式 的 最高次幂 作为最简公分母的因式； 当分母是 多项式 时，先把各分母 分解因式 ，然后确定最简公分母。 典型例题： 1、下列各式正确的是（ ） A. a x a 1 n na n n a b x b 1 m ma m m a B. C. ， （ a 0 ） D. 考向 6：化分数系数、小数系数为整数系数 2、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. 1 2 x y 3 1 1 x y 3 4 （2） 0.2a 0.03b 0.04a b 考向 7：分数的系数变号 3、下列各式的变式不正确的是（ ） 2 3 y 3 y y y 3x 3x 8x 8x B. C. D. 表达式： b d 表达式： b 6 x 6 x 4 y 4 y 3 y 3 y 考向 8：分式的约分 4、将下列各式分别约分 考向 9：分式的通分 5、将下列各组分式通分 三、分式的运算 1、分式乘法法则： 分式乘分式，用分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为积的分母。 bd a c ac 2、分式的除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 c b d bd a d a c ac 3、分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 第 3 页 c b d bc da ) a mn ; （4）同底数的幂的除法： a an am n （5）商的乘方： ( ) n （2） + (4) a （3） - a 2b ) 3 ) 2 ( ) 4 x 2 4 1 x 2 2 x c ab a ( （9） 1 ( 1) ( ) 的值； xy x y ) ( x y) ( x y 表达式：同分母加减： b b c a 0 a a a 异分母加减： bc da a 0, c 0 a c ac ac ac 1 4、负整数指数幂： a n = an （a0，n 是正整数） 5、整数指数幂性质： （1）同底数的幂的乘法： a m a n a m n ； （2）幂的乘方： (a m n （3）积的乘方： (ab) n a nbn ； m ( a0) a a n b b n ；(b0) 6、科学计数法：将一个数字表示成的a 10 n 形式，其中 1|a|10，n 表示整数，这 种记数方法叫科学记数法。 考向 10：分式的混合运算 1、计算： （1） 2a 5 a 1 2a 3 a 2 b 2 2ab 2(a 1) 2(a 1) 2(a 1) a b b a a a 6 3 2 a 3 a2 3a a a 1 a 1 （5） ( （6） ( ) ( ) x 2 4 x 4 x 2 x 1 （7） x 2 4 1 x 2 2 x ) ( ) x 2 4 x 4 x 2 x 1 1 1 2 x 4 x 3 8x 7 （8） 1 x 1 x 1 x 2 1 x 4 1 x 8 1 1 . x( x 1) ( x 1)(x 2) ( x 2)( x 3) 考向 11：化简求值 2、先化简后求值 （1）已知： x 1 ，求分子1 8 x 2 4 x 2 4 1 1 4x 2 x （2）已知 x : y 2 : 3 ，求 ( x 2 y 2 ) 3 x 2 第 4 页 的值； （4）已知： x )(a ) 的值； x 2 1 4、已知： 5x 4 ； （2） 0 ； （3） a 1 a 2 4 1 a 2 a 2 2a 1 a 2 1 ，其中 a 满足 a 2 a 0 ； y z xy 2 yz 3xz ，求 的值； 2 3 4 x 2 y 2 z 2 （5）已知 x x 1 5 ，求 x 2 x 2 的值；求 x 4 x 4 的值； （6）已知： a 2 3a 1 0 ，试求 (a 2 1 a 2 1 a （7）已知 2 x 3 y z 0,3 x 2 y 6 z 0, xyz 0 ，求 x2 y 2 z 2 2 x2 y 2 z 2 的值； a b （8）已知 a2 6a 9 与 b 1 互为相反数，求 ( ) (a b) 的值. b a 考向 12：求待定字母的值 3、若 1 3x M N x 1 x 1 ，试求 M , N 的值； A B ( x 1)(2x 1) x 1 2x 1 ，试求 A 、 B 的值. 四、解分式方程 1、分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的解法： 能化简的先化简； 去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母（产生增根的过程） ； 解整式方程，得到整式方程的解； 检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中，如果最简公分母为 0，则原 方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原 方程的解。 3、分式方程无解或产生增根的条件是： 是得到的整式方程的解； 代入最简公分母后值为 0. 考向 13：用常规方法解分式方程 1、解下列分式方程 （1） 1 3 2 1 x 1 x x 3 x （3） x 1 4 x 1 x 2 1 1 ； （4） 5 x x 5 x 3 4 x 考向 14：用特殊方法解分式方程 2、解下列分式方程 第 5 页 4 ； 提示：换元法，设 y ； ； 提示：裂项法， 5、如果分式方程 x 1 有增根，求 m 的值； 9、若关于 x 的方程 不会产生增根，求 k 的值. （1） （2） x 4x 4 x x 1 x x 1 x 7 x 9 x 10 x 6 x 7 1 1 x 6 x 8 x 9 x 5 x 6 x 6 考向 15：分式方程无解忘检验 3、解方程： 8 x 2 4 考向 16：漏乘无分母的项 1 x x 2 4、解方程： 2 x 1 2 1 x 3 3 x 考向 17：由分式方程无解或有增根求未知字母的值 m x 1 x 1 无解，求 m 的值； 6、若关于 x 的分式方程 2 m x 3 x 3 7、若关于 x 的方程 x 1 m x 5 10 2 x 无解，求 m 的值； 8、若分式方程 2 x a x 2 1 的解是正数，求 a 的取值范围； 提示： x 2 a 3 0 且 x 2 ，a 2 且 a 4 . x k 2 x x 1 x 2 1 x 1 五、列分式方程应用题 1、应用题的基本类型： 行程问题：路程=速度时间； 顺水逆水问题：v 顺水=v 静水+v 水 v 逆水=v 静水-v 水 工程问题：工作总量=工作效率工作时间 典型例题： 考向 18：行程中的应用性问题 1、甲、乙两地相距 828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快 车的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍直达快车比普通快车晚出发 2h，比普通快车 早 4h 到达乙地，求两车的平均速度 考向 19：轮船顺逆水应用问题 2、轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时间相等，已知水 流速度为 2 千米时，求船在静水中的速度. 考向 20：工程类应用性问题 第 6 页 3、两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？ 考向 21：营销类应用性问题 4、某校办工厂将总价值为 2019 元的甲种原料与总价值为 4800 元的乙种原料混合后，其 平均价比原甲种原料 0.5kg 少 3 元，比乙种原料 0.5kg 多 1 元，问混合后的单价 0.5kg 是多 少元？ 考向 22：浓度应用性问题 5、要在 40 千克浓度为 15%的盐水中加入多少盐才能使盐水的浓度变为 20% 溶质 分析：浓度问题的基本关系是： 溶液 设加入盐 x 千克 =浓度此问题中变化前后三个基本量的关系如下表： 加盐前 加盐后 溶液 40 40 x 溶质 4015% 4015% x 浓度 15% 20% 根据基本关系即可列方程 考向 23：货物运输应用性问题 6、一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用已知甲、乙、丙三辆车每次 运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、 a 次能运完；若甲、丙两车合 运相同次数运完这批货物时，甲车共运了 180 吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物 时，乙车共运了 270 吨 问：乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍； 现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每 运 1 吨付运费 20 元计算) 第 7 页