2.3.2 平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理1.在平面几何中在平面几何中角角是怎样定义的？是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。复复习习回回顾顾2.在立体几何中，在立体几何中，“异面直线所成的角异面直线所成的角”是怎样定义的？是怎样定义的？ 直线直线a、b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线，分别引直线a /a， b/ b，我们把相交直线，我们把相交直线a 和和 b所成的锐角所成的锐角 （或直角）叫做异（或直角）叫做异面直线所成的角面直线所成的角. 3.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角是怎样定义的？是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角线和这个平面所成的角. 范围：范围：( 0o, 90o 范围：范围： 0o, 90o 空间两个平面有空间两个平面有平行平行、相交相交两种位置关系两种位置关系.对于两个平面平行，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识有进一步的认识.在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将将三维空间的角转化为二维空间的角三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画，即平面角来刻画.接下来，我接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题们同样来研究平面与平面的角度问题. 两个相交平面的相对位置是由这两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的两个平面所成的“角角”来确定的来确定的我们常说我们常说“把门开大些把门开大些”，是指哪个角开大一些，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？我们应该怎么刻画二面角的大小？(1) 半平面的定半平面的定义义一、二面角的概念一、二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面半平面半半平平面面半半平平面面(2) 二面角的定二面角的定义义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱，每个半平面叫做，每个半平面叫做二面角的面二面角的面棱棱面面面面平卧式：平卧式：直立式：直立式：l lAB (3) 二面角的画法和记法：二面角的画法和记法：面面1棱面棱面2点点1棱点棱点2二面角二面角 l 二面角二面角 AB 二面角二面角CAB DABCD直立式直立式 3 3、举出二面角的实例，并画出二面角。、举出二面角的实例，并画出二面角。平卧式平卧式二面角画法二面角画法 由由上上可可知知：各各二二面面角角的的“张张角角”不不同同，那那么么如如何度量二面角的大小呢？何度量二面角的大小呢？ AOlB(4) 二面角的平面角二面角的平面角ABO以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于在两个面内分别作垂直于棱的两条射线棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. .如图，如图， ，则，则AOB成为二面角成为二面角 的平面角的平面角. 它的大小与点它的大小与点O的选取无关的选取无关.二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱角的顶点在棱上角的顶点在棱上角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内10质疑二质疑二:在二面角的平面角的定义中在二面角的平面角的定义中O点是在棱上点是在棱上任取的，那么任取的，那么AOB的大小与点的大小与点O在棱上的位置在棱上的位置有关系吗？有关系吗？= 等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）ABAB二面角的平面角大小与点二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。关，只与二面角的张角大小有关。结论：结论：二面角是用它的平面角来度量的，一二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。多少度的二面角。.二面角的取值范围一般规定为：二面角的取值范围一般规定为： 0o, 180o lOAB00。，180180。 (4) 二面角的平面角二面角的平面角二面角的范围为：二面角的范围为：注注1：当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180；平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角，此时称两半平面所在的两，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直个平面互相垂直.OAB定义法定义法垂线法垂线法作棱的垂面法作棱的垂面法一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角 -l- 的的棱棱 l，且与两半平面的交线分别是射线且与两半平面的交线分别是射线 OA、OB，O 为垂足，则为垂足，则AOB AOB 为为二面角二面角 -l- 的平面角的平面角(5) 二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：OAB lOABoAB补充练习：练习：指出下列各图中的二面角的平面角：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDAABCCDDB二面角二面角B-BC-AOEO二面角二面角A-BC-D14正方体AC中（定义法）（定义法）（垂线法）（垂线法）例例1 在正方体在正方体AC1中，中，E为为BC中点，中点，AB1C1DA1BCD1FAB1C1DA1BCD1EGH（1）（2）O1、求二面角、求二面角AB1CB的正弦值的正弦值; 2、求二面角、求二面角EB1D1C1的正切值。的正切值。例例2： 正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，二面角二面角B1-AA1-C1的大小为的大小为_，二面角二面角B-AA1-D的大小为的大小为_，二面角二面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.4590练习A .O解解：则则AD l .sinADO= ADO=60.即二面角即二面角 l 的大小为的大小为60 .在在RtADO中，中，AOAD练练1： 已已知二面角知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的距离为的距离为 ，到，到l的距离为的距离为 4. 求求二面角二面角 l 的大小的大小. lD过过 A作作 AO 于于O，过过 O作作 OD l 于于D，连，连AD， 就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角.back练练 在二面角在二面角- -l- -的一个平面的一个平面内有一条直线内有一条直线AB，它与棱，它与棱 l 所成所成的角为的角为45，与平面，与平面所成的角为所成的角为30，则这个二面角的大小是，则这个二面角的大小是_.45或或1352： 如图，如图，M是正方体是正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱AB的中点，求二的中点，求二面角面角A1MCA的正切值的正切值ABCDMA1B1C1D1NH思路分析：思路分析：找基面找基面找基面的垂线找基面的垂线 AA1作作平面角平面角 作作AHCM交交CM的延长的延长线于线于H，连结连结A1H平面平面ABCD解：解：作作AHCM交交CM的延长线于的延长线于H，连，连 结结A1HA1A平面平面AC，AH是是A1H 在平面在平面AC内的射影，内的射影，A1HCM，A1HA为二面角为二面角A1CMA的平面角的平面角设正方体的棱长为设正方体的棱长为1M是是AB的的中点，且中点，且AMCD，则在则在直角直角AMN中，中，AM = 0.5，AN= 1，MN = backCDHG6003003：如图，山坡倾斜度是：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路度，山坡上一条路CD和坡底和坡底线线AB成成30度角度角.沿这条路向上走沿这条路向上走100米，升高了多少米，升高了多少? AB练习一、计算二面角的关键是作出二面角的平面角，其作法主要有：(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面角的平面角(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角二、求二面角的思路是 “一作、二证、三算”如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？二、二、平面平面与平面垂直的判定与平面垂直的判定文字语言：如果一个平面经过另一个平面文字语言：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这两个平面的一条垂线，那么这两个平面 互相垂直互相垂直面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理符号语言符号语言： AB图形语言：图形语言：该定理作用：该定理作用：“线线面垂直面垂直面面垂直面面垂直”应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线. 证明：证明：CDABE在平面在平面内过内过B点作直线点作直线BECD，则则ABE就是二面就是二面角角- -CD- -的平面角，的平面角，设设=CD，AB在在上，上，则则BCD.AB，CD ，ABCD.AB，BE ， ABBE. 二面二面角角- -CD- -是直是直二面角，二面角，.abackABCPO O证明：证明：由由AB是圆是圆O的直径，可得的直径，可得ACBC平面PAC平面PBC例例1: 如图，如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，PA垂直于圆垂直于圆O所在的平所在的平面于面于A，C是圆是圆O上不同于上不同于A、B的任意一点的任意一点.求证：平面求证：平面PAC平面平面PBC练习例例2、已知直线、已知直线PA垂直正方形垂直正方形ABCD所在的平面，所在的平面，A为垂足。为垂足。求证：平面求证：平面PAC 平面平面PBD。证明：证明：ABDPCO例例3： ABCD是正方形，是正方形，O是正方形的是正方形的中心，中心，PO平面平面ABCD ， E是是PC的中点，的中点，求证求证：(1) PC平面平面BDE； (2)平面平面PACBDE.POABCDEB BC CD DA A2.2.如图所示：在如图所示：在RtABCRtABC中，中，ABC=90ABC=900 0 ,P ,P为为ABCABC所在平所在平面外一点，面外一点，PAPA平面平面ABCABC，你能发现哪些平面互相垂直，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？为什么？PABCPABCABCDA1B1C1D1作业作业1： 正正方体方体ABCDA1B1C1D1中，中， 求求证：证： ABCDE2：1.1.如图，正方形如图，正方形SGSG1 1G G2 2G G3 3中，中，E E，F F分别是分别是G G1 1G G2 2，G G2 2G G3 3的中点，的中点，D D是是EFEF的中点，现在沿的中点，现在沿SESE，SFSF及及EFEF把这个正方形折成一个四面把这个正方形折成一个四面体，使体，使G G1 1，G G2 2，G G3 3三点重合，重合后记为三点重合，重合后记为G- SEFG- SEF，则四面体，则四面体S SEFGEFG中必有中必有( ). ( ). (A)SGEFG(A)SGEFG所在平面所在平面 (B)SDEFG(B)SDEFG所在平面所在平面 (C)GFSEF(C)GFSEF所在平面所在平面 (D)GDSEF(D)GDSEF所在平面所在平面SG1G2G3EFDSG1G2G3EFDSEFGDSGEFGSGEFG所在平面所在平面. .故选故选A.A.EFback练练2 在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AB=2， BC=BB1=1， E为为C1D1的中点，求二面角的中点，求二面角 E-BD-C的大小的大小.AA1BB1CC1DD1EMFback 3：如图，在长方体：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为为D1C1的的中点，求二面角中点，求二面角EBDC的大小的大小AA1BB1CC1DD1E思路分析：思路分析：找基面找基面 平面平面BCD作作基面的垂线基面的垂线 过过E作作EFCD于于FF作作平面角平面角 作作FGBD于于G，连结连结EGG解：解：过过E作作EFCD于于F，于是，EGF为二面角EBDC的平面角BC = 1，CD = 2，而EF = 1，在EFG中 ABCDA1B1C1D1是长方体，是长方体， EF平面平面BCD，且，且F为为CD中点，中点，过过F作作FGBD于于G，连结连结EG，则，则EGBD（三垂线定理）三垂线定理）M练习PABC思路分析：思路分析：找基面找基面找基面的垂线找基面的垂线作平面角作平面角平面平面ABC取取AB的中点的中点M，连结连结PMM由己知AB2 = AC2 + BC2，ACB是直角N取取AC的的中点中点N，连结连结MN、PNMNBCMNBC，ACBCACBC，MNACMNAC，由三垂线定理知由三垂线定理知PNACPNACMNPMNP就是二面角就是二面角P PACACB B的平面角的平面角PA = PB = PC，PAMPCMPMAM，PMCM，PM平面ABC连结CM，AM = BM = CM，4.已知已知ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面是平面ABC 外一点外一点,且且PA=PB = PC = AC = 8, 求二面角求二面角PACB的平面角的正切值的平面角的正切值.back练练 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？