第四章因式分解1因式分解 【基础梳理基础梳理】1.1.因式分解的概念因式分解的概念把一个多项式化成把一个多项式化成_的形式的形式, ,这种变形叫这种变形叫做因式分解做因式分解, ,也称为分解因式也称为分解因式. .几个整式的积几个整式的积2.2.整式的乘法与因式分解的关系整式的乘法与因式分解的关系整式的乘法是将几个整式的整式的乘法是将几个整式的_化成多项式或单项式化成多项式或单项式, ,因式分解是将一个多项式化成几个因式分解是将一个多项式化成几个_的积的积. .积积整式整式【自我诊断自我诊断】1.1.下列从左边到右边的变形下列从左边到右边的变形, ,是因式分解的是是因式分解的是( )( )A.(a+3)(a-3)=aA.(a+3)(a-3)=a2 2-9-9B.xB.x2 2+x-5=x(x+1)-5+x-5=x(x+1)-5C.x+1=x C.x+1=x D.xD.x2 2+4x+4=(x+2)+4x+4=(x+2)2 2D D2.2.下列从左到右的变形下列从左到右的变形:15x:15x2 2y=3xy=3x5xy;5xy;(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2;a;a2 2-2a+1=(a-1)-2a+1=(a-1)2 2; ;xx2 2+3x+1= ,+3x+1= ,其中是因式分解的个数是其中是因式分解的个数是( )( )A.0A.0个个B.1B.1个个C.2C.2个个D.3D.3个个B B3.3.若多项式若多项式x x2 2+mx+36+mx+36因式分解的结果是因式分解的结果是(x-2)(x-18),(x-2)(x-18),则则m m的值是的值是( )( )A.-20A.-20B.-16B.-16C.16C.16D.20D.204.4.若多项式若多项式x x2 2-x+a-x+a可分解为可分解为(x+1)(x-2),(x+1)(x-2),则则a a的值为的值为_._.A A-2-2知识点一知识点一 因式分解的概念因式分解的概念【示范题示范题1 1】下列各式从左到右的变形为因式分解的下列各式从左到右的变形为因式分解的是是( () )A.mA.m2 2-m-6=(m+2)(m-3)-m-6=(m+2)(m-3)B.(m+2)(m-3)=mB.(m+2)(m-3)=m2 2-m-6-m-6C.xC.x2 2+8x-9=(x+3)(x-3)+8x+8x-9=(x+3)(x-3)+8xD.xD.x2 2+1=x+1=x 【思路点拨思路点拨】先看左边是否为多项式先看左边是否为多项式, ,右边是否为几个右边是否为几个整式的积整式的积, ,再利用整式的乘法进行验证再利用整式的乘法进行验证. .【自主解答自主解答】选选A.A.A.A.等式从左边到右边等式从左边到右边, ,把多项式化成了两个整式积的形把多项式化成了两个整式积的形式式, ,符合因式分解的定义符合因式分解的定义, ,故故A A正确正确; ;B.B.等式从左边到右边属于整式的乘法等式从左边到右边属于整式的乘法, ,故故B B不正确不正确; ;C.C.等式的右边最后计算的是和等式的右边最后计算的是和, ,不符合因式分解的定义不符合因式分解的定义, ,故故C C不正确不正确; ;D.D.在等式的右边不是整式在等式的右边不是整式, ,故故D D不正确不正确. .【互动探究互动探究】式子式子(m+2)(m-3)=m(m+2)(m-3)=m2 2-m-6-m-6是什么运算是什么运算, ,与与因式分解有什么关系因式分解有什么关系? ?提示提示: :它是整式的乘法它是整式的乘法, ,与因式分解是互逆关系与因式分解是互逆关系. .【备选例题备选例题】下列从左到右的变形下列从左到右的变形, ,属于因式分解的属于因式分解的是是( () )A.(x+3)(x-2)=xA.(x+3)(x-2)=x2 2+x-6+x-6B.ax-ay-1=a(x-y)-1B.ax-ay-1=a(x-y)-1C.8aC.8a2 2b b3 3=2a=2a2 24b4b3 3D.xD.x2 2-4=(x+2)(x-2)-4=(x+2)(x-2)【解析解析】选选D.AD.A是整式乘法是整式乘法, ,显然不是因式分解显然不是因式分解;B;B的右的右端不是积的形式端不是积的形式, ,也不是因式分解也不是因式分解;C;C的左端是一个单项的左端是一个单项式式, ,显然不是因式分解显然不是因式分解;D;D是将一个多项式化成两个整式是将一个多项式化成两个整式的积的积, ,符合因式分解的定义符合因式分解的定义. .【微点拨微点拨】因式分解的三个注意问题因式分解的三个注意问题(1)(1)因式分解的对象必须是多项式因式分解的对象必须是多项式. .(2)(2)因式分解的结果必须是积的形式因式分解的结果必须是积的形式. .(3)(3)因式分解结果中每个因式都必须是整式因式分解结果中每个因式都必须是整式. .知识点二知识点二 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法的关系【示范题示范题2 2】把多项式把多项式x x2 2+ax+b+ax+b因式分解得因式分解得(x+1)(x-3),(x+1)(x-3),则则a,ba,b的值分别是的值分别是( () )A.a=2,b=3A.a=2,b=3B.a=-2,b=-3B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3C.a=-2,b=3D.a=2,b=-3D.a=2,b=-3【思路点拨思路点拨】将将(x+1)(x-3)(x+1)(x-3)计算得多项式计算得多项式, ,然后与多项然后与多项式式x x2 2+ax+b+ax+b分别对应相等分别对应相等. .【自主解答自主解答】选选B.B.根据整式的乘法可得根据整式的乘法可得(x+1)(x-3)= (x+1)(x-3)= x x2 2-2x-3,-2x-3,由由x x2 2+ax+b+ax+b因式分解得因式分解得(x+1)(x-3).(x+1)(x-3).可知可知x x2 2+ax+b=x+ax+b=x2 2-2x-3,-2x-3,所以所以a=-2,b=-3.a=-2,b=-3.【微点拨微点拨】因式分解与整式乘法的联系与区别因式分解与整式乘法的联系与区别(1)(1)联系联系: :因式分解与整式乘法是两种互逆的恒等变形因式分解与整式乘法是两种互逆的恒等变形, ,因此因式分解的结果是否正确因此因式分解的结果是否正确, ,可以用整式乘法来检验可以用整式乘法来检验. .(2)(2)区别区别: :整式的乘法是几个整式相乘整式的乘法是几个整式相乘, ,其结果是和的形其结果是和的形式式, ,因式分解是将多项式化成几个整式的积的形式因式分解是将多项式化成几个整式的积的形式, ,其其结果是积的形式结果是积的形式, ,因此整式的乘法是因此整式的乘法是: :“积化和积化和”, ,因式因式分解是分解是“和化积和化积”. .【纠错园纠错园】x x2 2-2x-15=(x+5)(x-3)-2x-15=(x+5)(x-3)是因式分解吗是因式分解吗? ?为什么为什么? ?【错因错因】等式的左右两边不相等等式的左右两边不相等, ,因式分解结果不正确因式分解结果不正确. .