梯形的性质上面的几幅图中有你熟悉的图形吗上面的几幅图中有你熟悉的图形吗?八年级八年级 数学数学第第十十九九章章 四四边边形形四边形再认识四边形再认识梯形定义梯形定义 一组对边一组对边平行平行而另一组对边而另一组对边不平行不平行的四边的四边形叫做梯形形叫做梯形.上底上底下底下底腰腰腰腰高高夹夹在两底之间的在两底之间的垂线段垂线段叫做梯形的叫做梯形的高高。如图如图,平行的两边平行的两边叫做梯形的叫做梯形的底底,其中较短的底叫其中较短的底叫做做上底上底,较长的底叫做较长的底叫做下底下底.不平行的两边不平行的两边叫做叫做腰腰。第第十十九九章章 四四边边形形如图如图1,两条腰相等的梯形叫做两条腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形.特殊的梯形特殊的梯形:如图如图2,一条腰和底垂直的梯形叫做一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形直角梯形.图图1ABCD图图2ABCD八年级八年级 数学数学第第十十九九章章 四四边边形形做一做做一做 在一张有平行线的纸上作一个等腰梯形在一张有平行线的纸上作一个等腰梯形,连接两条对角线连接两条对角线,仔细的观察图形仔细的观察图形,这个图形是这个图形是轴对称图形吗轴对称图形吗?设法验证你的猜想设法验证你的猜想.图图中有哪些相等的中有哪些相等的线段线段?有有哪些相等的角哪些相等的角?演示八年级八年级 数学数学第第十十九九章章 四四边边形形ODCBA1、等腰梯形的性质、等腰梯形的性质1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等等腰梯形在同一底上的两个内角相等DCBA图图5已知：如图已知：如图5，在梯形，在梯形ABCD中，中，ADBC，AB=DC。求证：求证：B=C 。证明：过点证明：过点D作作DEAB，交，交BC于点于点E，得到得到DEC。E ADBC，DEAB AB=DE AB=DC DE=DC DEC=C DEAB DEC=B B=C 研究梯形时，研究梯形时，常常需要添加适当常常需要添加适当的辅助线，把梯形的辅助线，把梯形转化成平行四边形转化成平行四边形和三角形，此处是和三角形，此处是移动一腰移动一腰，即从梯，即从梯形的一个顶点作一形的一个顶点作一腰的平行线。腰的平行线。四边形四边形ABED是平行四边形是平行四边形等腰梯形的性质等腰梯形的性质1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等等腰梯形在同一底上的两个内角相等。已知：如图已知：如图6，在梯形，在梯形ABCD中，中，ADBC，AB=DC。求证：求证：B=C 。DCBA图图6证明：过证明：过A、D分别作分别作AEBC，DFBC ， 垂足垂足分别为分别为E、F FE 这也是研究梯形这也是研究梯形时常用的辅助线作法，时常用的辅助线作法，即即从同一底的两端作从同一底的两端作另一底的垂线段另一底的垂线段，它，它可把梯形分成一个矩可把梯形分成一个矩形和两个直角三角形形和两个直角三角形（如果是等腰梯形，（如果是等腰梯形，所得到的两个直角三所得到的两个直角三角形全等）。角形全等）。AEDF，AEB= DFC=900 ADBC四边形四边形AEFD是平行四边形是平行四边形AE=DF在在RtABE和和RtDCF中中 RtABE RtDCF B=C2、等腰梯形的性质、等腰梯形的性质2：等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等。已知：如图已知：如图8，在梯形，在梯形ABCD中，中， ADBC，AB=DC 。求证：求证：AC=BD ABCD图图8证明：在梯形证明：在梯形ABCD中中 AB=DC， ABC=DCB（等腰梯形在同（等腰梯形在同一底上的两个内角相等）。一底上的两个内角相等）。在在ABC和和DCB中中 ABCDCB （SAS） AC=DBE等腰梯形为什么是轴对称图形？等腰梯形为什么是轴对称图形？它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？3、等腰梯形的对称性：、等腰梯形的对称性：ABCD图图7 如图如图7， 延长等腰梯形的两腰延长等腰梯形的两腰 相交于点相交于点E，HF由由B=C，ADBC，可知可知EBC和和EAD都是等腰三角形。都是等腰三角形。因此从点因此从点E作两底的垂线必平分两作两底的垂线必平分两底。根据等腰三角形是轴对称图形，底。根据等腰三角形是轴对称图形，可得可得等腰梯形也是轴对称图形。过等腰梯形也是轴对称图形。过两底中点的直线是它的对称轴。两底中点的直线是它的对称轴。这这也是研究梯形常用的也是研究梯形常用的辅助线作法，即辅助线作法，即延长梯延长梯形的两腰交于一点形的两腰交于一点，得，得到两个三角形（如果是到两个三角形（如果是等腰梯形，则得到两个等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的分别以梯形两底为底的等腰三角形）。等腰三角形）。等腰梯形同一个底上的两个等腰梯形同一个底上的两个内角相等内角相等等腰梯形的两条对角线等腰梯形的两条对角线相等相等. .书写格式书写格式： 在等腰梯形在等腰梯形ABCD中，中， BAD=ADC，ABC=BCD， AC= =BD ABCD八年级八年级 数学数学等腰梯形等腰梯形的性质的性质第第十十九九章章 四四边边形形对称性对称性对称性对称性等腰梯形是轴对称图形。等腰梯形是轴对称图形。等腰梯形是轴对称图形。等腰梯形是轴对称图形。等腰梯形两底平行，两腰相等。等腰梯形两底平行，两腰相等。等腰梯形两底平行，两腰相等。等腰梯形两底平行，两腰相等。边边边边角角角角等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形的两条对角线相等。对角线对角线对角线对角线等腰梯形同一底边上的两个内角相等。等腰梯形同一底边上的两个内角相等。等腰梯形同一底边上的两个内角相等。等腰梯形同一底边上的两个内角相等。二、等腰梯形的性质二、等腰梯形的性质1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等是等腰梯形腰梯形 （ ）3.四边形四边形ABCD中，若中，若A:B:C:D=2:2:1:3, 则四边形的形状是则四边形的形状是 。2. 四边形四边形ABCD中，若中，若A:B:C:D=1:4:3:2, 则四边形的形状是则四边形的形状是 ； 梯梯 形形直角梯形直角梯形E E4.等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角【 】 A. 60 B. 120 C. 135 D. 150 5.在等腰梯形在等腰梯形ABCD中，中，DCAB,对角线对角线AC平分平分BAD, B=60,CD=2cm,则梯形则梯形ABCD的面积是的面积是 6.直角直角梯形梯形ABCD中，中， ABCD,ADCD,AB=1cm,AD=2cm,CD=4cm,则则BC的长为的长为 ，D DA AB BC CA AD DC CB BEFFE在等腰梯形在等腰梯形ABCD中中，ADBC，AE BC,AD=AE= BC ，求，求DBCAD例如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4，高DF=2，求腰DC的长。ADBFC解：如图，将腰AB平移到DE的位置，由平移的性质和平行四边形的判别方法，可知四边形ABED是平行四边形，DE=AB=DC，BE=AD 在等腰DEC中， EC=BC-BE=BC-AD=4-2=2，CF= EC=1，DC=E E21BACDE 在梯形在梯形ABCD中，中，ADBC，ACBD， AD= 3，BD=12 ，BC=10求：求：AC的长的长解：过点过点D作作DEAC,交交BC的延长线于的延长线于E, ADBC四边形四边形ACED是平行四是平行四边形边形CE=AD=3, BDE= BOC=90在在RtBDE中，由勾股定中，由勾股定理可得：理可得：DE=如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，AD BC，AB=BC+AD，H是是CD中点，试说明：中点，试说明：BHAHHE证明：延长证明：延长AH交交BC的延长线的延长线于于E,易证易证ADH ECH, CE=AD,AH=EHAB=BC+ADBE=BC+CE=BC+AD=ABAH=EH BHAH常用技巧1.延长两腰交于一点延长两腰交于一点 作用：使梯形问题转化为三角形问题，作用：使梯形问题转化为三角形问题， 若是等腰梯形则得到等腰三角形。若是等腰梯形则得到等腰三角形。A B D C E 2.平移一腰平移一腰 作用：使梯形问题转化为平行四边形作用：使梯形问题转化为平行四边形 及三角形问题。及三角形问题。 CE等于上、下底的差等于上、下底的差A B D C E 3.作高作高 作用：使梯形问题转化为直角三角形作用：使梯形问题转化为直角三角形 及矩形问题。及矩形问题。 A B D C E F 5. 当有一腰中点时，连结一个顶当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长与一个底点与一腰中点并延长与一个底的延长线相交。的延长线相交。 作用：可得作用：可得ADEFCE, BF等于上、下底的和等于上、下底的和.CBFEDA4.平移一条对角线平移一条对角线 作用：得到平行四边形作用：得到平行四边形ACED，使使CE=AD，BE等于上、下底等于上、下底的和的和.A B C D E 常用技巧CBFEDAG6. 当有一腰中点时，过中点作另当有一腰中点时，过中点作另一腰的平行线。一腰的平行线。 作用：可得到平行四边形和全等作用：可得到平行四边形和全等三角形三角形.练习1