上页下页铃结束返回首页第三章第三章 向量空间初步向量空间初步3.1 向量向量组的的线性相关性性相关性3.2 向量向量组的秩和最大无关的秩和最大无关组3.3 向量空向量空间 3.4 欧氏空欧氏空间 上页下页铃结束返回首页一、一、n 维向量及其线性运算维向量及其线性运算二、向量组的线性组合二、向量组的线性组合 三、向量组的线性相关性三、向量组的线性相关性 3.1 向量向量组的的线性相关性性相关性上页下页铃结束返回首页一、一、n 维向量及其向量及其线性运算性运算v n 维向量空向量空间 Rn Rn 中任一元素称中任一元素称为一个一个 n 维向量向量. 称称 ai 为向量向量 a = (a1,an) 的第的第 i 个坐个坐标分量分量. 以以 ai (i = 1, n)为第第 i 个坐个坐标的向量可写成列形式的向量可写成列形式 坐坐标全全为零的向量称零的向量称为零向量零向量, 记为 0. 坐坐标完全一完全一样的两向量的两向量 a, b 称称为相等向量相等向量, 记为 a=b.上页下页铃结束返回首页v 向量的加法运算向量的加法运算 设向量向量 a = (a1, an), b = (b1, bn), 定定义称称 a + b 为为 a 与与 b 的和的和.v 向量的数乘运算向量的数乘运算 规定定 称称 ka 为数数 k 与向量与向量 a 的乘的乘积. 称称 (-1)a 为向量向量 a 的的负向量向量, 记为 -a. 设向量向量 a = (a1, an), k为实数数, 定定义 向量的加法与数乘两种运算向量的加法与数乘两种运算统称称为向量的向量的线性运算性运算.上页下页铃结束返回首页例例2 设 x1, xn-r 为方程方程组 Ax = 0 的一个基的一个基础解解系系, 二、向量二、向量组的的线性性组合合 对对 Ax = 0 的任一解向量的任一解向量 x, 若干同若干同维向量的集合向量的集合, 称向量称向量组. 向量向量组的一部分称部分的一部分称部分组.例例1 设设 称称为为 n 维单位坐标向量组维单位坐标向量组. 任一向量任一向量可唯一地表示为可唯一地表示为 那那么么存在一存在一组数数 k1, kn-r , 使使上页下页铃结束返回首页v 线性性组合合 给定向量定向量组 a1,am,对任一数任一数组 k1,km, 称向量称向量为向量向量组 a1,am 的一个的一个线性性组合合,称称 k1,km 为这个个线性性组合的合的表示表示系数系数. 并称并称 b 可由可由 a1,am 线性表示性表示.例例3 设矩矩阵 A = (a1, am), 线性方程性方程组 Ax = b 有一有一组解解 xi = ki (i =1, m),也即也即 线性方程性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是: 向量向量 b 可由矩可由矩阵 A 的列向量的列向量组线性表示性表示. 约定定: 非特非特别交待交待时, 向量都采用列形式向量都采用列形式.上页下页铃结束返回首页例例4 判断向量判断向量 与与 是否为是否为 向量组向量组 的线性组合的线性组合. 若是若是,写出表示式写出表示式.解解 同同时解方程解方程组 和和 的解的解为因而因而 无解无解, 因而因而 b2 不可由不可由 a1, a2 线性表示性表示.上页下页铃结束返回首页三、向量三、向量组的的线性相关性性相关性 线性方程组线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是: 向量向量 b 可由矩阵可由矩阵 A 的列向量组线性表示的列向量组线性表示. 若若线性方程性方程组 Ax = b 有无有无穷多解多解, 则向量向量 b 可用可用矩矩阵 A 的列向量的列向量组的无的无穷多个多个线性性组合来合来线性表示性表示. 设向量向量 b 有两个有两个线性表示式性表示式和和则有有 b 的两个表示式不同的两个表示式不同, 也即存在一也即存在一组不全不全为零的数零的数 使成立使成立上页下页铃结束返回首页v 线性相关性性相关性 设有向量组设有向量组 如果存在一如果存在一组不全不全为零的数零的数 使使那么称那么称线性相关线性相关. 否则否则, 称称线性无关线性无关. v 基本性基本性质 (1) 若向量若向量 b 可由向量可由向量组 a1, am 线性表示性表示, 当当 a1, am 线性相关性相关时, 表示式不唯一表示式不唯一; 当当 a1, am 线性无关性无关时, 表示式唯一表示式唯一. (2) 若部分若部分组线性相关性相关, 则整个向量整个向量组也也线性相关性相关.(3) 若向量若向量组线性无关性无关, 则任一部分任一部分组也也线性无关性无关.则向量向量组b, a1, am 线性相关性相关.上页下页铃结束返回首页 a1,am 线性无关性无关, 也即向量方程也即向量方程只有零解只有零解.v 线性相关性线性相关性 设有向量组设有向量组 使使v 定理定理1 设矩矩阵 的充分必要条件是的充分必要条件是 R(A) = m. 提示提示: m 元元齐次次线性方程性方程组 Ax = 0 只有零解的充分必只有零解的充分必要条件是要条件是 R(A) = m.如果存在一组不全为零的数如果存在一组不全为零的数 那么称那么称线性相关线性相关. 否则否则, 称称线性无关线性无关. 则向量组则向量组线性无关线性无关 上页下页铃结束返回首页 方方阵 A 的列向量的列向量组线性相关的充要条件性相关的充要条件为 | A| = 0. a1,am 线性无关性无关, 也即向量方程也即向量方程只有零解只有零解.v 线性相关性线性相关性 设有向量组设有向量组 使使v 定理定理1 设矩阵设矩阵 的充分必要条件是的充分必要条件是 R(A) = m. 齐次次线性方程性方程组的基的基础解系解系线性无关性无关. 如果存在一组不全为零的数如果存在一组不全为零的数 那么称那么称线性相关线性相关. 否则否则, 称称线性无关线性无关. 则向量组则向量组线性无关线性无关 上页下页铃结束返回首页解解1 例例5 讨论向量向量组 的的线性相关性性相关性.设方方阵化化 A 为行行阶梯形梯形:当当 a -1, 4 时时, R(A) = 3,线性无关性无关;当当 a = -1 或或 a = 4 时时, R(A) = 2,线性相关性相关.上页下页铃结束返回首页解解2 设方阵设方阵当当 a -1, 4 时时, | A| 0,线性无关线性无关;当当 a = -1 或或 a = 4 时时, | A| = 0,线性相关线性相关.那么那么例例5 讨论向量组讨论向量组 的线性相关性的线性相关性.上页下页铃结束返回首页证证1 将将 b1, b2, b3 的表示式代入的表示式代入, 并整理得并整理得因因 a1, a2, a3 线性无关性无关, 故有故有由于系数行列式由于系数行列式因而因而(2)(从而从而(1)只有零解只有零解, 线性无关线性无关. 所以所以(2)(1)设存在一存在一组数数 x1, x2, x3, 使使例例6设向量组设向量组 a1, a2, a3 线性无关线性无关, 试证向量组试证向量组 b1, b2, b3 也线性无关也线性无关. 上页下页铃结束返回首页证证2 线性无关线性无关. 即即把已知条件合写成把已知条件合写成记作作 B = AK, 因因 |K| = -1, 知知 K 可逆可逆, 于是于是 R(B) = R(A). 因因 A 的列向量的列向量组线性无关性无关, 知知 R(A) = 3. 所以所以 R(B) = 3. 于是于是 B 的的3个列向量个列向量线性无关性无关, 设向量组设向量组 a1, a2, a3 线性无关线性无关, 例例6试证向量组试证向量组 b1, b2, b3 也线性无关也线性无关. 上页下页铃结束返回首页则向量向量 b 可由可由 a1,ar 线性表示性表示. 设向量向量组 a1,ar 线性无关性无关, v 定理定理2证明明 故存在一故存在一组不全不全为0的数的数 使使假假设 k = 0, 那么那么 k1, kr 不全不全为0, 且有且有这与与 a1,ar 线性无关矛盾性无关矛盾.因而因而 k 0, 于是于是假假设 a1,ar,b 线性相关性相关, 因因 a1,ar,b 线性相关性相关, 上页下页铃结束返回首页例例7 设向量向量组 a1, a2, a3 线性相关性相关, 向量向量组 a2, a3, a4 线性性无关无关, 证明明 (1) a1 能由能由 a2, a3 线性表示性表示;(2) a4 不能由不能由 a1, a2, a3 线性表示性表示.证明明 (1) 因因为 a2, a3, a4 线性无关性无关, 所以所以 a2, a3 线性无关性无关,而而 a1, a2, a3 线性相关性相关, 因而因而 a1 能由能由 a2, a3 线性表示性表示.(2) 用反用反证法法. 假假设 a4 能由能由 a1, a2, a3 线性表示性表示, a1 能由能由 a2, a3 线性表示性表示, 从而从而 a4 能由能由 a2, a3 线性表示性表示,所以所以 a2, a3, a4 线性相关性相关,这与与 a2, a3, a4 线性无关矛盾性无关矛盾. 由由(1) 知知v 定理定理2则向量向量 b 可由可由 a1,ar 线性表示性表示. 设向量向量组 a1,ar 线性无关性无关, 假假设 a1,ar,b 线性相关性相关, 上页下页铃结束返回首页v 定理定理2v 定理定理2* 设向量向量组 a1, , ar 线性无关性无关, 若向量若向量 b 不可由向量不可由向量则向量向量 b 可由可由 a1,ar 线性表示性表示. 设向量向量组 a1,ar 线性无关性无关, 假假设 a1,ar,b 线性相关性相关, 组 a1, , ar 线性表示性表示, 那么那么 a1, , ar, b 线性无关性无关. 上页下页铃结束返回首页作作 业 习题3.1: 1. 2. 3. 6.