2.2.1等差数列的概念目标导航预习引导目标导航预习引导1.等差数列的概念一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.预习预习交流交流1若把等差数列概念中的“同一个”三字去掉,这个数列还是等差数列吗?提示:不是,没有“同一个常数”,该数列就不是“等差”数列了.例如数列1,1,2,4,7,10,13.第2项与第1项差为0,第3项与第2项差为1,所以不是等差数列.目标导航预习引导2.等差数列的性质(1)等差数列中相邻三项间的关系为_.目标导航预习引导预习预习交流交流2在等差数列中,项的大小变化规律与公差有何关系?提示:当d0时,数列中的项随项数的增大而增大.当d=0时,数列中的各项都相同.当d0时,数列中的项随项数的增大而减小.预习预习交流交流3(1)等差数列-5,-4,-3,-2,-1的公差d=.(2)常数列c的公差d为.(3)数列2,5,a,b成等差数列,则a=,b=.提示:(1)1(2)0(3)811一二三一、等差数列的定义及应用活动与探究例1判断下列数列是否为等差数列.(1)an=3n+2;(2)an=n2+n.思路分析:利用等差数列定义,看an+1-an是否为常数即可.解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3.由n的任意性知,这个数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.一二三迁移与应用1.以下选项中能构成等差数列的是.2,2,2,2cos 0,cos 1,cos 2,cos 33m,3m+a,3m+2a,3m+3aa-1,a+1,a+3答案:解析:是公差为0的等差数列;是公差为a的等差数列;是公差为2的等差数列,故选.一二三一二三名师点津名师点津判断一个数列是否为等差数列,其关键在于分析所给数列是否满足以下两条:(1)是否是从第2项起;(2)是否每一项减去它的前一项为同一常数.一二三二、等差中项问题活动与探究例2已知数列xn的首项x1=3,通项xn=2np+nq(p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求p,q的值.思路分析:由x1,x4,x5成等差数列得出一个关于p,q的等式,结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.解:由x1=3,得2p+q=3,又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3+25p+5q=25p+8q,由得q=1,p=1.一二三一二三一二三名师点津名师点津利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般地,有如下规律:当等差数列an的项数n为奇数时,可设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,;当项数为偶数时,可设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:,a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样可减少计算量.特别地,当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,可设出首项a1和公差d列方程组求解,也可采用对称的设法,三个数时,设a-d,a,a+d;四个数时,设a-3d,a-d,a+d,a+3d,利用和为定值,先求出其中某个未知项.一二三三、等差数列的判定与证明活动与探究例3已知数列an的通项公式为an=pn2+qn(常数p,qR).(1)当p和q满足什么条件时,数列an是等差数列?(2)求证:对任意的实数p和q,数列an+1-an都是等差数列.思路分析:(1)由等差数列的定义可知,an是等差数列an+1-an是一个与n无关的常数.(2)即证明(an+2-an+1)-(an+1-an)是一个与n无关的常数.一二三(1)解:设数列an是等差数列,由题意,得an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q,上式应是一个与n无关的常数,有2p=0,即p=0.当p=0时,数列an是等差数列.(2)证明:an+1-an=2pn+p+q,an+2-an+1=2p(n+1)+p+q.(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p(n+1)+p+q-(2pn+p+q)=2p(常数).对任意的实数p和q,数列an+1-an都是等差数列.一二三迁移与应用1.数列an是等差数列,且an=an2+n,则实数a=.答案:0解析:an是等差数列,an+1-an=常数.a(n+1)2+(n+1)-(an2+n)=2an+a+1=常数,2a=0.a=0.一二三一二三名师点津名师点津判断一个数列是否为等差数列常有以下方法:(1)定义法:由等差数列的定义,若对nN*,都有an+1-an=d(常数),则数列an为等差数列.常用于已知或可求出通项公式的情形;(2)通项公式法:只要给出形如an=pn+q的关系(p,q为常数),可直接判断数列an为等差数列;(3)等差中项法,若数列对nN*,都有2an+1=an+an+2,则an为等差数列,常用于未知或不能求出通项公式的情形.234516234516234516答案:0解析:设等差中项为x,2345164.在等差数列an中,a2=9,a3=7,则公差d=.答案:-2解析:d=a3-a2=7-9=-2.2345165.已知数列an的通项公式是an=7n+2,求证:数列lg an是等差数列.证明:设bn=lg an,则bn+1-bn=lg an+1-lg an=(n+3)lg 7-(n+2)lg 7=lg 7=常数.所以数列bn是等差数列,即数列lg an是等差数列.2341656.若数列an的通项公式为an=10+lg 2n(nN*),求证:数列an为等差数列.证明:因为an=10+lg 2n=10+nlg 2,所以an+1=10+(n+1)lg 2.所以an+1-an=10+(n+1)lg 2-(10+nlg 2)=lg 2(nN*).所以数列an为等差数列.