决胜决胜20112011年中考年中考 空间图形、视图与投影赣州三中赣州三中 叶振国叶振国会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图，会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型或实物原型. .了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型作立体模型. .了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；知道这种关系在现实生活中的应用系；知道这种关系在现实生活中的应用( (如物体的包装）如物体的包装）. .能根据光线的方向辩认实物的阴影能根据光线的方向辩认实物的阴影. .了解中心投影和平行投影了解中心投影和平行投影. .了解视点、视角、盲区的涵义了解视点、视角、盲区的涵义. .课程标准与考试说明的要求课程标准与考试说明的要求命命 题题 趋趋 势势 视视图图与与投投影影是是课课程程标标准准新新增增加加的的内内容容, ,通通过过立立体体图图形形与与三三视视图图、展展开开图图的的相相互互转转换换, ,可可以以很很好好地地培培养养同同学学们们的的空空间间想想象象能能力力, ,为为高高中中学学习习立立体体几几何何奠奠定定良良好好的的基基础础. .这这部部分分内内容容在在日日常常生生活活与与生生产产实实践践中中有有着着广广泛泛的的应应用用( (如如测测量量问问题题、包包装装盒盒问问题题等等等等) )，能能够够进进一一步步培培养养同同学学们们综综合合运运用用数数学学知知识识分分析析问问题题、解解决决问问题题的的能能力力. .因因此此这这些些年年来来一一直直是是中中考考命命题题的的一一个个热热点点. .题题型型主主要要以以选选择择题题、填填空空题题为为主主, ,有有时时也也会会以以解解答答题题的的形形式式出出现现. .（如如江江 西西 省省2 20 00 09 9年年 的的 第第2 23 3题题 ） ； 分分 值值 大大 约约 为为3 31 12 2分分. .解解 题题 策策 略略 三视图的解题主要涉及两个方面：三视图的解题主要涉及两个方面： 由物画图时，应符由物画图时，应符合三视图的位置关系、大小关系和虚、实线的有关规合三视图的位置关系、大小关系和虚、实线的有关规定；由图想物时，要先根据主视图、俯视图、左视图定；由图想物时，要先根据主视图、俯视图、左视图分别想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综分别想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合想象整体图形合想象整体图形. . 遇到展开图问题时，通常想象展开图能围成什么样的遇到展开图问题时，通常想象展开图能围成什么样的几何体，也可以由几何体的特征来想象展开图的形状几何体，也可以由几何体的特征来想象展开图的形状. . 在解决投影的有关问题时，首先要区分是平行投影还在解决投影的有关问题时，首先要区分是平行投影还是中心投影，然后根据它们各自的性质来解题，在解是中心投影，然后根据它们各自的性质来解题，在解题过程中，常常要用到相似三角形的有关知识题过程中，常常要用到相似三角形的有关知识. .基础练习基础练习1 1图（图（1 1）是一个正三棱柱，图（）是一个正三棱柱，图（2 2）是四位学生）是四位学生画出的这个正三棱柱的三视图，其中正确的是画出的这个正三棱柱的三视图，其中正确的是 ( )( ) D D方方 法法 提提 炼炼 在画物体的三视图时，应遵循三视图的位置关系、在画物体的三视图时，应遵循三视图的位置关系、大小关系和虚、实线的有关规定：大小关系和虚、实线的有关规定： 二、大小关系是二、大小关系是:“:“长对正，高平齐，宽相等长对正，高平齐，宽相等”； 三、虚、实线的规定是：看得见的轮廓线用实线表示，三、虚、实线的规定是：看得见的轮廓线用实线表示， 看不见的轮廓线用虚线表示看不见的轮廓线用虚线表示. .一、位置关系是一、位置关系是: :俯视图在主视图的正下方，左视图在主俯视图在主视图的正下方，左视图在主 视图的正右方；视图的正右方； 变式变式1 1：如图是由正方体和圆锥组成的几何体，它的俯视图是（如图是由正方体和圆锥组成的几何体，它的俯视图是（ ）A B C DD D变式变式2.2.有一个圆柱形笔筒如图放置，它的左视图是（有一个圆柱形笔筒如图放置，它的左视图是（ ）A. B. C. D.A. B. C. D.A B C DC C基础练习基础练习2 2：下面图形中，三棱锥的平面展开图是（下面图形中，三棱锥的平面展开图是（ ） B B方方 法法 提提 炼炼 遇到展开图问题时，通常可以从两个方面来遇到展开图问题时，通常可以从两个方面来思考思考:(1):(1)想象展开图能围成什么样的几何体，想象展开图能围成什么样的几何体，(2(2）也可以由几何体的特征来想象展开图的形状）也可以由几何体的特征来想象展开图的形状, ,从而更好的增强空间观念从而更好的增强空间观念. .变式变式1 1：在图中添加一个小正方形，使该图形经过折叠后在图中添加一个小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有（）能围成一个四棱柱，不同的添法共有（）A. 7A. 7种种 B.4B.4种种 C.3C.3种种 D.2D.2种种 B B变式2：一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，则在该正方体中，和“崇”相对的面上写的汉字是（ ）A.低 B.碳 C.生 D.活A A变式变式3 3：某种药品包装盒的表面展开图如图所示如果某种药品包装盒的表面展开图如图所示如果长方体盒子的长比宽多长方体盒子的长比宽多4 4cmcm，这种药品包装盒的体积是，这种药品包装盒的体积是_ _ cmcm3 3 设宽为设宽为xcm,则长为则长为(x+4)cm,高为高为(7-x)cm.根据题意得：根据题意得： x+4+2(7-x)=13解得：解得： x=5所以体积为：所以体积为：x (x+4)(7-x)=90cm3.解解 题题 思思 路路基础练习基础练习3 3 第（第（1 1）小题）小题: :下面四幅图是在一天中不下面四幅图是在一天中不同时间中太阳照射一个旗杆的影像图，请你按时间的同时间中太阳照射一个旗杆的影像图，请你按时间的先后顺序写出表示各图的字母先后顺序写出表示各图的字母_._.CDABCDAB变式：变式：小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（上形成的投影不可能是（ ）A A小小华华小小丽丽小小军军ABCDPFE解解 题题 思思 路路第（第（2 2）小题：）小题：如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下，如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下， 其中小军和小丽的影子分别是其中小军和小丽的影子分别是AB、CD（1 1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；表示）； （2 2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF表示）表示） 小红的影子扫过的面积是一个圆环的面积小红的影子扫过的面积是一个圆环的面积, ,即即 解解 题题 思思 路路变式变式: :如图如图, ,OM为公园景观灯为公园景观灯, ,小红在小红在A A处的影子为处的影子为AB，AB=1m,=1m,点点A A 到灯杆的距离到灯杆的距离OA=1.5m,=1.5m,小红从小红从A点出发绕点出发绕O点转一圈（以点转一圈（以OA为半径），则小红的影子为半径），则小红的影子“扫扫”过的过的面积为面积为_能力提高题能力提高题1 1：如图是一个几何体的三视图，则这个如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是几何体的形状是_._.三棱柱三棱柱变式变式1 1：如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（方体的个数是（ ）A A2 2个或个或3 3个个B B3 3个或个或4 4个个 C C4 4个或个或5 5个个D D5 5个或个或6 6个个主视图主视图俯视图俯视图解解 题题 思思 路路所以正方体的个数为所以正方体的个数为4 4或或5 5，选，选C变式变式2 2：如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（个数，则这个几何体的左视图是（ ）D D变式变式3:3:如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是（积是（ ）A.1000A.10003 3 B.1500 B.15003 3 C.2000 C.20003 3 D.4000 D.40003 3 C C能力提高题能力提高题2 2：如图是一个几何体的三视图如图是一个几何体的三视图. .（1 1）写出这个几何体的名称；）写出这个几何体的名称；（2 2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；）根据所示数据计算这个几何体的表面积；（3 3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点A出发，沿表出发，沿表面爬到面爬到BC的中点的中点D，请你求出这个线路的最短路程，请你求出这个线路的最短路程. .解解 题题 思思 路路解解：（：（1 1）由三视图可知，该几何体为）由三视图可知，该几何体为圆锥圆锥. .（2 2）S表表= =S侧侧+ +S底底解解 题题 思思 路路设扇形的圆心角为设扇形的圆心角为，（3 3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点A出发，沿出发，沿表面爬到表面爬到BC的中点的中点D，请你求出这个线路的最短路程，请你求出这个线路的最短路程. .挑战中考题挑战中考题1 1 第（第（1 1）小题：）小题：（20102010江西）沿圆柱体上底江西）沿圆柱体上底面直径截去一部分的物体如图所示，它的俯视图是面直径截去一部分的物体如图所示，它的俯视图是( )( )A B C DA B C D D D第（第（2 2）小题（）小题（20102010江西）江西） 如图，一根直立于水平地如图，一根直立于水平地面上的木杆面上的木杆ABAB在灯光下形成影子，当木杆绕在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化设向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化设AB垂垂直于地面时的影长为直于地面时的影长为AC（假定（假定ACAB），影长的最大），影长的最大值为值为m，最小值为，最小值为n，那么下列结论：，那么下列结论：mAC; ;m= =AC;n= =AB;影子的长度先增大后减小影子的长度先增大后减小其中，正确的结论的序号是其中，正确的结论的序号是 ( (多填或错填的得多填或错填的得0 0分，少填的酌情给分分，少填的酌情给分) )解解 题题 思思 路路 第（第（3 3）小题（）小题（20102010东营市）东营市）将一直径为将一直径为1717的圆形纸片的圆形纸片（图（图）剪成如图）剪成如图所示形状的纸片，再将纸片沿虚线所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体（图折叠得到正方体（图）形状的纸盒，则这样的纸盒体）形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大为积最大为 cmcm3 3解解 题题 思思 路路DFE900cm900cm图图2 2BCA60cm60cm80cm80cm图图1 1GHN156cm156cmMO O200cm200cm图图3 3K挑战中考题挑战中考题2 2（20092009江西）江西）问题背景问题背景: : 在某次活动课中，甲、在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量进行了测量. .下面是他们通过测量得到的一些信息：下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图甲组：如图1 1，测得一根直立于平地，长为，测得一根直立于平地，长为80cm80cm的竹竿的影长的竹竿的影长为为60cm.60cm.乙组：如图乙组：如图2 2，测得学校旗杆的影长为，测得学校旗杆的影长为900cm.900cm.丙组：如图丙组：如图3 3，测得校园景灯（灯罩视为球体，测得校园景灯（灯罩视为球体, ,灯杆为圆柱体灯杆为圆柱体, ,其粗细忽略不计）的高度为其粗细忽略不计）的高度为200cm200cm，影长为，影长为156cm.156cm.任务要求任务要求(1)(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；即解解 题题 思思 路路任务要求任务要求（2 2）如图）如图3 3，设太阳光线，设太阳光线NH与圆与圆O 相切于点相切于点M. .请根据甲、丙请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径两组得到的信息，求景灯灯罩的半径. .（友情提示：如图（友情提示：如图3 3，景灯的影长等于线段，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时的影长；需要时可采用等式可采用等式 ) )与题（与题（1 1）类似）类似; ;可得可得GN=208=208解解 题题 思思 路路由勾股定理可得由勾股定理可得NH=260=260设设圆圆O的半径为的半径为rcm,所以，灯罩的半径是所以，灯罩的半径是1212cmcm 则则ON=r+8 挑战中考题挑战中考题3.3.（20102010宁波）宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)四面体44长方体8612正八面体812正十二面体20123066你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 ； (2)(2)一个多面体的面数比顶点数大一个多面体的面数比顶点数大8 8，且有，且有3030条棱，则这个多面体条棱，则这个多面体 的面数是的面数是 ；(3)(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形 和八边形两种多边形拼接而成，且有和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都个顶点，每个顶点处都有有3条棱条棱. .设该多面体外表面三角形的个数为设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个个，八边形的个数为数为y个，求个，求x+y的值的值. . 棱数为 条， (3)(3)这个多面体的面数为 ，解解: (2)设面数为设面数为x,则顶点数为则顶点数为x-8，依题意得：，依题意得： x +（x- -8）- -30=2，得，得x=20 挑战中考题4.（20102010江苏无锡）江苏无锡）如图如图1是一个三棱柱包装盒是一个三棱柱包装盒,它的底面它的底面 是边长为是边长为10cm的正三角形的正三角形,三个侧面都是矩形三个侧面都是矩形.现将宽为现将宽为15cm的彩色矩形纸带的彩色矩形纸带 AMCN 裁剪成一个平行四边形裁剪成一个平行四边形ABCD（如图（如图2）,然后用这条平行四边形纸带按然后用这条平行四边形纸带按 如图如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分）的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分）,纸带在侧面缠绕三圈纸带在侧面缠绕三圈,正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满 （1）请在图）请在图2中，计算裁剪的角度中，计算裁剪的角度BAD； （2）计算按图）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度图3图1图2解：（解：（1）由）由图图2的包的包贴贴方法知：方法知：AB的的长长等于三棱柱的底等于三棱柱的底边边周周长长， AB=30，纸带宽为纸带宽为15， sinDAB=sinABM=DAB=30图2（2 2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图， 将图甲中的ABE向左平移30cm，CDF向右平移30cm，拼成如图乙中的平行四边形NAMC，此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD. 在图乙中作CGAM于点于点G,由题意得，在RtNBC中，中，NC=所需矩形纸带的长为NC+MG= 图3G图甲图乙NM在在RtMCG中，中，