第四章第四章 根轨迹法根轨迹法内 容 提 要 根轨迹是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。介绍了如何利用MATLAB绘制系统的根轨迹。 1优选课讲知 识 要 点 传递函数的零极点表示，根轨迹的概念，根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规则，等效开环传递函数的概念，根轨迹定性分析系统性能指标随系统参数变化的趋势，确定系统闭环零极点及系统性能指标。 2优选课讲 线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法。 1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。 3优选课讲 绘制根轨迹曾经是枯燥繁琐的工作， MATLAB的出现使这项工作变得轻松愉快，如今在计算机上一分钟就能绘制一张精确的根轨迹图。 本章注意继承传统根轨迹法中的精华，也注意吸纳根轨迹法的最新进展。具体选材上，侧重根轨迹的相角条件和基本规则，主推MATLAB绘制根轨迹，突出如何有效地运用根轨迹法。 4优选课讲目目 录录v4.1 根轨迹的基本概念v4.2 绘制典型根轨迹v4.3 特殊根轨迹图v4.4 用MATLAB绘制根轨迹图v4.5 控制系统的根轨迹分析v小 结5优选课讲图4-1 反馈控制系统4.1 4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4.1.14.1.1 什么是根轨迹什么是根轨迹6优选课讲 考虑图4-1所示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：则该系统的闭环特征方程为： 当K从零到无穷大连续变化时，闭环极点S在平面（复平面）上画出的根轨迹如图4-2所示（如何绘制稍后讨论）。从根轨迹图可以看到：当0K0.385时有两个闭环极点成为共轭复数，只要0Km时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K的点，要K只有两种情况，一是s=zl(l=1,2,m)，二是s。这时，无穷远处也称为无穷远零点。 当nm时，终止于m个开环零点m支根轨迹，有 支来自个开环极点，有m-n支来自无穷远处。必需指出，实际系统极少有nm时，根轨迹一定有nm支趋向无穷远；当nm时，根轨迹一定有mn支来自无穷远。根据无穷远处s的特点可以证明：当nm时，根轨迹存在|nm|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为： 所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为 26优选课讲4 4）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对于其中任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。 图4-4 实轴上的根轨迹27优选课讲 这个规则用相角条件可以证明。考虑实轴上的某一试验点s0（见图4-4），任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2,p3）对应的相角（如2,3）之和均为3600，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验点s0的相角条件。再看实轴上的开环零、极点，对试验点s0 ，其左边实轴上任一开环零、极点对应的相角（如4,3）均为0，其右边实轴上任一开环零、极点对应的相角（如1,1,2）均为1800。所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。28优选课讲 根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点，该点的坐标j0和增益K0是很重要的，将s=j代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出0和K0 。用劳斯（Roth）判据也可以求得K0 。 5 5）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点 29优选课讲6 6）根轨迹的分离点）根轨迹的分离点 当从K零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离（如图7-5），这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。 显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。 当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点，对实际系统，依据规则1）到4）一般就能确定有无分离点。 30优选课讲 基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，分离点的座标，是下列代数方程的解： 必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。 31优选课讲7 7）根轨迹的出射角和入射角）根轨迹的出射角和入射角 根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴的夹角称为出射角，根轨迹进入某个开环零点的切线与实轴的夹角称为入射角，用相角条件不难证明，根轨迹从开环极点pi出发32优选课讲根轨迹进入某个开环零点Zl的入射角为： 根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤其是手工绘图，根据规则1）到4）就能很快地画出大致形状，再按5）求出临界增益K0，这样的根轨迹图就很有用了，我们称这样的根轨迹图为概略图，一般手工画根轨迹的习题（考题）就是指这种概略图。 33优选课讲 除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点决非易事；手工求出射角和入射角也不太好操作，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。 所以，手工画根轨迹最有用的规则是1）到5），如果想得到更精确的根轨迹图，用Matlab是最为合适不过了（参见4.4节）。 34优选课讲按7个基本规则绘制根轨迹图 首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点：p1=0,p2=-1,p3=-2，将它们标在复平面上（见图4-5），开环极点的位置用表示（开环零点的位置一般用小圆圈表示）。根据规则1）和2），根轨迹将有3支，分别开始于这三个开环极点，趋向无穷远。 4.2.3 4.2.3 绘图示例绘图示例35优选课讲 根据规则3），根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是： 所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为： 36优选课讲 根据规则4），实轴上的-1,0段是根轨迹的一部分，实轴上的(-,-2段也是根轨迹的一部分，实际上后者就是从开环极点p3出发趋向无穷远的一支，与渐近线的分析一致，这一支已经是精确图形了。 37优选课讲 根据规则5）可以确定根轨迹与虚轴的交点，我们先用劳斯判据， 根据特征方程系数列出劳斯阵列为： 使第一列中 项等于零，可以求得K=6。通过求解由 行得出的辅助方程 38优选课讲 可以求得根轨迹与虚轴的交点为 ，虚轴上交点处的频率为 。 另外一种确定根轨迹与虚轴交点的方法是令特征方程中的s=j得： 令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到=0,K=0或 。因此，根轨迹在 处与虚轴相交，并且交点处=0。实轴上的根轨迹K=6处也与虚轴相交 39优选课讲图4-5 绘制根轨迹图示例 40优选课讲 根轨迹从p1,p2,p3出发的出射角已经很明确，为了验证规则（7），我们还是计算一下： 与实际完全一致。 以上根据基本规则画出的根轨迹仍然是概略图，它在实轴上的根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确的，其它部分就不准确了。要做到根轨迹图准确，按传统方法要用试验点的办法进行细化，很繁琐也不可能有高的精度；按现代方法用Matlab可以快而准地绘出高精度根轨迹图，图4-1就是本例用Matlab6.5绘出的，如何绘制将在4.4节介绍。 41优选课讲 根轨迹在实轴上的-1，0段一定有一个分离点，根据规则（6） 整理得 解得=-0.423, =-1.577 ，显然只有-0.423在根轨迹上，所以分离点为-0.423。 显然，不管是手工作图还是Matlab自动绘图，基本规则总是具有指导意义的，但是在一些特定的情况中，仅依靠基本规则可能方案不唯一，而精确的根轨迹图只是其中某一个，下面举一个例子： 42优选课讲例7-1 考虑图4-1所示系统,其中 如果按基本规则，图6（a）和6（b）两种形状都有可能性，实际上用Matlab绘出是图6（a），当a增加时根轨迹的中间部分在变化，当a=12 Matlab绘出根轨迹如图6（b）。 43优选课讲(b) (a) 图4-6 两种根轨迹返回44优选课讲 本节将讨论两种特殊情况。一种是不以开环增益K为参量的根轨迹图，另一种是闭环系统为正反馈系统。 有时须要调整的不是开环增益K，而是其它参数，在这些情况下，我们总是将闭环特征方程进行变形，力图得到一个与典型根轨迹方程（4-7）形似的形式，如果能够做到，就可以套用典型根轨迹的方法来绘制根轨迹图了。4.3 特殊根轨迹图4.3.1 4.3.1 不以增益不以增益K为参量的根轨迹图为参量的根轨迹图45优选课讲 有时控制系统增加开环零点以改善动态性能，图4-7（a）所示系统就是一个例子，其中参数T到底选多大？可以借助根轨迹来确定。该系统的闭环特征方程为： （1）开环零点为参量的根轨迹 上式两边同除s(1+5s)+5就得到： 所以，等价为典型根轨迹方程后，相当于n=2 ,m=1,z1=0,p1,2=-0.1j0.95 。46优选课讲注意：这里的z1,p1,p2并不是图4-6（a）所示系统的开环零、极点，而是等价为典型根轨迹方程后，等价系统的开环零、极点，这是与典型根轨迹的主要区别。 这样，用基本规则就可绘出根轨迹如图4-7（b）所示。这个根轨迹图明确表示了图4-7（a） 系统中T对闭环节点的影响。 47优选课讲图4-7 开环零点为参量的根轨迹48优选课讲（2）开环极点为参量的根轨迹 有时控制系统需增加开环极点（如滤波器），图4-8（a）所示系统就是一个例子中参数T到底选多大？可以借助根轨迹来确定。该系统的闭环特征方程为：上式两边同除以s(s+1)+K，得到：上式中K的取固定常数，T作为参量，它就是典型根轨迹方程的形式，相当于n=2,m=3,n0）： 这时特征方程变成： 对应的相角条件变成： 4.3.2 4.3.2 正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹53优选课讲 这种情况主要发生在系统闭环为正反馈等特殊情况，比如有的多环控制系统将某个内环设计为正反馈。由于相角条件的改变，导致基本规则的3)、4)和7)必须修改为如下的3P)、4P)和7P)： 3P)渐近线与实轴的夹角为 4P)实轴上的某一段如果其右边实轴上的开环零、极点总数是偶数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。 54优选课讲7P)根轨迹的出射角和入射角公式中的1800均改为3600。 例4-1考虑图4-1所示系统, 设其中 用Matlab绘出根轨迹如图4-9，它印证了上述三点改动。55优选课讲图4-9 正反馈系统的根轨迹56优选课讲考虑含有延迟环节的系统： 其闭环特征方程为： 当K给定时它有无穷多个根，所以根轨迹有无穷多支。方程就是4.3.3 4.3.3 延迟环节的根轨迹延迟环节的根轨迹57优选课讲而 所以对应的相角条件为： 所以相角条件变成： 当K=0时相角条件为： 58优选课讲图4-10 延迟环节根轨迹的相角条件59优选课讲复平面上任一点如果满足条件就在根轨迹上，否则就不在根轨迹上。而条件是与纵坐标的大小有关的，比如=0对应实轴，实轴上满足(s+1)=180的点一定在根轨迹上，显然实轴上(,1段在根轨迹上；再看=1一条直线上的点,如果试验点s1满足 (s+1)=180-1 T 57.3 就在根轨迹上，否则就不在根轨迹上。这样可以作出k=0时的根轨迹如图4-10。 当k=1,2,时，相角条件是各不相同的，取T=1，根据各自的相角条件可以绘出k=1,2,时的根轨迹如图4-11。这样的根轨迹分支有无穷个。 60优选课讲 图4-11可以看出，当k=0时，临界增益K0=2，当k=1时，临界增益K0=8，当k=2时，临界增益K0 = 14，即k越大临界增益K0也越大。这是必然结果，因为临界增益对应根轨迹上s=j的点，从相角条件知道s=j时k越大越大，再从幅值条件： 知道越大K也越大。所以在分析稳定性时，只需看k=0的根轨迹图就行了。 61优选课讲图4-11 延迟环节的根轨迹图返回62优选课讲4.4 用MATLAB绘制根轨迹图 用Matlab绘制根轨迹图十分准确、快捷。现在用一个例子来说明用法。 例4-2 考虑图4-1所示系统,设其中用Matlab绘制根轨迹只要知道开环传递函数分子分母的系数，并分别填入分子向量num和分母向量den中，然后调用绘制根轨迹的专用函数rlocus就行了。63优选课讲num= 1 2 4;rlocus(num,den) den=1 11.6 39 43.6 24 0; 在Matlab6.5的命令窗（Command Window）中执行这个程序，运行后就自动绘出根轨迹如图4-12，从根轨迹图可以看出：当0K14或64K0时，图（a），（b）代表的系统始终是稳定的，但图（b）代表的系统可以选择到一对比图（a）离虚轴更远的闭环极点，这说明增加合适的位于虚轴左侧的开环零点，既可以增加稳定裕度又可以提高快速性。 图（c）增加的是位于虚轴右侧的零点，显然，这时系统只有在K0.67时才是稳定的, 这说明增加位于虚轴右侧的开环零点，一般使稳定性下降。如果系统具有位于虚轴右侧的零点（不管是固有的还是加入的），就称之为非最小相角系统，从本例可以看出：非最小相角系统的动态性能需要认真对付。 76优选课讲 图（d）增加的是位于虚轴左侧的极点，显然，这时系统只有在K60时才是稳定的, 与图（a）相比说明：给开环系统增加位于虚轴左侧的极点，一般也会使稳定性下降。 图（e）是在图（d）基础上再增加一个位于虚轴左侧的零点，闭环系统的稳定性又大大提高了。 图（f）是在图（a）基础上增加位于虚轴右侧的极点，这时从该极点出发的一支根轨迹全部位于虚轴的右边，这意味着不管K取何值，闭环系统都不可能稳定，所以增加位于虚轴右侧的极点是不可取的。但是如果再增加一个合适的位于虚轴左侧的零点，该系统会变成条件稳定，读者自行完成。 77优选课讲 在设计控制系统时，为了使系统阶次降低或者为了抵消大的惯性环节，有时用控制器的零（极）点去抵消被控对象的极（零）点，这在大多数情况下是有利的，但也有例外。 图4-14（a）是下列三阶系统的根轨迹： 4.5.3 4.5.3 零、极点相消问题零、极点相消问题78优选课讲附加一个零点z1=-1去低消系统的一个稳定p1=-1极点，这样系统的传递函数变成： 其根轨迹图4-14（b），可见系统的稳定性大大提高了。现在考虑建模误差的影响，如果开环传递函数参数不准确，假设实际系统p1=-0.8或p1=-1.2，我们却按p1=-1建模，这样零极点不能正好抵消，根轨迹变成图4-14（c）（d）。79优选课讲如果用一个零点z1=1去低消系统的不稳定极点p1=1，这样系统的开环传递函数变成： 根轨迹图清楚地表示：尽管存在建模误差，附加零点仍然提高了系统的稳定性。但是，情况不都是这么乐观，考察下列三阶系统：80优选课讲其根轨迹图4-14（e），可见零、极点正好相消，系统的稳定性大大提高了。考虑建模误差的影响，假设实际系统p1=0.8，不宜用零、极点相消的办法去低消系统的不稳定极点或零点(a) (b) 图4-14 零、极点相消问题81优选课讲(c) (d) (f) (e) 82优选课讲 系统的动态性能最终体现在时间响应，影响时间响应的因素有两个：闭环传递函数和输入函数。在第三章中已经分析：时间响应的暂态分量主要取决于闭环零、极点，时间响应的稳态分量主要取决于输入函数。4.5.4 4.5.4 闭环零极点与时间响应闭环零极点与时间响应 如前所说，闭环系统的稳定性完全取决于闭环极点，实际上时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极点。每一个闭环极点si对应时间响应中的一个因子exp(sit)称为系统的一个模态（Mode），si在S平面上的位置决定了它对应的暂态分量的运动形式。 83优选课讲 图4-15表示了si分布于S平面上不同位置所对应的暂态分量，其规律可以总结为： 1)左右分布决定终值。具体讲就是： si位于虚轴左边时暂态分量最终衰减到零，si 位于虚轴右边时暂态分量一定发散， si正好位于虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。 2)虚实分布决定振型。具体讲就是：si位于实轴上时暂态分量为非周期运动，si位于虚轴上时暂态分量为周期运动。 3)远近分布决定快慢。具体讲就是：si位于虚轴左边时离虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点主宰系统响应的时间最长，被称为主导极点。 84优选课讲图4-15 闭环极点分布与暂态分量的运动形式j闭环极点位置的共轭85优选课讲 设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规律，一般首先配置主导极点，然后配置非主导极点，非主导极点与虚轴的距离应当是主导极点与虚轴距离的25倍，这样系统的时间响应就主要取决于一对主导极点。 主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于如图4-5虚轴左边60o扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于： 1）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态性能与一个二阶欠阻尼系统相似，二阶系统的动态性能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应速度。 86优选课讲 3）离虚轴一定的距离保证了足够的稳定裕度。稳定裕度太小，在实际应用时可能系统不稳定，因为数学模型的参数不会绝对准确也就是说实际的主导极点位置与理论分析的位置有偏差。但也不是越远越好，因为系统总存在建模误差，离虚轴很远的极点对应很小的时间常数，如果主导极点与建模时忽略的小时间常数相当，那么主导极点就不主导，设计的根基就动摇了。 2）阻尼系数太大太小都不合适，60o扇形区意味着阻尼系数不小于cos60=0.5，一般认为最佳阻尼系数是0.707。 87优选课讲 这里提出了一个重要的设计理念：鲁棒性设计。理论分析与工程实际总是有差距的，不注意这种差距，有时会闹出笑话。一个控制系统的设计，需要充分考虑工程实际中的非理想因素，比如：建模误差、参数不准、外部干扰等。 建立系统数学模型时，总要忽略一些非线性、小时间常数等因素，这叫建模误差；建立数学模型时，对实际系统参数的测量或估计不可能百分之百的准确，而且运行中系统参数也会变化，这说明参数不准是普遍存在的；来自外部环境的干扰更是五花八门、难以统计，未建模的干扰会使运动偏离理论轨迹。所以，要使理论上设计的系统能够真正用于实际，必须保证在上述非理想因素下设计目标仍然能达到或基本达到，这样的控制系统称为具有鲁棒性的系统。 88优选课讲 现在再来看系统的闭环零点，应该说闭环零点对系统的稳定性没有影响，对系统的时间响应没有实质影响，但对时间响应的具体形状是有影响的。考虑下面三个闭环传递函数： 89优选课讲 它们有完全相同的闭环极点，但闭环零点不同，它们的阶跃响应分别如图4-16（a），（b），（c）。图（a）（b）都是最小相角系统，但图（b）代表的系统多了一个左半平面的零点，它加快了响应速度（有利），也加大了超调量（不利）；图（c）代表的是一个非最小相角系统，右半平面零点导致了特殊的反调节现象，这对系统的动态性能是不利的，水轮机调速系统就存在这种现象。 90优选课讲（a） （b） （c） 图4-16 闭环零点对时间响应的影响 返回91优选课讲 根轨迹是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹。绘制根轨迹可以总结为三句话：依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。读者应重点掌握如何用基本规则1)5)绘制概略图和用Matlab软件绘制精确图。借助于Matlab，控制系统的根轨迹分析变得更加灵活、透彻、高效。 小 结92优选课讲 对于特殊根轨迹，可以将闭环特征方程进行变形，得到一个与典型根轨迹方程相似的形式，然后套用典型根轨迹的方法来绘图。含有延迟环节的系统，根轨迹有无穷多组，最重要的是坐标原点附近的一组。 根轨迹图揭示了稳定性、阻尼系数、振型等动态性能与系统参数的关系，用根轨迹图设计控制系统的关键是配置合适的闭环主导极点。要使理论设计符合工程实际，必须注意控制系统的鲁棒性。 返回93优选课讲