第十章第十章第十章第十章 应力状态应力状态应力状态应力状态分析分析分析分析 应力状态的概念应力状态的概念 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法 7- 1 7- 1 应力状态的概念应力状态的概念E杆件在基本变形时横截面上应力的杆件在基本变形时横截面上应力的 分布规律分布规律 一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出轴向拉压：轴向拉压：轴向拉压：轴向拉压：圆轴扭转：圆轴扭转：圆轴扭转：圆轴扭转： 平面弯曲：平面弯曲：E 危险点处于单向应力状态或处于纯剪应危险点处于单向应力状态或处于纯剪应 力状态，相应强度条件为：力状态，相应强度条件为：E 实际问题：杆件的危险点处于更复杂的实际问题：杆件的危险点处于更复杂的 受力状态受力状态 薄壁圆筒承受内压薄壁圆筒承受内压薄壁圆筒承受内压薄壁圆筒承受内压 脆性材料受压脆性材料受压 和受扭破坏和受扭破坏 钢筋混凝土梁钢筋混凝土梁E 破坏现象破坏现象 二、一点的应力状态二、一点的应力状态 在受力构件内，在通过在受力构件内，在通过在受力构件内，在通过在受力构件内，在通过同一点各个不同方位的同一点各个不同方位的同一点各个不同方位的同一点各个不同方位的截面上，应力的大小和截面上，应力的大小和截面上，应力的大小和截面上，应力的大小和方向是随截面的方位不方向是随截面的方位不方向是随截面的方位不方向是随截面的方位不同而按照一定的规律变同而按照一定的规律变同而按照一定的规律变同而按照一定的规律变化化化化 通过构件内某一点的各通过构件内某一点的各通过构件内某一点的各通过构件内某一点的各个不同方位的截面上的个不同方位的截面上的个不同方位的截面上的个不同方位的截面上的应力及其相互关系，称应力及其相互关系，称应力及其相互关系，称应力及其相互关系，称为为为为点的应力状态点的应力状态点的应力状态点的应力状态 三、研究方法：取单元体三、研究方法：取单元体*单元体：微小的正六面体单元体：微小的正六面体单元体：微小的正六面体单元体：微小的正六面体*原始单元体：单元体各侧面上应力均已知原始单元体：单元体各侧面上应力均已知原始单元体：单元体各侧面上应力均已知原始单元体：单元体各侧面上应力均已知*纯剪单元体：单元体各侧面上只有剪应力纯剪单元体：单元体各侧面上只有剪应力纯剪单元体：单元体各侧面上只有剪应力纯剪单元体：单元体各侧面上只有剪应力，没有正应力。没有正应力。没有正应力。没有正应力。*主单元体：单元主单元体：单元主单元体：单元主单元体：单元 体各侧面上只有正应力体各侧面上只有正应力体各侧面上只有正应力体各侧面上只有正应力，没有剪应力。没有剪应力。没有剪应力。没有剪应力。四、主平面四、主平面 主应力主应力 主方向主方向*主平面：单元体中剪应力等于零的平面主平面：单元体中剪应力等于零的平面主平面：单元体中剪应力等于零的平面主平面：单元体中剪应力等于零的平面*主应力：主平面上的正应力主应力：主平面上的正应力主应力：主平面上的正应力主应力：主平面上的正应力*主方向：主平面的法线方向主方向：主平面的法线方向主方向：主平面的法线方向主方向：主平面的法线方向五、应力状态的分类五、应力状态的分类* 单向应力状态：单向应力状态：三对主应力中，只有一对主应力三对主应力中，只有一对主应力不等于零的情况。不等于零的情况。* 二向应力状态：二向应力状态：三对主应力中有两对主应力不等三对主应力中有两对主应力不等于零的情况。于零的情况。* 三向应力状态：三向应力状态：三对主应力皆不等于零的情况三对主应力皆不等于零的情况。 7-2 7-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法* 已知：单元体已知：单元体 x， y，t txy= =t tyx， a a 研究与研究与z轴平行的任一斜截面轴平行的任一斜截面c e上的应力。上的应力。* 符号规则：符号规则： q q 角：从角：从x轴正方向反时针转至斜截面的轴正方向反时针转至斜截面的 外法线方向为正，反之为负。外法线方向为正，反之为负。 正应力：拉为正，压为负。正应力：拉为正，压为负。 剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方 向转动趋势者为正，反之为负。向转动趋势者为正，反之为负。一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力SN=0 sa dA+(t xy dAcosa)sina-(sx dAcosa)cosa +(t yx dAsina)cosa-(sy dAsina)sina=0 ST=0 ta dA-(txy dAcosa)cosa-(sx dAcosa)sina +(tyx dAsina)sina+(sy dAsina)cosa=0讨论讨论结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相 等，它们的方向是共同指向或背离这个等，它们的方向是共同指向或背离这个等，它们的方向是共同指向或背离这个等，它们的方向是共同指向或背离这个 平面的交线（剪应力互等定理）平面的交线（剪应力互等定理）平面的交线（剪应力互等定理）平面的交线（剪应力互等定理）1 1 、b=90b=90b=90b=90o o o o + a+ a+ a+ a结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数22、比较、比较、比较、比较t tt ta aa a 、t tt tb bb b : : t tt ta aa a = = - - -t tt tb bb b 二、主应力二、主应力二、主应力二、主应力三、最大和最小剪应力三、最大和最小剪应力三、最大和最小剪应力三、最大和最小剪应力（1）求主应力）求主应力(a)例例例例7-17-1 试求中所示单元体的主应力和最大剪应力。试求中所示单元体的主应力和最大剪应力。（2）求最大剪应力）求最大剪应力确定主平面的位置确定主平面的位置(a)在第三象限在第三象限最大主应力位置最大主应力位置3 3、 纯剪切应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态此现象称为纯剪切此现象称为纯剪切7-3 7-3 空间应力状态空间应力状态1、空间应力状态的概念、空间应力状态的概念三个主应力均不为零三个主应力均不为零2、最大正应力和最大剪应力、最大正应力和最大剪应力3、广义虎克定律、广义虎克定律沿主应力沿主应力 1的方向的总应变为：的方向的总应变为：7-4 7-4 材料的破坏形式材料的破坏形式1、 材料破坏的基本形式材料破坏的基本形式脆性断裂和塑性屈服脆性断裂和塑性屈服脆性断裂和塑性屈服脆性断裂和塑性屈服低碳钢低碳钢铸铁铸铁轴向拉伸轴向拉伸轴向压缩轴向压缩扭转扭转2、材料破坏的主要因素、材料破坏的主要因素低碳钢低碳钢低碳钢低碳钢拉伸时拉伸时45截面上具有最大剪应力截面上具有最大剪应力扭转时横截面周线上具有最大剪应力扭转时横截面周线上具有最大剪应力# # 滑移线说明是剪切破坏滑移线说明是剪切破坏滑移线说明是剪切破坏滑移线说明是剪切破坏# # 斜截面剪应力：斜截面剪应力：斜截面剪应力：斜截面剪应力：# # 扭转时圆周上具有最大剪应力：扭转时圆周上具有最大剪应力：扭转时圆周上具有最大剪应力：扭转时圆周上具有最大剪应力：结论：低碳钢属于剪切破坏结论：低碳钢属于剪切破坏结论：低碳钢属于剪切破坏结论：低碳钢属于剪切破坏 铸铁铸铁铸铁铸铁拉伸时横截面上具有最大正应力拉伸时横截面上具有最大正应力扭转时扭转时45截面上具有最大正应力截面上具有最大正应力# # 轴向拉伸横截面上任意一点处于单向应轴向拉伸横截面上任意一点处于单向应轴向拉伸横截面上任意一点处于单向应轴向拉伸横截面上任意一点处于单向应力状态，横截面上正应立即为最大主应力力状态，横截面上正应立即为最大主应力力状态，横截面上正应立即为最大主应力力状态，横截面上正应立即为最大主应力# # 扭转时圆柱面上任意扭转时圆柱面上任意扭转时圆柱面上任意扭转时圆柱面上任意一点处于纯剪切状态，一点处于纯剪切状态，一点处于纯剪切状态，一点处于纯剪切状态，主应力与横截面成主应力与横截面成主应力与横截面成主应力与横截面成4545 结论：铸铁属于拉伸破坏结论：铸铁属于拉伸破坏结论：铸铁属于拉伸破坏结论：铸铁属于拉伸破坏7-5 7-5 强度理论强度理论1、强度理论的概念、强度理论的概念对于单向应力状态，比如轴向拉压，对于单向应力状态，比如轴向拉压，其强度条件为：其强度条件为：对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各个方向的应力的共同作用个方向的应力的共同作用个方向的应力的共同作用个方向的应力的共同作用材料破坏的主要因素与应力状态之间存在何种关系？材料破坏的主要因素与应力状态之间存在何种关系？长期生产实践中，人们提出某些假说，称为强度理论，长期生产实践中，人们提出某些假说，称为强度理论，常用的有常用的有4种种2、常用的强度理论的概念、常用的强度理论的概念（1 1）最大拉应力理论（）最大拉应力理论（）最大拉应力理论（）最大拉应力理论（第一强度理论第一强度理论第一强度理论第一强度理论）破坏原因：破坏原因：破坏原因：破坏原因：破坏条件：破坏条件：破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：强度条件：强度条件：最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素，最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，第一主应即认为无论是单向或复杂应力状态，第一主应力是主要破坏因素。力是主要破坏因素。脆性材料的破坏形式是断裂脆性材料的破坏形式是断裂没有考虑第没有考虑第2、3主应主应力的影响力的影响（2 2）最大伸长线应变理论（）最大伸长线应变理论（）最大伸长线应变理论（）最大伸长线应变理论（第二强度理论第二强度理论第二强度理论第二强度理论）破坏原因：破坏原因：破坏原因：破坏原因：破坏条件：破坏条件：破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：强度条件：强度条件：最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因素素,即认为无论是单向或复杂应力状态即认为无论是单向或复杂应力状态, 是主是主要破坏因素要破坏因素.脆性材料的破坏形式是断裂脆性材料的破坏形式是断裂考虑第考虑第2、3主应主应力的影响力的影响（3 3）最大剪应力理论（）最大剪应力理论（）最大剪应力理论（）最大剪应力理论（第三强度理论第三强度理论第三强度理论第三强度理论）破坏原因：破坏原因：破坏原因：破坏原因：破坏条件：破坏条件：破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：强度条件：强度条件：最大剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素，最大剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素，最大剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素，最大剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，即认为无论是单向或复杂应力状态，即认为无论是单向或复杂应力状态，即认为无论是单向或复杂应力状态， 是主是主是主是主要破坏因素要破坏因素要破坏因素要破坏因素根据应力状态分析根据应力状态分析根据应力状态分析根据应力状态分析低碳钢拉伸斜截低碳钢拉伸斜截低碳钢拉伸斜截低碳钢拉伸斜截面最大剪应力面最大剪应力面最大剪应力面最大剪应力计入安全系数计入安全系数计入安全系数计入安全系数（4 4）形状改变比能理论（）形状改变比能理论（）形状改变比能理论（）形状改变比能理论（第四强度理论第四强度理论第四强度理论第四强度理论）破坏原因：破坏原因：破坏原因：破坏原因：破坏条件：破坏条件：破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：强度条件：强度条件：形状改变比能形状改变比能形状改变比能形状改变比能 是引起材料屈服破坏的主要因是引起材料屈服破坏的主要因是引起材料屈服破坏的主要因是引起材料屈服破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，素，即认为无论是单向或复杂应力状态，素，即认为无论是单向或复杂应力状态，素，即认为无论是单向或复杂应力状态， 是是是是主要破坏因素主要破坏因素主要破坏因素主要破坏因素轴向拉伸轴向拉伸轴向拉伸轴向拉伸综合四个强度理论综合四个强度理论相当应力相当应力相当应力相当应力一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下塑性材料宜采用第三、第四强度理论塑性材料宜采用第三、第四强度理论脆性材料宜采用第一、第二强度理论脆性材料宜采用第一、第二强度理论 但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三向拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破坏，向拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破坏，宜采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等宜采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等状态下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强状态下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强度理论。度理论。复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式式中：式中：n-构件的工作安全系数；构件的工作安全系数； n-构件的许用安全系数；构件的许用安全系数； 0- 材料的材料的极限应力；极限应力； eq-相当应力；相当应力；（1）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。（2）通过应力分析确定危险截面上的危险点。）通过应力分析确定危险截面上的危险点。（3）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。（4）选用适当的强度理论计算相当应力）选用适当的强度理论计算相当应力 eq。（5）确定材料的许用拉应力）确定材料的许用拉应力 ，将其与，将其与 eq比较。比较。3、应用强度理论的解题步骤、应用强度理论的解题步骤4、强度理论的应用举例、强度理论的应用举例薄壁容器的强度计算薄壁容器的强度计算由横向截面上的静力平衡条件由横向截面上的静力平衡条件由纵向截面上的静力平衡条件由纵向截面上的静力平衡条件因薄壁圆筒常用塑性材料制成，所以宜采因薄壁圆筒常用塑性材料制成，所以宜采用第三或第四强度理论用第三或第四强度理论 例例例例7-37-3已已知知一一容容器器内内压压 p = 4MPa,平平均均直直径径D =1500mm，壁壁厚厚 = 30mm、 = 120MPa，试校核筒壁的强度。试校核筒壁的强度。因这是一个薄壁圆筒，因这是一个薄壁圆筒，因这是一个薄壁圆筒，因这是一个薄壁圆筒，且是塑性材料，故可采且是塑性材料，故可采且是塑性材料，故可采且是塑性材料，故可采用最大剪应力理论用最大剪应力理论用最大剪应力理论用最大剪应力理论。筒壁的强度满足条件筒壁的强度满足条件筒壁的强度满足条件筒壁的强度满足条件先计算先计算先计算先计算 oxy oxy 平面内的主应力，然后平面内的主应力，然后平面内的主应力，然后平面内的主应力，然后计算工作安全系数计算工作安全系数计算工作安全系数计算工作安全系数例例例例7-47-4 从某构件的危险点处取出一单元体如图从某构件的危险点处取出一单元体如图7-8a 所示，已所示，已知钢材的屈服点知钢材的屈服点 s = 280MPa.试按最大剪应力理论和形状改变试按最大剪应力理论和形状改变比能理论计算构件的工作安全系数。比能理论计算构件的工作安全系数。（1 1）求主应力）求主应力）求主应力）求主应力（2 2）计算工作安全系数）计算工作安全系数）计算工作安全系数）计算工作安全系数 通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的比能理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的比能理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的比能理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的截面尺寸也要大一些。截面尺寸也要大一些。截面尺寸也要大一些。截面尺寸也要大一些。