专题13 双曲线中的定点、定值、定直线问题限时：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1P为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，则直线与的斜率之积为定值，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点，的任意一点，则（）A直线与的斜率之和为定值 B直线与的斜率之积为定值C直线与的斜率之和为定值 D直线与的斜率之积为定值2已知直线l：与双曲线C：交于P，Q两点，QHx轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则（）ABC1D23已知A，B是双曲线：1(a0，b0)的左、右顶点，动点P在上且P在第一象限若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（ ）Ak1k2B|k1k2|Ck1k2D4已知双曲线，为坐标原点，为双曲线上两动点，且，则（）A2B1CD5已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为（ ）A16B12C8D随变化而变化6已知双曲线：的渐近线方程为，且焦距为，过双曲线中心的直线与双曲线交于两点，在双曲线上取一点（异于），直线，的斜率分别为，则等于（）ABCD7已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（）ABCD8数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（）ABCD二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，下列结论正确的是（）A B双曲线的渐近线方程为C存在点，满足 D点到两渐近线的距离的乘积为10已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点设的面积为S，则（）A为定值B为定值C为定值D为定值11已知点P为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O为坐标原点过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（）A为定值BO、P、M、N四点一定共圆C的最小值为D存在点P满足P、M、三点共线时，P、N、三点也共线12已知双曲线的左，右焦点分别为，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（）A的最小值为8B若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6C为定值D若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13设P是双曲线右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则的值为 14已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 .15双曲线的离心率为，分别是的左，右顶点，是上异于的一动点，直线分别与轴交于点，请写出所有满足条件的定点的坐标 .16已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则的值为 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且，.(1)求双曲线的方程；(2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.18已知双曲线过点，且焦距为.(1)求的方程；(2)已知过点的动直线交的右支于两点，为线段上的一点，且满足，证明：点总在某定直线上.19已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.20已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.21已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程；(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.为定值；为定值；为定值22已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.(1)求双曲线的方程.(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.