基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、填空题 1.(2015无锡模拟)若正三棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 1，则此三棱锥的体积为_. 解析 该正三棱锥的底面积为34( 2)232，高为163233，所以该正三棱锥的体积为13323316. 答案 16 2.(2016宿迁模拟)用半径为 2 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为_cm. 解析 用半径为 2 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥的母线长为 2，底面圆的周长为 2，所以底面圆的半径为 1，则这个圆锥筒的高为2212 3(cm). 答案 3 3.如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三棱锥 B1ABC1的体积为_. 解析 三棱锥 B1ABC1的体积等于三棱锥 AB1BC1的体积，三棱锥 AB1BC1的高为32， 底面积为12， 故其体积为131232312. 答案 312 4.(2015盐城模拟)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 4 的半圆面，则该圆锥的体积为_. 解析 由圆锥的侧面展开图是面积为 4的半圆面，得该半圆的半径是 2 2，即为圆锥的母线长.半圆周长即为圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为 r，则 2 22r，解得 r 2，所以圆锥的高是 h（2 2）2r2 6，体积是 V13r2h2 63. 答案 2 63 5.(2015苏、锡、常、镇四市调研)已知ABC 为等腰直角三角形，斜边 BC 上的中线 AD2， 将ABC 沿 AD 折成 60的二面角， 连接 BC， 则三棱锥 CABD的体积为_. 解析 由题意可得CDB60，DCDB，所以DCB 是边长为 2 的等边三角形，且 AD平面 DCB，所以三棱锥 CABD 的体积为13SBCDAD131222sin 6022 33. 答案 2 33 6.(2015南京模拟)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3 cm，圆心角为23的扇形，则此圆锥的高为_cm. 解析 设圆锥的底面半径为 r，则 2r323，所以 r1，所以高为32122 2. 答案 2 2 7.一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_. 解析 设六棱锥的高为 h，斜高为 h0.因为该六棱锥的底面是边长为 2 的正六边形，所以底面面积为1222sin 6066 3，则136 3h2 3，得 h1，所以 h0（ 3）2122，所以该六棱锥的侧面积为1222612. 答案 12 8.(2015四川卷)在三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形，设点 M，N，P 分别是 AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥 PA1MN 的体积是_. 解析 由题意知还原后的几何体是一个直三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1， VPA1MNVA1PMN， 又AA1平面 PMN，VA1PMNVAPMN， VAPMN131211212124， 故 VPA1MN124. 答案 124 二、解答题 9.(2015全国卷)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值. 解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图： (2)作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EB112，EMAA18.因为 EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH EH2EM26，AH10，HB6. 故 S 四边形 A1EHA12(410)856， S 四边形 EB1BH12(126)872. 因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确). 10.如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示. (1)求证：BC平面 ACD； (2)求几何体 DABC 的体积. (1)证明 在题图中，可得 ACBC2 2， 从而 AC2BC2AB2，故 ACBC， 又平面 ADC平面 ABC， 平面 ADC平面 ABCAC， BC平面 ABC，BC平面 ACD. (2)解 由(1)可知， BC 为三棱锥 BACD 的高， BC2 2， SACD2， VBACD13SACDBC1322 24 23，由等体积性可知，几何体 DABC 的体积为4 23. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2015全国卷改编)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， 圆周率约为 3， 估算出堆放的米约有_斛(保留整数). 解析 设圆锥底面半径为 r， 因为米堆底部弧长为 8 尺， 所以2r8， r16163(尺)， 所以米堆的体积为 V1314163253209(立方尺)， 又 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，所以该米堆有32091.6222(斛). 答案 22 12.(2016南通调研)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为棱 AA1的中点.若 AA14，AB2，则四棱锥 BACC1D 的体积为_. 解析 因为四棱锥 BACC1D 的底面 ACC1D 的面积为12(24)26，高为322 3，所以体积为136 32 3. 答案 2 3 13.(2015徐州调研)如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长为_cm. 解析 如图，将三棱柱沿 AA1剪开，可得一矩形，其长为 6 cm，宽为 5 cm，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于 25226213(cm). 答案 13 14.一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm，高是32 cm. (1)求三棱台的斜高； (2)求三棱台的侧面积和表面积. 解 (1) 设 O1、O 分别为正三棱台 ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则 O1O32，过 O1作 O1D1B1C1，ODBC， 则 D1D 为三棱台的斜高；过 D1作 D1EAD 于 E， 则 D1EO1O32， 因 O1D136332，OD366 3， 则 DEODO1D1 33232. 在 RtD1DE 中， D1D D1E2ED2322322 3(cm). 故三棱台的斜高为 3 cm. (2)设 c，c分别为上、下底的周长，h为斜高， S侧12(cc)h12(3336) 327 32(cm2)， S表S侧S上S下27 323432346299 34(cm2). 故三棱台的侧面积为27 32cm2， 表面积为99 34 cm2.