第一章 线性系统的状态空间描述 1.1 线性系统状态空间描述线性系统状态空间描述1.5 组合系统的状态空间描述组合系统的状态空间描述1.4 线性系统等价的状态空间描述线性系统等价的状态空间描述1.1 线性系统状态空间描述线性系统状态空间描述一系统数学描述的基本类型一系统数学描述的基本类型一系统数学描述的基本类型一系统数学描述的基本类型1 1几个基本定义几个基本定义几个基本定义几个基本定义系系统统：是是由由相相互互关关联联和和相相互互作作用用的的若若干干组组成成部部分分按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。 对对于于控控制制工工程程而而言言，它它可可能能是是被被控控对对象象、控控制制装装置置，也也可可能能是是某某些些部部件件的的串串联联、并并联联和和反反馈馈组合。组合。图图1-1 系统的方块图表示系统的方块图表示 图中方块以外的部分为系统环境图中方块以外的部分为系统环境; 环境对系统施加的作用或激励称为系统输入，环境对系统施加的作用或激励称为系统输入， 用向量用向量 表示表示;系统对环境的作用（即从外部量测到的系统信系统对环境的作用（即从外部量测到的系统信 息）称为系统输出，用向量息）称为系统输出，用向量 表示；表示；系统输入和输出统称为系统的外部变量。系统输入和输出统称为系统的外部变量。描述系统内部状况的变量称为系统的状态变量，描述系统内部状况的变量称为系统的状态变量， 用向量用向量 表示，它是系统的内部变量。表示，它是系统的内部变量。 主要的数学描述主要的数学描述输入输入输入输入输出输出输出输出描述描述描述描述矩阵矩阵矩阵矩阵分式分式分式分式描述描述描述描述状态状态状态状态空间空间空间空间描述描述描述描述系统系统系统系统矩阵矩阵矩阵矩阵描述描述描述描述2 2系统数学描述的基本类型系统数学描述的基本类型系统数学描述的基本类型系统数学描述的基本类型1）输入）输入输出描述（外部描述）输出描述（外部描述） 输入输入输出描述输出描述是描述系统输入是描述系统输入输出变量关系的输出变量关系的模型。如模型。如传递函数、微分方程等传递函数、微分方程等.输输入入输输出出描描述述（外外部部描描述述）仅仅描描述述系系统统的的外外部部特特性性，不不能能反反映映系系统统的的内内部部结结构构特特征征（即即不不能能反反映映“黑黑箱箱”内部的某些部分），是对系统的一种不完全描述。内部的某些部分），是对系统的一种不完全描述。System视系统为视系统为black box例如：例如： 从输入从输入输出关系来看，它们具有相同的传递函数：输出关系来看，它们具有相同的传递函数： 实实际际上上这这两两个个系系统统是是不不等等价价的的，一一个个是是能能观观不不能能控控的的，一个是能控不能观的。一个是能控不能观的。 表表明明:系系统统的的内内部部特特性性比比起起由由传传递递函函数数表表达达的的外外部部特特性性要要复复杂杂得得多多，输输入入输输出出描描述述没没有有包包含含系系统统的的全全部部信信息息，不能完整的描述一个系统。不能完整的描述一个系统。2）状态空间描述（内部描述）状态空间描述（内部描述） 状态空间描述状态空间描述通过建立系统内部状态和系统的输通过建立系统内部状态和系统的输入以及输出之间的数学关系，来描述系统的行为。入以及输出之间的数学关系，来描述系统的行为。F( x，u，t )u(t)y(t)图图1-3 系统的状态空间描述系统的状态空间描述状状态态空空间间描描述述（内内部部描描述述）能能完完全全表表征征系系统统的的一切动力学特征，它是对系统的一个完全描述。一切动力学特征，它是对系统的一个完全描述。 状状态态空空间间描描述述是是基基于于内内部部结结构构分分析析的的数数学学模模型，通常由两个数学方程组成。型，通常由两个数学方程组成。 状态方程：状态方程：是描述系统内部变量是描述系统内部变量 与与输输入入变变量量 间间因因果果关关系系的的数数学学表表达达式，常具有微分方程或差分方程的形式。式，常具有微分方程或差分方程的形式。 输出方程：输出方程：是表征系统内部变量是表征系统内部变量及输入变量及输入变量 和输出变量和输出变量间转换关系的数学表达式，具有代数方程的形式间转换关系的数学表达式，具有代数方程的形式. 系统的状态系统的状态 描述系统的过去、现描述系统的过去、现在和未来行为的变量在和未来行为的变量组，是用来完善地描组，是用来完善地描述系统行为的最小的述系统行为的最小的一组变量。一组变量。 状态变量状态变量状态变量是指构成系状态变量是指构成系统状态的每一个变量。统状态的每一个变量。状态变量构成的列向状态变量构成的列向量为状态向量。量为状态向量。二二. 状态的含义状态的含义 状态变量组可完全地表征系统行为的属性体现在状态变量组可完全地表征系统行为的属性体现在： 只只要要给给定定这这组组变变量量 在在初初始始时时刻刻t0的的值值，以以及及输输入入变变量量 在在各各瞬瞬时时tt0的的值值，则则系系统中任何一个变量在统中任何一个变量在tt0时的运动行为就可以被完全确定。时的运动行为就可以被完全确定。系统的状态空间描述系统的状态空间描述关于状态的几点说明关于状态的几点说明 状态变量组的最小性体现在：状态变量组的最小性体现在： 状状态态变变量量 是是为为完完全全表表征征系系统统行行为为所所必必需需的的系系统统变变量量的的最最少少个个数数，减减少少变变量量数数将将破破坏坏表表征征的的完完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不需要的。全性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不需要的。 状态变量组选取上的不唯一性：状态变量组选取上的不唯一性： 由由于于系系统统中中变变量量的的个个数数必必大大于于n，而而其其中中仅仅有有n个个是是线线性性无无关关的的，因因此此决决定定了了状状态态变变量量组组在在选选取取上上的的不不唯一性。唯一性。系统的状态空间描述系统的状态空间描述关于状态的几点说明关于状态的几点说明 系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。异变换的关系。状态变量是时间域的。状态变量是时间域的。状态变量有时是不可测量的。状态变量有时是不可测量的。状态变量不是所有变量的总和。状态变量不是所有变量的总和。输出量可以选作状态变量。输出量可以选作状态变量。输入量不允许选作状态变量。输入量不允许选作状态变量。状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为称为n维状态向量。维状态向量。状状态态空空间间：以以n个个线线性性无无关关的的状状态态变变量量作作为为基基底底所所组组成的成的 n 维空间称为状态空间维空间称为状态空间Rn。状状态态轨轨线线：随随着着时时间间推推移移，系系统统状状态态x(t)在在状状态态空空间间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。 1状状态态方方程程（）：描描述述系系统统状状态态变变量量与与输输入入变变量量之之间间关关系系的的一一阶阶微微分分方方程程组组(连连续续时时间间系系统统)或或一一阶阶差差分分方方程组程组(离散时间系统离散时间系统)称为系统的状态方程。称为系统的状态方程。 状状态态方方程程表表征征了了系系统统由由输输入入所所引引起起的的内内部部状状态态变变化化，其一般形式为：其一般形式为：或或 三三 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 2输输出出方方程程（）：描描述述系系统统输输出出变变量量与与状状态态变变量量和和输输入入变变量量之之间间函函数数关关系系的的代代数数方方程程组组称称为为系统的输出方程。其一般形式为：系统的输出方程。其一般形式为：或或 3 3状状状状态态态态空空空空间间间间表表表表达达达达式式式式：状状态态方方程程与与输输出出方方程程的的组组合合称称为为状状态态空空间间表表达达式式，又又称称为为动动态态方方程程或或状状态态空间描述。其一般形式为：空间描述。其一般形式为：连续系统：连续系统：离散系统：离散系统： 4 4线线线线性性性性系系系系统统统统状状状状态态态态空空空空间间间间表表表表达达达达式式式式：状状态态方方程程与与输输出出方方程程都都是是线线性性方方程程的的系系统统是是线线性性系系统统。线线性性系系统统的的状状态态方方程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程。程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程。线性连续系统状态空间表达式为：线性连续系统状态空间表达式为：线性离散系统状态空间表达式为：线性离散系统状态空间表达式为： （简记为（简记为 ） 式中：若状态式中：若状态x、输入、输入u、输出、输出y的维数分别为的维数分别为n, p, q，则，则系统矩阵系统矩阵(或状态矩阵、系数矩阵或状态矩阵、系数矩阵);控制矩阵（或输入矩阵）；控制矩阵（或输入矩阵）；观测矩阵（或输出矩阵）；观测矩阵（或输出矩阵）；前馈矩阵（或输入输出矩阵）；前馈矩阵（或输入输出矩阵）； 5 5线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统状状状状态态态态空空空空间间间间表表表表达达达达式式式式( () )：线线性性系系统统的的状状态态空空间间描描述述中中，若若系系数数矩矩阵阵的的各各元元素素都都是是常常数数，则则称称该该系系统统为为线线性性定定常常系系统统(线线性性时时不不变变系系统统), 否否则则为为线线性时变系统性时变系统.线性定常连续系统状态空间表达式为：线性定常连续系统状态空间表达式为：线性定常离散系统状态空间表达式为：线性定常离散系统状态空间表达式为： （简简记记为为 ） （简简记记为为 ） 图图1-4 线性连续时间系统结构图线性连续时间系统结构图图图1-5 线性离散时间系统结构图线性离散时间系统结构图注意：注意：1）每一个方块的输入输出关系规定为：）每一个方块的输入输出关系规定为：输出向量输出向量 = (方块所示矩阵方块所示矩阵)(输入向量输入向量)2）向量、矩阵的乘法运算中，）向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。相乘顺序不允许任意颠倒。 从从以以上上两两个个结结构构图图中中可可以以看看出出，D描描述述了了输输入入u不不经经状状态态变变量量x对对输输出出y的的直直接接影影响响，它它不不影影响响系系统统的动态过程，实质上是系统外部模型的一部分。的动态过程，实质上是系统外部模型的一部分。 因因此此，当当利利用用状状态态模模型型来来分分析析系系统统动动态态行行为为时时，常假设常假设D0，并不失对问题讨论的一性。，并不失对问题讨论的一性。连续时变系统：连续时变系统：连续时不变系统：连续时不变系统：C CBBDDAA输入输出描述仅揭输入输出描述仅揭示系统在初始松弛示系统在初始松弛假定下输入输出间假定下输入输出间的关系，不能揭示的关系，不能揭示系统的内部行为。系统的内部行为。复杂的线性系统，复杂的线性系统，求状态空间描述较求状态空间描述较困难，可借助于直困难，可借助于直接量测求取输入输接量测求取输入输出描述。出描述。动态方程能够推动态方程能够推广到时变情形，广到时变情形，而传递函数向时而传递函数向时变情形的推广是变情形的推广是不成功的。不成功的。若采用动态方程若采用动态方程描述，较容易在描述，较容易在计算机上对系统计算机上对系统进行仿真。进行仿真。 输入输出描述和状态空间描述的比较输入输出描述和状态空间描述的比较 系统的状态空间描述系统的状态空间描述1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立线性定常连续系统状态空间表达式的建立 建立状态空间表达式的方法主要有两种建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1.根根据据系系统统机机理理建建立立状状态态空空间间表表达达式式：属属于于分分析析的的途途径径，适用于结构和参数为已知的系统。适用于结构和参数为已知的系统。 直直接接根根据据系系统统的的机机理理建建立立相相应应的的微微分分方方程程，继继而而选选择择有有关关的的物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式。物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式。 2.由由由由系系系系统统统统其其其其它它它它数数数数学学学学模模模模型型型型建建建建立立立立状状状状态态态态空空空空间间间间表表表表达达达达式式式式：属属属属于于于于辨辨识识的途径，适用于结构和参数难以搞清楚的系统。的途径，适用于结构和参数难以搞清楚的系统。 通通过过实实验验手手段段取取得得数数据据并并采采用用适适当当的的方方法法确确定定系系统统的的输输入入输输出模型，再由所得的系统输入输出描述导出相应的状态空间描述。出模型，再由所得的系统输入输出描述导出相应的状态空间描述。 一根据系统机理建立状态空间表达式一根据系统机理建立状态空间表达式一根据系统机理建立状态空间表达式一根据系统机理建立状态空间表达式 根据系统机理建立状态空间描述的基本步骤：根据系统机理建立状态空间描述的基本步骤： 1）根根据据系系统统所所遵遵循循的的物物理理规规律律，建建立立系系统统的的微微分方程或差分方程；分方程或差分方程； 2）选选取取有有关关物物理理量量 (变变量量) 作作为为状状态态变变量量，推推导导出系统的状态方程和输出方程。出系统的状态方程和输出方程。例例1-1（P403例例9-1）：建立）：建立RCL网络的状态方程网络的状态方程解：解：根据各元件的电流与电压关系、回路电压和等于根据各元件的电流与电压关系、回路电压和等于零，得到系统的方程：零，得到系统的方程：系统的输入、输出分别为系统的输入、输出分别为a）选取状态变量）选取状态变量 ，则状态，则状态空间描述为：空间描述为： b）选取状态变量）选取状态变量 ，则状态空间描述为：，则状态空间描述为： 状态变量选取方法不同，则状态空间描述不同。状态变量选取方法不同，则状态空间描述不同。 比比较较两两种种状状态态变变量量选选取取方方法法，很很容容易易得得到到它它们们之间的变换矩阵：之间的变换矩阵： 即即和和注注意意：该该例例说说明明系系统统的的状状态态空空间间描描述述不不是是唯唯一一的的，各各种种描描述述之之间间可可以以相相互互转转换换，且且不不改改变变系系统统的的固固有性质。有性质。二由系统其它数学模型建立状态空间表达式二由系统其它数学模型建立状态空间表达式二由系统其它数学模型建立状态空间表达式二由系统其它数学模型建立状态空间表达式 （即化输入（即化输入（即化输入（即化输入输出描述为状态空间描述）输出描述为状态空间描述）输出描述为状态空间描述）输出描述为状态空间描述） 状态实现：由输入状态实现：由输入-输出描述建立状态空间描述，输出描述建立状态空间描述，称为状态实现。称为状态实现。 一个给定系统的状态实现有多种形式。在线性系一个给定系统的状态实现有多种形式。在线性系统理论中，要讨论某种性质时，为叙述方便，常采统理论中，要讨论某种性质时，为叙述方便，常采用特定的标准形式。用特定的标准形式。可控标准型实现可控标准型实现可观测标准型实现可观测标准型实现对角型实现对角型实现约当规范型实现约当规范型实现1 1 问题的提法问题的提法 考虑一个单变量线性定常系统，其输入输出描述微分方程考虑一个单变量线性定常系统，其输入输出描述微分方程如下：如下： 状态实现问题将归结为状态实现问题将归结为选取适当的状态变量组和选取适当的状态变量组和确定各个系数矩阵。确定各个系数矩阵。其中：其中：或：或：2. 可控标准型实现可控标准型实现（）设设 则矩阵形式的则矩阵形式的可控标准型实现可控标准型实现为为式中：式中：友矩阵友矩阵 总总结结：系系统统矩矩阵阵A的的上上方方次次对对角角线线的的元元素素全全为为1，最最后后一一行行是是G(s)的的特特征征多多项项式式系系数数的的相相反反数数的的逆逆序序排排列列，其其余余元元素素全全为为零零，上上述述形形式式的的A阵阵称称为为友友矩阵矩阵； 控控制制矩矩阵阵（向向量量）b是是最最后后一一个个元元素素为为1，其其余余元元素素均均为为零零的的列列向向量量；输输出出矩矩阵阵（向向量量）c是是G(s)分分子子多多项项式式系系数数的的逆逆序序排排列列。若若动动态态方方程程中中的的A，b具具有这种形式，则为有这种形式，则为可控标准型。可控标准型。3 可观测标准型实现可观测标准型实现（）则矩阵形式的状态方程和输出方程为则矩阵形式的状态方程和输出方程为式中：式中：友矩阵友矩阵 总总结结：系系统统矩矩阵阵A的的下下方方次次对对角角线线的的元元素素均均为为1，最最后后一一列列是是G(s)的的特特征征多多项项式式系系数数的的相相反反数数的的逆逆序序排列，其余元算全为零，上述形式的排列，其余元算全为零，上述形式的A阵称为阵称为友矩阵友矩阵； 输输出出矩矩阵阵（向向量量）c是是最最后后一一个个元元素素为为1，其其余余元元素素均均为为零零的的行行向向量量；控控制制矩矩阵阵（向向量量）b是是G(s)分分子子多多项项式式系系数数的的逆逆序序排排列列。若若动动态态方方程程中中的的A，c具具有这种形式，则为有这种形式，则为可观测标准型可观测标准型。例例1-2（P411例例9-5）（）（）：已知二阶系统的微分方程）：已知二阶系统的微分方程试求系统的状态空间试求系统的状态空间表达式表达式.解：解：系统传递函数为系统传递函数为可控标准型：可控标准型：可观测标准型：可观测标准型：4 对角型实现对角型实现 当当系系统统传传递递函函数数只只含含单单实实极极点点时时，还还可可作作对对角角型实现，该实现形式型实现，该实现形式系统矩阵系统矩阵A是一个对角阵。是一个对角阵。 分分母母多多项项式式D(s)有有n个个单单实实极极点点 ，对对传传递递函数作部分分式展开则有函数作部分分式展开则有 ：其中：其中： 为为G(s)在极点在极点 处的留数。处的留数。对角型实现为：对角型实现为： 或或对偶关系对偶关系 例例1-3：已知系统的传递函数为：已知系统的传递函数为请写出系统的对角型实现。请写出系统的对角型实现。解：解：1）求系统极点：）求系统极点： 故系统有三个单实极点，即故系统有三个单实极点，即 2）对传递函数进行部分分式展开为）对传递函数进行部分分式展开为即：即：3）对角型实现为：）对角型实现为：或或5 约当标准型实现约当标准型实现 当当传传递递函函数数除除含含有有单单实实极极点点以以外外，还还含含有有重重极极点点时时，不不能能作作对对角角型型实实现现，但但总总可可以以作作成成分分块块对对角角形形实实现现，称称之之为为约约当当标标准准型型实实现现，其其系统矩阵系统矩阵A是一个含有约当块的矩阵。是一个含有约当块的矩阵。即：即：例例1-4：系统传递函数为：系统传递函数为求约当标准型实现。求约当标准型实现。解：解：系统极点为：系统极点为：3重极点重极点1= 3，2重极点重极点4 = - 2， 单极点单极点6 = 1。部分分式改写为：部分分式改写为：约当标准型实现为：约当标准型实现为：或或总结：总结：1）对对角角型型实实现现和和约约当当标标准准型型实实现现，需需要要计计算算系统的极点系统的极点(特征值特征值)和特征向量，很不方便。和特征向量，很不方便。2）在在线线性性系系统统理理论论中中，许许多多定定理理或或性性质质的的证证明过程中，使用约当标准型是很方便的。明过程中，使用约当标准型是很方便的。3）在在作作状状态态实实现现时时选选用用可可控控标标准准型型或或可可观观测测标标准准型型最最为为方方便便。如如需需要要其其它它标标准准型型式式，可可通通过非奇异变换来获取。过非奇异变换来获取。由系统微分方程建立状态空间表达式（自学由系统微分方程建立状态空间表达式（自学由系统微分方程建立状态空间表达式（自学由系统微分方程建立状态空间表达式（自学P405-409P405-409） 由由系系统统微微分分方方程程建建立立状状态态空空间间表表达达式式的的整整个个思思路路与与由由系系统统传传递递函函数数建建立立状状态态空空间间表表达达式式的的思思路路是是类类似似的的，所所以以这这里里不不再再详详细细介介绍绍，请请参参看看教教材材P405-407。 另另外外，当当给给定定系系统统微微分分方方程程时时，可可先先求求出出其其传传递递函函数数，然然后后按按照照前前面面推推导导的的公公式式直直接接写写出出其其可可控控标标准准型型和和可可观观测测标标准准型型实实现现，例例如如我我们们在在例例1-2种种所所做做的那样。的那样。方法一：方法一：（1 1）m=0m=0（微分方程右边不含输入变量的导数项微分方程右边不含输入变量的导数项）选取系统的选取系统的n n个状态变量为个状态变量为写成向量方程的形式：写成向量方程的形式：（2 2）m=nm=n（微分方程右边含输入变量的导数项微分方程右边含输入变量的导数项）按如下方法选取状态变量组：按如下方法选取状态变量组：经推导可得：经推导可得：可得到系统的状态方程和输出方程为：可得到系统的状态方程和输出方程为：方法二（中间变量法）方法二（中间变量法）令系统的输入输出描述微分方程如下：令系统的输入输出描述微分方程如下： 系统的传递函数为：系统的传递函数为： 引入中间变量引入中间变量z(t),z(t),则上式表示为：则上式表示为： 对上面两式求拉氏反变换：对上面两式求拉氏反变换： 按方法一的方法选取状态变量：按方法一的方法选取状态变量： 可得到系统的状态方程和输出方程为：可得到系统的状态方程和输出方程为：1.3 系统的传递函数矩阵系统的传递函数矩阵 (P421)一传递函数矩阵的定义和表达式一传递函数矩阵的定义和表达式一传递函数矩阵的定义和表达式一传递函数矩阵的定义和表达式1 1定定定定义义义义：初初始始条条件件为为零零时时，输输出出向向量量的的拉拉氏氏变变换换式式与与输输入入向向量量的的拉拉氏氏变变换换式式之之间间的的传传递递关关系系称称为为传传递递函数矩阵，简称传递矩阵。函数矩阵，简称传递矩阵。2 2表达式：表达式：表达式：表达式：设线性定常连续系统的状态空间描述为设线性定常连续系统的状态空间描述为：在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达式为：在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达式为：（） 证明：证明：在初始条件为零的条件下，作拉普拉斯变换有：在初始条件为零的条件下，作拉普拉斯变换有：(sI-A)非奇异非奇异三点说明：三点说明：1）若若输输入入u为为p维维向向量量，输输出出y为为q维维向向量量，则则G(s)为为(qp)矩阵。矩阵。Y(s)=G(s)U(s)的展开式为：的展开式为：式中：式中：Gij(s)表示第表示第i个输出量与第个输出量与第j个输入量之间的传函。个输入量之间的传函。2）几个概念：几个概念： 系统的特征矩阵：系统的特征矩阵：(sI- -A) 系统系统的特征多项式：的特征多项式：det(sI-A) , n维系统的特征多项式为维系统的特征多项式为:系统的特征方程：系统的特征方程： 系统的特征根（或特征值）：特征方程系统的特征根（或特征值）：特征方程 的根。的根。3）前前馈馈矩矩阵阵D不不影影响响系系统统的的动动态态性性能能，在在分分析析系系统统动动态性能时，通常认为态性能时，通常认为D =0，即：，即：当当D0D0时，时，G(s)G(s)为真有理分式阵；为真有理分式阵；当当D=0D=0时，时，G(s)G(s)为严格真有理分式阵。为严格真有理分式阵。例例1-5（P422例例9-10） （） ：已知系统动态方程为：已知系统动态方程为解：解：试求系统的传递函数矩阵。试求系统的传递函数矩阵。传递函数矩阵为：传递函数矩阵为： 二二二二G G( (s s) )的实用算法的实用算法的实用算法的实用算法（补充）（补充）（补充）（补充）结结论论：给给定定状状态态空空间间描描述述的的系系数数矩矩阵阵A, B, C, D，求出特征多项式求出特征多项式和和则相应的传递函数矩阵就可按下式来定出：则相应的传递函数矩阵就可按下式来定出：特别适用于特别适用于计算机计算机计算计算例例1-6：给定系统的状态空间描述为：给定系统的状态空间描述为：求传递函数矩阵求传递函数矩阵G(s)。解：解：1) 先定出系统的特征多项式为：先定出系统的特征多项式为：2) 再计算系数矩阵：再计算系数矩阵： 3) 传递函数矩阵为传递函数矩阵为:三、计算特征多项式三、计算特征多项式三、计算特征多项式三、计算特征多项式 ( (s s) )的算法的算法的算法的算法 莱弗勒算法（补充）莱弗勒算法（补充）莱弗勒算法（补充）莱弗勒算法（补充）莱弗勒算法：莱弗勒算法：给定给定nn阶常阵阶常阵A，其特征多项式为：，其特征多项式为：其系数其系数 i i（i i= =n n-1,-1,n n-2,-2,1,0,1,0）可按如下顺序递推定出：可按如下顺序递推定出：其中：其中：tr表示矩阵的主对角线上元素之和，称为矩阵的迹。表示矩阵的主对角线上元素之和，称为矩阵的迹。 I为为n阶单位阵。阶单位阵。一一 坐标变换坐标变换1 1 基底基底 设在线性空间中有一组设在线性空间中有一组线性无关线性无关向量，若该空向量，若该空间中的每一个向量均可唯一地由该组向量的线性组合间中的每一个向量均可唯一地由该组向量的线性组合表示，则称该组向量是该线性空间中的一个基底。表示，则称该组向量是该线性空间中的一个基底。 在在n n维向量空间中，维向量空间中，任何任何n n个线性无关向量均可作为个线性无关向量均可作为基底。基底。1.4 线性系统等价的状态空间描述线性系统等价的状态空间描述2 2 坐标变换坐标变换 将系统在状态空间的一个基底上的表征，将系统在状态空间的一个基底上的表征，化为另一个基底上的表征。化为另一个基底上的表征。 坐标变换是一种非奇异变换。坐标变换是一种非奇异变换。二二 线性系统等价状态空间描述线性系统等价状态空间描述1 1 1 1 线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统 对对x x进行非奇异变换进行非奇异变换 ，则有，则有式中：式中： 称两种状态空间描述是代数等价的。称两种状态空间描述是代数等价的。称两种状态空间描述是代数等价的。称两种状态空间描述是代数等价的。2 2 线性时变系统线性时变系统 对对x x进行非奇异变换进行非奇异变换 ，则有，则有式中：式中：代数等价状态空间描述代数等价状态空间描述三三 代数等价系统的主要性质代数等价系统的主要性质u 对于两个代数等价系统对于两个代数等价系统 （1 1）它们的特征值相同；）它们的特征值相同； （2 2）它们的传递函数矩阵相同。）它们的传递函数矩阵相同。u 对于线性定常系统，两个代数等价的状态空对于线性定常系统，两个代数等价的状态空 间描述，可以化为相同的对角线规范形或约间描述，可以化为相同的对角线规范形或约 当规范形。当规范形。 对角规范形对角规范形状态方程中的状态方程中的系统矩阵系统矩阵A A具具 有对角形的形有对角形的形式。式。 约当规范形约当规范形状态方程中的状态方程中的系统矩阵系统矩阵A A具具 有分块对角形有分块对角形的形式。的形式。四四 状态方程的对角规范形和约当规范形状态方程的对角规范形和约当规范形u当当A A的的n n个特征值个特征值 两两互异时两两互异时u或当系统矩阵或当系统矩阵A A的的n n个特征向量个特征向量 线性无关线性无关 此时，系统的状态方程可以通过线性非奇异变换，此时，系统的状态方程可以通过线性非奇异变换，变换为对角线规范形形式。变换为对角线规范形形式。化对角规化对角规范形的条件范形的条件1 1 化对角规范形的条件化对角规范形的条件2 2 化对角线规范形的方法化对角线规范形的方法（1 1） 当当A A矩阵为一般形式时矩阵为一般形式时 结论：设系统满足化为对角规范形的条件，那么结论：设系统满足化为对角规范形的条件，那么系统的状态方程在变换系统的状态方程在变换 下必可化为如下下必可化为如下的对角线规范形：的对角线规范形：其中：其中： (1) Q矩阵由矩阵由A的的n个线个线性无关的特征向量构成性无关的特征向量构成的。的。 (2)在对角规范形下，在对角规范形下，各个状态变量间实现了各个状态变量间实现了完全解耦。完全解耦。（2 2） 当当A A为友矩阵时为友矩阵时 即即 当当A A的特征值的特征值 两两互异时，则下两两互异时，则下列的范德蒙特（列的范德蒙特（VandermodeVandermode）矩阵）矩阵P P可使可使A A对角化：对角化：范德蒙特矩阵范德蒙特矩阵1. 5 组合系统的状态空间描述（补充）组合系统的状态空间描述（补充）()p 组组合合系系统统：由由两两个个或或两两个个以以上上的的子子系系统统按按一一定方式相互联接而构成的系统称为组合系统。定方式相互联接而构成的系统称为组合系统。p 基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈。基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈。 两两个个线线性性时时不不变变子子系系统统S1和和S2的的状状态态空空间间描描述分别为：述分别为： 一、子系统并联一、子系统并联一、子系统并联一、子系统并联图图1-11 并联组合系统并联组合系统1 1可实行并联的条件可实行并联的条件可实行并联的条件可实行并联的条件2 2并联组合系统的特点并联组合系统的特点并联组合系统的特点并联组合系统的特点3 3并联组合系统的状态空间描述并联组合系统的状态空间描述并联组合系统的状态空间描述并联组合系统的状态空间描述对并联组合系统，其状态空间描述为：对并联组合系统，其状态空间描述为：即：即： 对对于于N个个子子系系统统并并联联所所构构成成的的组组合合系系统统，其其状态空间描述可由上式推广为：状态空间描述可由上式推广为：4 4并联组合系统的传递函数阵并联组合系统的传递函数阵并联组合系统的传递函数阵并联组合系统的传递函数阵设子系统设子系统Si（i=1,2,N）的传递函数阵为）的传递函数阵为由并联系统特点由并联系统特点:和和就可导出并联系统的就可导出并联系统的G(s):即：即：二、子系统串联二、子系统串联二、子系统串联二、子系统串联两个子系统经串联构成的组合系统两个子系统经串联构成的组合系统:图图1-12 串联组合系统串联组合系统1 1可实行串联的条件可实行串联的条件可实行串联的条件可实行串联的条件2 2串联组合系统的特点串联组合系统的特点串联组合系统的特点串联组合系统的特点 3 3串联组合系统的状态空间描述串联组合系统的状态空间描述串联组合系统的状态空间描述串联组合系统的状态空间描述即：即： 4 4串联组合系统的传递函数矩阵串联组合系统的传递函数矩阵串联组合系统的传递函数矩阵串联组合系统的传递函数矩阵 类类似似地地对对于于N个个子子系系统统的的顺顺序序串串联联组组合合系系统统的传递函数阵为的传递函数阵为：注意：注意：在串联组合系统中，子系统的串联顺序在串联组合系统中，子系统的串联顺序不能随意互换。不能随意互换。三、子系统反馈连接三、子系统反馈连接三、子系统反馈连接三、子系统反馈连接图图1-13 反馈连接组合系统反馈连接组合系统1 1可实行反馈连接的条件可实行反馈连接的条件可实行反馈连接的条件可实行反馈连接的条件2 2反馈连接组合系统的特点反馈连接组合系统的特点反馈连接组合系统的特点反馈连接组合系统的特点3 3反馈连接组合系统的状态空间描述反馈连接组合系统的状态空间描述反馈连接组合系统的状态空间描述反馈连接组合系统的状态空间描述 为为使使组组合合后后的的系系统统描描述述不不过过于于复复杂杂，这这里里假假设设Di=0 (i=1, 2)，那么反馈系统的状态空间描述为：，那么反馈系统的状态空间描述为：即：即：4 4反馈连接组合系统的传递函数矩阵反馈连接组合系统的传递函数矩阵反馈连接组合系统的传递函数矩阵反馈连接组合系统的传递函数矩阵由子系统的传递函数矩阵：由子系统的传递函数矩阵：再据反馈连接组合系统特点再据反馈连接组合系统特点:得反馈系统的传递函数矩阵为：得反馈系统的传递函数矩阵为： 或或例例1-7()：两个子系统分别为：两个子系统分别为 求其并联、串联和反馈连接组合系统的状态空间描述。求其并联、串联和反馈连接组合系统的状态空间描述。解：解：1）并联：）并联：2）串联：）串联：3）反馈连接：）反馈连接：作业：作业：已知子系统已知子系统S1和和S2： S1： S2：求串联后组合系统的状态空间描述及其传递函数矩阵。求串联后组合系统的状态空间描述及其传递函数矩阵。