冀教版小学数学六年级下册电子教学设计主备人田庆第一单元生活中的负数第一课时了解天气预报中的负数教学目标：1、经历从天气预报中理解信息、表达信息并回答有关问题的过程。2、了解天气预报图中数字信息的实际意义，会用数学符号表示气温。3、对天气预报中的数学信息有好奇心，体验数学与日常生活的密切联系。教学重点：了解天气预报图中数字信息的实际意义，会用数学符号表示气温。教学准备：提前看气象预报模仿预报员播报教学过程：一、趣味导入学生模仿预报员播报天气预报(1)有的学生可能播报1 (5 ( ( 2 )有的可能报出最高温度和最低温度抓住这两种播报方法让学生谈谈这两种记法有什么不同？二、教学新知：1、我们就用这两种方法来现场播报以下四个城市的天气预报，多媒体出示图片2、交流表示的意思，让学生用语言描绘一下哈尔滨和海口的景色，感受一下两个地区的差异和冷热程度。3、提问：4 ：教师介绍有关温度、零摄氏度的有关知识：温度表示冷热诚度天气预报中的气温是指空气的温度，科学家把一个标准大气压下，水结冰时的温度为0 沸水的温度定为l O O t , - 3 (表 示 比0低3 C读作零下3摄氏度。提问：- 5。 (2表示什么意思？ 9 P标是什么意思？5、发给学生表格，让学生记录这四个城市的天气预报数据6、投影出示资料表让学生观察资料表，提问： “ 你了解到那些信息？ ”或者说你发现的问题？(1)这四个城市最高气温低的是哈尔滨，最低气温的得也是哈尔滨因此哈尔滨这个城市很冷。( 2 ) T ( T C与- 1 5寸相差5(说到这的时候可以顺便告诉学生这叫温差。北京的温差是多少？( 3 ) - 1 0 (与5 (相 差1 5摄氏度。要提问学生你是怎么想的？做几个练习- 3摄氏度与2摄氏度相差多少？你怎么想的？ 1 7摄氏度与4摄氏度相差多少？(4)让学生从高到地排列着四个城市的最高温度。按从低到高排列最低温度。(5)还可能说通过气温知道哈尔滨在我国的北方。让学生说说你是怎么知道的？简单的介绍我国的地理位置， 提问海口在我国那边呢？(6)还可能说-1 5 (与-3 (让学生说说是怎么想的？以上设想如果学生不能说教师可以进行提问。7、出示例2的天气预报图( 1 )找一名同学播报一下天气预报，根据书中提供的信息自己把这几个城市的气温整理在表中。 ( 培养学生做题的方法，和提高学生统计整理能力。)( 2 )回答书中的问题并让学生写在书上，集体订正。书中第四题的第三个订正时学生说说怎么想的？8、完成试一试的题让学生自己完成然后全班交流。三、巩固练习1、出示第一题让学生读下面的温度2 7 - 1 1 0 - 2 2 3 9 扩展延伸让学生找出最低温度和最高温度2、让学生自己完成全班交流3 0摄 氏 度 零 下8摄 氏 度 零 下1 0摄 氏 度1 5摄氏度扩展延伸：让学生从高到低排列。3、第三题让学生课下完成四、小结：通过这节课你学到了什么？让全体同学根据大家的交流情况和自己的回忆把本课的知识点记录在书中空白处。板书设计：生活中的负数- 3 (读作：零 下3摄氏度3 P读作：3摄氏度相差6 ( TC读作：零摄氏度教学后记：通过对城市气温的比较，让学生明白什么是最高气温和最低气温。第二课时初步认识正负数和整数教学目标：1、借助温度计，经历认识正、负数，用直线上的点表示及认识整数的过程。2、初步了解负数的意义，会读、会写负数；知道整数包括正整数、零和负整数，能用直线上的点表示整数，会比较简单整数的大小。3、积极参加数学活动，对负数充满好奇心，感受借助直观模型理解数学的作用。教学重点：了解负数的意义，会读、会写负数。教学难点：了解负数的意义及。的内涵。教学过程：一、游戏导入，初识负数玩游戏：师生互动：玩 “ 锤子、剪刀、布”的游戏，向全班同学汇报自己的输赢结果。经历符号化的过程：生汇报：我赢2次，输2次 板 书( 2 2 )师：输和赢它们的意思正好相反，老师这样记录能表示出这是两个意思相反的量吗？生：不能师：怎样记录才能让人一眼就分清这是两个意思相反的量？下面请大家用喜欢的方式来表示。3、展示学生记录材料生1 ：笑脸2哭脸2生2 ：箭头向上2箭头向下2生3 ：赢2输2生 4 ： + 2 - 24、师生共同交流比较，感受负数产生的必要性。人们为了记录方便，在数学中就规定了这种符号表示具有相反意义的量。 （ 板 书 ：十、一 ）5、认识正、负数。师：你知道像上面的数叫什么？ （ 正 数）+ 2怎么读？师：像下面的数呢？ （ 负数）板书- 2怎么读？师板书：负 数 正 数-2 + 26、快速抢答，说说下面的数是正数还是负数：- 100、+ 15、 - 15、 3 6、 0讨 论 ：（ 1） 3 6是正数还是负数？ （ 认识正数为了简便 “ + ”可以省略不写）正 数 去 掉 “ + ”，我们熟悉吗？负 数 去 掉 “ - ”行不行？（ 2 ）。呢 设 置 悬 念7、揭示课题：生活中的负数二、探究气温中的正数和负数，进一步认识负数1、出示某日气象预报数据：哈尔滨- 15寸3七 、北京-5 （ 5 、上海 0 8 、海口 12 2 0这几个温度哪些是负数温度？谁能用负数的读法读一读？2、生活中用什么测量温度？ （ 出示温度计模型）你了解温度计的什么知识？生1：每 格 代 表1生2 ：零上的温度用正数表示，零下的温度用负数表示。生3 ：师：零上温度和零下温度是以谁为分界的呢？ （ 0）科学家把自然状态下水刚开始结冰的温度定为0。3、小组讨论：零上温度都用正数表示，零下温度都用负数表示。那 。呢？它算什么？是正数？负数？既不是正数也不是负数？师讲述：。既不是正数也不是负数4、巧用温度计，进一步理解负数的意义。（ 1） 5 （在哪儿？怎样才能准确找到一5 （在温度计上的位置 ？是从哪儿开始数，往哪个方向数？（ 2 ）出 示5 （图，这是多少？你怎么看出来的？（ 3 ） 一5 和5 有什么不同？（ 4 ） 一5。 （2和-15 （哪个温度更冷？三、生活中的应用。1、写数：王 叔 叔 从5楼乘电梯，电 梯 显 示 （ ）层；到 地 下1层去取车，电梯显示（）层。2、 （ 黄山、吐鲁番海拔与海平面对比示意图）3、解释生活中的负数所表示的含义。出示存折4、下面每格表示1米，小华刚开始的位置在0处（ 数轴）（ 1）小华从。点向东行5米，表示为+5米，那么向西行3米，表示为（ 2）如果小华的位置到了+ 7米，说 明 他 向 （ ） 行 （）米（ 3）如果小华的位置到了- 8米，说 明 他 向 （ ） 行 （ ）米四、总结教学后记：教学中，借助温度计这个学生熟悉的事物和对气温数据的理解，初步认识负数的意义，学会比较简单整数的大小。第三课时进一步认识负数，用负数表示熟悉的事物教学目标：1、结合熟悉的事例，经历用正、负数表示生活中简单事物的过程。2、进一步认识负数，初步体会用正、负数可以表示意义相反的量并会运用。3、感受数学与生活的密切联系，体会用正、负数表示事物在现实生活中的意义。教学过程：一、 自主学习珠峰、吐鲁番盆地的海拔表达方法，进一步认识正数和负数。1 . 师 ：同学们你们知道吗？世界第一高峰一一珠穆朗玛峰从山脚到山顶，气温相差很大，这是和它的海拔高度有关的。珠峰的海拔高度是多少？谁来读一读这段介绍。2 .今天老师还带来一张珠穆朗玛峰的海拔图， 请看。 从图上,你看懂了些什么？ （ 把自己的观察发现先放在心里）3 .我们再来看x疆的吐鲁番盆地的海拔图。你又能从图上看懂些什么呢？ （ 引导学生交流，回答珠穆朗玛峰比海平面高8844米;吐鲁番盆地比海平面低155米）。4 .对，珠穆朗玛峰比海平面高，吐鲁番盆地比海平面低。在现实生活中有许多地方会用到负数，请看这是妈妈1 2月份家庭收支记录。 （ 打开书）二、设计记事卡1、观察收支记录，了解其中的内容。2、讨论有没有更好的记录方法。3、提 出 “ 设计一张记事卡，记录家庭收支情况”小组合作完4、交流设计记事卡。5、评价学生设计的记事卡，说一说各有什么特点，使学生了解，用负数表示支出钱数的记录方式较简单。三、典型事例师：在实际生活中还有许多事情可以用正、负数来表示。1、教师介绍教材中用正、负数表示的典型问题。2、你还知道生活中有哪些事情可以用正、负数来表示。四、练一练1、让学生自己填空。2、先了解养鸡场的记录内容，其次设计表格，最后交流设计的表格，鼓励学生算出目前有鸡蛋的千克数。3、鼓励学生给自己家设计一张记事卡。五、问题讨论1、先看图了解奶奶取款时发生了什么情况？2、讨 论 “ 结余- 2 0 0元”是什么意思？3、推算一下奶奶卡上原来有多少钱？教学后记：通过吐鲁番盆地、楼房地下层等典型事例，让学生了负数在现实生活中的应用；设计记事卡，使学生了解可以用正负数表示收入和支出，让学生明白正数和负数表示相反意义的量。第四课时用正负数表示生活中的问题教学目标：1、结合具体事例，经历进一步认识负数、用负数表示事物的过程。2、 能根据一定的标准用正、 负数表示实际问题中的有关数量。3、感受负数在生活中的应用，认识到许多实际问题可以借助正、负数来表达和交流。教学过程：一、自主学习数学竞赛，进一步认识正数和负数。1 . 师 ：同学们某班利用课余活动举办“ 兔博士”数学竞赛，我们去看看吧。谁来读一读2 . 从图上，你看懂了些什么？ （ 把自己的观察发现先放在心里）3 .提 出（ 1 ）的要求，让学生独立完成。4 .交流学生用正数、负数表示的结果。5 .提 出（ 2 ）的要求，让学生自己计算并填空。6 .交流三个队的得分，重点让学生说一说是怎样计算的。二、质量检查1、让学生了解一袋糖的标准质量和七袋糖抽样检测的结果，知道用正、负数和。表示每袋白糖和标准质量相比的要求，然后自己填表。2 、交流填表的结果，重点说一说是怎样做的。3 、提出兔博士的问题，让学生发表自己的意见。三、练一练1 、先让学生了解6名同学的体重并计算他们的平均体重。再自己完成（ 2 ）题，最后交流。2、 让学生利用小组同学的身高进行练习。教学后记：教学中，我给学生充分的自主学习、交流的空间，使学生体验正负数与现实生活的联系；通过讨论 5 g ”表示的意义，进一步丰富学生的生活经验，体会用数学表示和交流问题的意义和价值。第二单元位置第一课时用数对确定位置教学目标：1 . 使学生在具体情境中认识列、行的含义，知道确定第几列、第几行的规则，初步理解数对的含义，会用数对表示具体情境中物体的位置。2 .使学生经历由具体的座位抽象成用列、行表示的平面图的过程，提高抽象思维能力，发展空间观念。3 . 使学生体验数学与生活的密切联系，进一步增强用数学的眼光观察生活的意识。教学重点：使学生在具体情境中认识列、行的含义，知道确定第几列、第几行的规则，初步理解数对的含义，会用数对表示具体情境中物体的位置。教学难点：结合生: 情境，使学生体验确定位置的重要性。教学准备：教学情境图、多媒体课件教学过程：一、设境置疑，产生需要1 .课件出示：例1的情境图。师：自从上学的第一天开始，老师就为我们安排了位置，这里是某个班级的座位图，从图中你知道到了什么？ 学生自由回答，教师给予肯定。师：如果有个小朋友叫小军( 课件演示) ，你能说说他坐在哪里吗？指名学生回答。如果我们不知道小军的具体位置，听了刚才同学们的发言，能顺利地找到小军的位置吗？你觉得用这样的方法描述小军的位置有什么缺点？ ( 不够清楚，比较麻烦)2 . 揭示课题并板书。师：用我们以前学习过的知识描述小军的位置，显得不够规范或比较麻烦。怎样才能正确、简明地说出小军的位置呢？这节课我们就来研究确定位置的方法。 设计意图：通过呈现学生比较熟悉的教室里有序排列座位的场景，引导学生借助已有经验尝试描述小军的位置，然后通过交流，引发学生产生用一致的方式表示位置的需要。二、逐步抽象，掌握方法1 .教学用数对表示位置。出示自学方案：(1)什么叫做列？ 什么叫做行？(2)一般情况下，如何确定第几列？如何确定第几行？(3)请你举例说明怎样用数对来确定位置？学生自学课本，同桌交流讨论，全班汇报。(1)交流汇报学案：列、行的含义和确定第几列、第几行的规则。谁能说说什么叫做列？什么叫做行？指名学生回答。谁能根据情境图具体说说怎样确定第几列、第几行？指名学生回答，教师小结。实际上，在确定位置时，竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。教师从图中指列、行，追问：这叫什么？这是第几列？这是第几行？指 第 1列 第 1行的同学问： 这一位同学在第几列第几行？那么小军位置是在第几列第几行？( 2 ) ( 课件出示) 抽象图。如果把每个学生的座位用圆圈表示， 每一行有几个圈呢？ 一共要画几列呢？演示抽象图：第 5 行 OOOOOO第 4 行 OOOOOO第 3 行 O O第 2 行 O O第 1 行 O O第 第 第 第 第1 2 3 4 5 6列 列 列 列 列OOO第列 OO OO OOOO交流：图中的第1 列在哪里？ ( 课件演示“ 第 1 列”，再依次演示第2 列、第 3 列)第 1 行呢？ ( 课 件 演 示 “ 第 1 行” ， 再依次演示第2 行、 第 3 行)小军坐在第几列第几行呢？同桌合作，一人指图中某个学生，另一个人说他在第几列第几行？然后再交换角色练一练。 设计意图：先通过学生自学课本，完成学案，再让学生分组讨论交流，认识场景图中的竖排和横排，然后把具体的场景图逐步抽象成圆圈图，为后面教学作了孕伏和铺垫。同时，借助于多媒体课件，形象直观地帮助学生理解规则，一切显得水到渠成。( 3 ) 用数对表示位置。其实，小军坐在第4 列第 3 行，在数学上可以用数对来表示。讲解：数对有两个数，其中第一个数表示第几列，第二个数表示第几行，它们前后的顺序是不能颠倒的，并且要用括号把列数与行数括起来，并在列数和行数之间写上一个逗号，把两个数隔开。比如小军的位置是在第4 列第3 行，所以我们应先写列数4 , 再写行数3,并用括号括起来，再用逗号隔开来。边讲边完成板书：数 对 (4, 3)这个数对就表示小军的位置，我们把这个数对读作“ 四三”。想一想：这个数对(4, 3)表示什么意思? 数对中的4 表示什么意思？ 3 呢？同桌一同学指抽象图中任意一个圈，让另一位同学用数对表示。 设计意图：借 助 “ 第几排第几个” “ 第几组第几个”的描述，到用数对(4, 3)表示小军的位置，形成鲜明对比，将数对的简约性、准确性、抽象性鲜明、直观的展示在学生面前，由此促使学生深刻感受到用数对表示位置的优越性， 进而对“ 抽象地表达问题、 思考问题”的优越性获得深刻的体会。2 .完 成 “ 练一练”。( 1 ) 学生在书上完成1、2 题。你能找到第2 列第4 行的位置吗？用数对怎样表示？(2) (6, 5 ) 表示什么呢？是图上的哪个圈？三、联系实际，加深理解1 .用数对表示教室里的位置(1)谈话：刚才我们用数对很快确定了圆圈图上的位置，那么在教室里，同学们的位置是在第几列第几行，用数对怎样表示呢？(2)明确教室里的列和行。如果站在老师的角度来观察同学们的位置， 想一想第1列应该在哪里？ 第5列在哪里？ 第8列呢？列我们已经清楚了，那 第1行在哪里呢？ 第4行呢？ 请 第1列 第1行的同学站起来。(3)用数对确定位置。观察一下数学课代表的位置，看看是在第几列第几行，用数对怎样表示？你的位置在第几列第几行，怎样用数对表示呢？ 先自己想一想再告诉你的同桌。猜同学：在我们教室里有个同学的位置用数对表示是(3, 4 ),猜一猜他是谁呀？猜好朋友：现在你不用告诉大家你的好朋友是谁，你用数对把你好朋友的位置表示出来，让大家猜猜他是谁。 设计意图： 因为圆圈图中的位置和实际教室里的位置稍有不同，所以教师加强了指导作用。然后，通过用数对描述数学课代表位置、自己位置的活动，以及根据数对猜同学、猜好朋友的活动，让学生结合教室中的位置，进一步巩固对列、行和数对的含义的认识。2 .用数对表示装饰瓷砖的位置(1)谈话：在生活中的很多现象都用到了数对的知识。( 课件出示练习三第2题瓷砖图) 这是小明家厨房的一面墙上贴着的瓷砖，你能用数对表示这四块花色瓷砖的位置吗？(2)你能说说第3列的两块瓷砖有什么共同特点吗？第4行的两块瓷砖用数对表示位置时，它们又有什么相同的地方？( 3 )仔细观察这四块花色瓷砖的位置和表示的数对，你发现什么规律？同一列的两块瓷砖，数对中的第一个数相同；同一行的两块瓷砖，数对中的第二个数相同。3 .完成第3题。 ( 课件出示)( 1 )独立完成用数对表示每一块花砖的位置。( 2 )在小组中交流花砖位置的排列有什么规律？( 3 )汇报交流结果。 设计意图：练习的形式活泼有趣，富有开放性和人文性，既拓宽了学生的知识面， 又能让学生体会数对对确定位置的方法的应用价值。在活跃课堂气氛的同时，更有效地巩固了用数对确定位置这一新知识。四、拓宽视野，提高兴趣1 .介绍( 1 )用经线和纬线确定地球上任意一点位置的方法。( 2 )部分城市的地理位置， 如： 北京在北纬3 9。5 7 ,， 东 经H 6。2 8 ；连云港在北纬3 4 . 7 ,东经度1 1 9 . 5( 3 )经度和纬度在航海、航天、气象、军事等方面的运用。 ( 课件出示相关图片)2 .课外作业:数对的知识在生活中的运用很广泛， 有兴趣的同学课后可以通过上网、看书等方式搜集这方面的资料。 设计意图：结合数对介绍地球仪上的经纬线的知识，拓宽了学生的知识视野，有利于学生充分体验数对知识的广泛应用。布置的作业由课内向课外拓展，可以使学生将书本知识与生活实际进行链接，感受数学与生活的密切联系，将数学思考引向深处。五、课堂总结， 再现知识通过今天的学习， 你有什么收获？你认为学习用数对确定位置的方法对你以后有什么指导作用呢？第三单元正比例反比例第一课时认识正比例教学目标：1、结合具体实例，经历认识成正比例的量的过程。2、知道正比例的意义，能判断两种量是否成正比例关系，能找出生活中成正比例的实例，并进行交流。3、对显示生活中成正比例关系的事物有好奇心，在判断成正比例量的过程中，能进行有条理的思考。课前准备：实物投影、小黑板。教学过程：一、问题情境1、师生谈话：师：同学们，随着社会的发展和道路的建设，汽车是越来越多，我想咱们很多同学都坐过汽车，你们知道汽车每小时行驶多少千米吗？学生可能会有不同的意见，学生说的有道理就给予肯定，对超出1 5 0千米的进行安全教育。如：车跑得太快，容易出现问题，高速公路上一般限速1 2 0千米等。师：谁知道汽车上用什么记录跑的距离呢？学生给不出，教师介绍。师：汽车有一个装置，是专门记录汽车行驶的路程的，这个装置就是里程表。板书：里程表2、 用课件展示教材上的问题情境， 让学生了解情境中的数学信息，并计算出汽车1小时行驶多少千米。启发学生解释计算的合理性。师：请大家看课件。课件展示汽车8点开始行驶到9点停止时里程表上数字的变化。师：从刚才的资料中，你了解到什么情况？学生可能会说：汽车8点开始行驶，9点停车，行驶了 1小时。汽车行驶时，里程表上的数字是872 4千米，汽车停止时里程表上的数字是881 4千米。3、提 出 问 题（ 2 ）的要求师生共同完成。师：你们观察的很仔细！ 它就是汽车的里程表。根据里程表上的数字，能计算出“ 汽 车1小时行了多少千米吗？ 怎样算？谁能说一说为什么这样算？说的真好，请同学们算一算，这辆汽车1小时跑了多少千米？学生口算，教师板书：881 4 - 872 4 = 90 （千米）4、让学生观察表中的数据，说一说发现了什么？用小黑板出示空白表格。学生边答，教师边填数。师生共同完成表格。师：观察表格中的数据，你发现了什么？学生可能会说：每增加1小时，路程就增加90千米；在这个过程中速度是不变的，都是每小时90千米。时间越长，所行驶的路程就越长。二、认识成正比例行程问题1、师：现在请大家写出相对应的路程和时间的比，并求出比值。师生共同完成，板书结果：2、观察写出的比和求出的比值，交流发现了什么？教师说明：90既是比值，又是速度，然后得出比值都是90的结果。师：观察写出的比和比值，你发现了什么？学生可能回答：比值都是90。比值都相等。比值就是汽车的速度。师：同学们说得很好，这个90 ,既是路程和时间的比，也是汽车的速度。师：我们以前学过路程、时间和速度的数量关系式：速度X时间=路程。根据刚才写出的比和比值，还可以写出一个关于路程、时间和速度的关系式，谁来说说是什么？3、在教师的启发下，由学生归纳出路程、时间和速度的关系式：路程/ 时间= 速 度 （ 一定） 学生说，教师板书。师：这个关系式中，什么量是变化的，什么量是不变的？预设：在这个关系式中路程和时间是变化的，速度是永远不变的。师：速度永远不变，就是说速度是一定的。在关系式后面写出一定。4、提 出 “ 议一议”的问题，鼓励学生用自己的语言说明。结合行程问题，教师参照教材上的表述介绍路程和时间这两种量成正比例。师：谁来说说在速度一定的情况下，路程和时间有什么关系？购物问题1、师：在行程问题中，路程随着时间的变化而变化，时间增加，路程也就随着增长；反之时间减少，路程也就随着缩小。而且，路程与时间的比值一定也就是速度一定。 我们说路程和时间这两种量成正比例。这就是我们今天要学习的新知识：正比例。板书课题：正比例。2、让学生观察表中的数据，说一说发现了什么？鼓励学生，写出总价、数量和单价的关系式：总价/ 数量= 单 价 （ 一定） 师：在行程问题中，当速度一定时，路程与时间成正比例。生活中还有很多类似的问题，比如：购物问题。请大家看小黑板：小黑板出示：师：买一支自动笔1 . 6元，请同学们算一算买2支、3支、5支、6支、7支、8支各花多少钱？学生计算完后，指名说计算结果，教师填在表格中。得出下表：师：观察表中数据，你发现了什么规律？学生可能会说：买自动笔的数量越多，花的钱就越多。单价一定，也就是花的钱数和买自动笔支数比值一定。买自动笔的数量越少，花的钱就越少。花的钱数和买的数量是成比例的量。师：说得很好。那你能像路程问题一样写出一个式子表示总价、数量和单价之间的关系吗？试一试！学生自主尝试，然后指名交流，教师板书：3、提 出 “ 议一议”的问题，让学生判断并得出：花的钱数与买笔的数量这两种量成正比例。 师：买自动笔的总价和买自动笔的数量这两种量成正比例吗？为什么？谁能用一句话说出总价和数量的关系呢？4、师：请同学们分析一下上面的两个例子和数量关系式，你们发现它们有什么共同点？5、教师参照教材概括正比例关系：像上面两个问题中，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做正比例关系。读一读， 并想一想判断两种量是否成正比例关系， 需要哪些条件？给学生一点时间让其认真阅读教材。6、提出：成正比例关系的量需要具备哪几个条件？给学生充分发现的机会。 师：我们已经知道什么叫做成正比例关系的量。谁来说一说两个成正比例关系的量需要具备哪几个条件？学生可能会说：这两个量的比值一定。一个量扩大，另一个也按比例扩大，一个量缩小，另一个量也按比例缩小。这两种量是关联的。一个量扩大，另一个量也成倍数增加。三、尝试应用让学生看“ 试一试”中的题，先自己判断并和同学交流，然后指名回答。重点指导学生用正比例的定义进行判断。师：同学们说得很好，看来判断两个量是不是成正比例关系，只看有关系还不行，关键要看这两个量相除的商是不是一定。四、课堂练习1、练一练。先让学生自己判断，再交流，说明判断结果和理由。给学生用不同表述进行判断的机会。2、教师谈话并提出蓝灵鼠的问题，让学生举例并说明理由。 师：刚才我们判断了两种量是否成正比例，生活中还有许多成正比例关系的例子和同学交流一下。 （ 学生可能会说出许多，只要合理，就给予肯定）第二课时画图表示正比例的量教学目标：1、结合具体实例，经历判断两种量是否成正比例， “ 在方格纸上表示数据”。并回答问题的过程。2、能根据给出的正比例关系的数据在方格纸上画图，能根据其中一个量的值估计另一个量的值。3、体会用图描述事物的直观性，认识到成正比例关系的问题可以借助画图解决。课前准备：白板、课件教学过程：一、创设情境师：上节课我们认识了成正比例的量，谁能用自己的话说说什么样的两个量才是成正比例的量。学生可能会说：两种相关联的量，比值一定也就是两个量相除的商一定。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也按比例变化。学生只要说得有道理，就给予肯定。2、 用小黑板出示“ 彩带每米4元” 和空白表格， 师生共同完成。小黑板出示下面内容：每米彩带4元，填写下表。师：每米彩带4元是什么意思？。米是什么意思？买 。米花多少钱？那 买1米呢？ （ 师生共同把表填完整）3、提 出 问 题（ 1 ）,师：谁来说一说，买彩带的长度和需要的钱数是否成正比例关系？说出理由。二、解决问题1、出示空白方格图，让学生观察，并介绍横轴和竖轴。师：你们判断得很准确，观察也很细心！其实表中的数据还可以在方格纸上表示出来，请大家看黑板。小黑板出示空白的方格图。师：观察这个方格图，你发现了什么？学生可能会说：方格图下面有一条横着的射线， 方格图的左边有一条竖着的射线。如果学生说出数轴，给予表扬。2、教师介绍横轴竖轴的作用并写出有关数据。师：老师告诉你们一个新知识，这个知识本来是到中学以后才学的，可老师看咱们班同学都这么爱学数学，所以就提前告诉你们吧。这样图上的两条直线有一个名字叫做数轴。板书：数轴师：横着的这条直线叫做横轴，竖着的这条直线叫做竖轴。师：下面老师再告诉你们，怎样在这个方格图上表示数。首先用横轴来表示所购买的米数，用竖轴来表示所花的钱数。边说边在两条轴 上 标 （ 米）和 （ 元）。3、采取先讲解，学生再尝试的方法，师生共同完成。 师：下面在横轴标出购买彩带的米数。教师在横轴标出1、2、3、4、5、6、70师：在竖着的直线上标出买1到7米所花的钱数。大家看，每米彩带4元第一个格写4 ,也就是每格表示4元。那么，第二格应该写8 ,第三个格呢师生共同写出竖轴上的数。4、师：有了这个表格，我们就可以把上面表格中的数据用方格上的点表示出来。如 买1米彩带花4元钱，我们就在横轴的“ 1 ”和竖轴 的“ 4 ”交叉处描一个点。教师边说边描出一个点。师：这个点就表示买1米彩带花4元钱。谁知道买2米彩带花多少钱？在哪描点表示？学生说不完整，教师表述。依次完成买3米、4米、5米、6米7米的各点。师：看一看，表格中的数是不是都在方格图上表示出来了？学生可能有不同的说法，必要的话可以让学生亲自指一指。然后在“0”处描出点。师：现在，请同学观察我们描出的这些点，你发现了什么？学生可能会说：所有的点都在一条直线上。连接各点就画出一条直线。师：我们把描的点连起来，你发现了什么？5、讨论：买1.5米、2. 5米彩带所花的钱数是不是都可以在直线找到相应的点？师：成正比例关系的两种量，在方格图上画出以后，各点都在一条直线上。老师有一个问题：买1米、2米、3米这些整米的点都在这条直线上，那 买1 .5米、2. 5米彩带所花的钱数能不能在这条直线找到相应的点？ （ 得到肯定性答案）师：对 ！当每米彩带4元这个单价不变时，买任意长度的彩带所花的钱数与彩带的长度都成正比例。所以，买任意长度的彩带都可以在这条直线上找到与所花钱数的对应点。下面，我们一起看图估计一下，买1.5米彩带大约要花多少钱。板书：买1.5米彩带6、教师介绍看图估计买1.5米彩带花的钱数。师：怎样估计呢？我们先在横轴上找到1.5米，应该在1米和2米的正中间，从这横轴1米到2米中间的这点向上做横轴的垂线，与画出的直线连接的点就是买1. 5米彩带与所花钱数的交叉点。教师边说边在方格图画出虚线和点。7、 让学生看图估计买1.5米彩带花了多少钱，并说一说是怎样想的？ 师：那么，买1.5米彩带到底花了多少钱呢？我们再从这个点向竖轴做一条垂线，在竖轴上的这个交点就是所花的钱数。边说边画虚线和点。 （ 大约需要6元钱）8、让学生自己看图估计买5 .5米彩带花了多少钱？交流时，说一说是怎样做的？三、扩展练习1、教师提出：看图估计1 0元钱能买多少彩带？鼓励学生自主完成。师：已知买彩带的数，同学们能看图估计出所花的钱数。如果老师提出：看图估计1 0元钱能买多少彩带？你能解决吗？试一试！学生独立解决问题，教师个别指导。师：谁来说一说你是怎样估计的？学生交流做法，只要算对，就给予肯定。2、鼓励学生提问题，全班共同解答。四、课堂练习练一练第1题。读题，了解题意后，先让学生完成（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）题，并交流。然后鼓励学生自己提问并解答。学生独立完成，教师巡视指导。师：谁来说说你填表的结果？指名读数，个别订正。师：同桌互相看一看画出的图，有没有不一样的？如果有，进行指导。师：把表示数据的点连起来，你发现了什么？估计一下：3 . 5小时大约行驶多少千米？ 6 . 5小时呢？ （ 3 . 5小时大约行驶2 8 0千米，6 . 5小时大约行驶了 5 2 0米）五、作业练一练第2题。第三课时认识反比例教学目标：1、结合具体问题，经历认识成反比例关系的量的过程。2、知道反比例的意义能判断两种量是否成反比例关系，能找出生活中成反比例量的实例，并进行交流。3、对现实生活中成反比例关系的事物有好奇心，在判断成反比例量的过程中，能进行有条理的思考。课前准备：找 一 本 安徒生童话，把四个人看书表格画在小黑板上（ 图用文字），找一张1 0元人民币。教学过程:一、问题情境1、师：同学们，老师知道你们都喜欢读书，许多同学特别喜欢读童话故事，老师今天带来了一本童话故事书，你们看是什么？出 示 安徒生童话，可了解一下谁读过这本书。师：猜一猜，这本书有多少页？学生猜测，然后实际看一看，说出页数。师：你们知道吗？我们书中的四个同伴都读过这本书，而且记录下了他们每人读书的情况。请同学们看小黑板。小黑板出示：红 聪聪 丫 丫每天看的页数 12 15看的天数15亮亮18 2012 10红92、让学生观察统计表，师：观察这个统计表,些信息？从表中你了解到哪学生可能说出很多，如:亮亮每天看12页，看了 15天。红红每天看15页，看了 12天。聪聪每天看18页，看了 10天。丫丫每天看2 0 页，看了 9 天。丫丫看得最快，只用了 9 天，亮亮看得最慢，用了 15天。二、认识反比例（ 一）读书问题1、师：观察表中的数据，你发现了什么规律？预设:每天看的页数越多，看的天数就越少。每天看的页数越少，看的天数就越多。每天看的页数乘看书的天数，积是一定，都 是 180。第三种意见学生没有提出，教师启发:师：把他们每天看书的页数和看的天数分别乘一下，看发现了什么。 （ 每天看书的页数与看书天数的乘积就是这本书的页数），你们能总结出一个数量关系式吗？根据学生回答，教师随即板书：每天看的页数又需要的天数=书的总页数（ 一定）2、师：谁能用自己的话说一说，当书的总页数一定时，每天看的页数和看的天数之间有什么变化规律？ （ 学生自由发言）师: 在四个同伴看同一本书这件事情中， 看书需要的天数是随着每天看书的页数的变化而变化的，每天看的页数扩大，需要的天数就缩小；反之，每天看的页数缩小，需要的天数就扩大。而且，每天看的页数和需要的天数的乘积一定， 我们就说每天看的页数和需要的天数这两种量成反比例。板书：成反比例的量3、师：像这样两种相关联的量，一种量扩大，另一种量缩小，而且他们的乘积相等的事例，在我们的日常生活中还有许多。下面我们就共同来看一个换零钱的问题。教师出示表格，并拿出一张10元的人民币。师：老师这有一张10张的人民币，如果要把它换成5元的，能换几张？如果换成1元的呢？那要换成5角的，2角的，1角的呢？学生说，教师填在表格中。面值 5元 1元 5角 2角 1角张数 2 10 2 0 5 0 10 0师：仔细观察表中数据，你都发现了什么？学生可能会说：换的钱的面值越大，需要的张数就越少；换的面值越小，需要的张数就越多。表中面值与张数的积是一定的。师：你们能总结出这里的数量关系式吗？学生回答，教师随机板书：钱的面值X张数= 10 （元）4、提 出 “ 议一议”的问题，让学生判断并得出零钱的面值与换的张数这两种量是否成反比例。学生可能会说：10元钱是一定的， 钱的面值和换的张数是变化的， 钱的面值变大,钱的张数就变小；钱的面值变小，张数就变大。钱的总数是一定的，钱的面值与换的张数是是变化的，钱的面值越大，换的张数就越小。反之，钱的面值越小，钱的张数就越多。师：通过看书的事情，我们知道了什么样的两个量叫反比例，现在老师提一个问题： 零钱的面值与换的张数这两种量成反比例吗？为什么？和同桌说一说。学生讨论后，多请几人发言。5、师：现在请同学们分析一下上面的两个例子和数量关系式，你发现它们有什么共同点？学生可能会说：它们都是乘积一定，一个量变大，另一个量变小。师：像上面这样两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量相对应的积也一定，就说这两种量成反比例，这两种量就叫做成反比例的量。它们的关系称为反比例关系。这段话在课本 第13页，请同学们自己读一读。学生自己读书。6、师：我们已经知道了什么叫成反比例关系的量，谁来说一说，成反比例的量需要具备什么条件？学生可能会说：是两个相关联的量。这个量的乘积一定。一个量变大，另一个就变小；一个量变小，另一个就变大。三、尝试应用1、让学生自己判断 试一试”中的三组数量。师：现在，请同学们看“ 试一试”， 自己判断一下，每题中的两种量是否成反比例。同学们可以互相讨论，要说明判断的理由。给学生独立思考、交流的时间。2、 师： 谁来汇报一下你判断的结果， 并说一说判断的依据是什么？重点让学生一说判断的理由，学生如果有其它说法，只要是对的就给予肯定。3、师：我们认识了什么叫做反比例关系的量，你能举一个生活中反比例的例子吗？先和同学交流一下。学生交流，然后指名举例并说明理由。4、师：同学们，今天我们认识了成反比例关系的量，下面请看练一练第1题，自己判断一下，每题中的两种量是否成反比例，要说明理由。给学生独立思考，互相交流的时间，说一说是怎样判断的，结论是什么。学生可能会说：乒乓球的总个数一定，就是说每盒装的个数和需要的盒子乘积一定，每盒装的越多，需要的盒子就越少，反之，每盒装的越少，需要的盒子就越多。所以乒乓球总个数一定，每盒装的个数和需要的盒数成反比例。全班的总人数一定，男生和女生人数是相关联的两种量，但他们不是相乘的关系。学生如果有其他说法，只要意思对，就给予肯定。四、课堂练习1、练一练第1题，先让学生自己读题并判断，然后指名汇报。2、练一练第3题，完成表格再判断，交流时说出自己的想法。五、知识拓展介绍成反比例的量可以用方格纸上的图表示，让学生课下自己阅读。师：在学习正比例的时候，我们知道成正比例关系的量可以在方格纸上画图表示出来， 其实成反比例的量也可以在方格纸上画图来表示。请同学们课下自己看一看知识窗里的内容，了解成反比例的量怎样用方格纸上的图表示。六、作业练一练第 1、 (1) (2) (6) 2 题第四课时正比例、反比例的复习教学目标：1、结合具体事例，经历复习正、反比例的定义，问题讨论及总结数学表达式的过程。2、能判断常见数量关系三种量在某一种量一定情况下，其他两种量成什么比例关系，理解正、反比例字母表达式的含义。3、在讨论、判断正、反比例量的过程中，能进行有条理的思考，并对判断结论做出有说服力的说明。教学过程：一、概念复习。1、师：同学们，我们已经学习了正比例和反比例。谁能说一说什么样的量是成正比例关系的量？什么样的量是成反比例关系的量？（ 说不完整，教师补充）2、师：看来同学们对正比例、反比例的定义都非常清楚了。下面请同学们想一想，成正比例的量和成反比例的量，有哪些相同点？有哪些不同点？先同桌讨论一下。 （ 学生讨论后，指名全班回答）学生可能会说出：相同点：都是两种相关联的量。不同点：正比例是比值一定，一个量扩大，另一个量也扩大，一个量缩小，另一个也缩小。反比例是乘积一定，一个量扩大，另一个量缩小，一个量缩小，另一个量扩大。二、问题讨论。（ 一）购物问题。1、师：同学们对成正比例、反比例量的变化特点有了进一步的认识。下面请同学们看课本第2 5页 表（ 1 ）购买方便面统计表。学生看书。师：表（ 1 ）中给出了什么？根据表中的数据，可以得出哪一个量是一定的？你是怎样知道的？ （ 方便面的单价是一定的，因为7 . 5 个5 = 1 . 5 . 1 5 4 - 1 0 = 1 . 5 ）2、师: 谁能说一说购买方便面的数量和总价是怎样变化的呢？学生可能会说：每包方便面的单价是一定的， 购买的方便面越多， 需要付的钱就越多。总价随着购买数量的增多而增加。方便面的单价一定时，也就是总价和数量的比值是一定的。师：它们成什么比例关系呢？ （ 正比例关系）3、出 示 表（ 2 ）中的数据，师：下面观察表（ 2 ）,看一看表中给出了什么？（ 方便面的单价和购买的数量） 什么是一定的？你是怎样知道的？（ 方便面的总价是一定的。因为1.2X30=1. 8X20=2. 4X15=36（ 元） ）师：谁能说一说方便面的单价和购买的数量是怎样变化的？它们成什么比例关系？ （ 购买方便面的钱数一定时，方便面的单价越贵，能购买的方便面数量就越少，方便面的单价便宜，购买的数量就多。单价与数量的积是一定的，所以它们成反比例）4、师：同学们，用正、反比例的知识已经能够准确地判断实际问题中的比例关系。如果没有具体事例，你能判断当总价一定时，单价和数量成什么比例关系吗？为什么？ （ 反比例关系）教师板书：总 价 （ 一定）=单价X 数量师：当数量一定时，总价和单价成什么比例关系呢？板书：师：如果当单价一定时，总价和数量成什么比例关系呢？ （ 正比例关系）5、教师概括：在单价、数量、总价三个量中，只要知道其中一个量不变，就能判断出其他两个量成什么比例关系，并引出行程问题。 师：单价X 数量=总价是我们常见的一种数量关系，通过上面的讨论，我们知道，只要知道其中一个不变的量，就可以判断出其他两个量成什么比例关系。在数学学习中，我们还有其他一些常见的数量关系。下面，请同学们看课本第2 题。 （ 给学生一定的时间观察表格并思考）（ 二）行程问题。1、 师： 从小明行驶时间与路程的问题中， 你知道了什么是不变的？怎么知道的？ （ 行驶的速度是不变的）2、师：谁来说一说路程和时间这两个量成什么比例关系？用比例的定义说明理由。板书：3、师：谁还能说一说路程、时间、速度这三个量中，哪个量一定,其他两个量还能成正比例关系？要说明理由，同桌互相讨论一下。指名回答，学生可能会说：当时间一定时，路程和速度成正比例。因为时间一定就是路程和速度的比值一定， 路程越长，速度就要越快； 路程越短， 速度就越慢。板书：师：同学们想一想，路程、时间、速度这三种量，在什么情况下成反比例关系？要说明理由。板书：速度X 时间= 路 程 （ 一定）4、师：通过上面的讨论，我们知道在速度X时间=路程这个关系式中，只要知道了其中一个不变的量，就能判断出其他两个量成什么比例关系。三、建立模型。1、师：刚才我们复习了正、反比例，并讨论了在常见数量关系中的三个量在什么情况下成正比例，什么情况下成反比例关系。如果我们用x、y表示两种相关联的量，用k表示一定的量，你们能写出正比例和反比例的字母表达式吗？试一试！学生写，教师巡视，然后交流。2正 比 例 =k反 比 例x , y = k四、巩固练习。1、师：在现实生活和数学学习中，我们还经常遇到一些相关联的量，它们是不是成比例，成什么比例呢？下面，请看课本第1 6页练一练的第1题。判断下面各题中的两种量是否成比例关系，并说明理由。学生可能会说到：长方形的周长一定，也就是说它的长与宽的和是一定的，但积或比值不一定， 所以不成比例关系。长方形的面积一定，它的长与宽的积是一定的，所以它的长和宽成反比例关系。一条绳子的长一定， 剪去的部分加上剩下的部分等于绳子的全长,它们既没有乘的关系，也没有相除的关系。所以，剪去的部分和剩下的部分不成比例。圆周率一定，圆的直径与周长的比值是一定的，也就是圆的周长是直径的3倍多。所以圆的周长和直径成正比例关系。汽车的耗油量一定，就是汽车行驶的路程与消耗汽油的总量的比值是一定的，所以成正比例关系。2、练一练第2题，先让学生说一说汽车运货问题中有哪些数量，再提出第2题的要求，学生自己总结，最后交流。教师板书：每次运货吨数 次数 总吨数师：请同学们想一想，每次运货吨数、次数、总吨数这三种量，在什么情况下成正比例关系， 什么情况下成反比例关系呢？同桌可以互相讨论一下。学生讨论后，指名回答。学生可能会说：当总吨数一定时，每次运货的吨数和次数成反比例。当每次运货的吨数一定时，运货总吨数和运货次数成正比例。当运货次数一定时，运货总吨数和每次运货的吨数成正比例。3 . 练一练第3 题，先指导学生找出相关联的量和一定的量，再分别解决问题。 （ 教师巡视，个别辅导，最后订正）师：请同学们分别算出2 台、3 台、4 台、5 台榨油机每天榨油的吨数，并在表格中表示出来。 （ 学生独立画图，然后全班交流）五、全课小结师：同学们，通过今天这节复习课，进一步巩固了正、反比例的知识，总结出了正、反比例的字母表达式。希望大家以后能很好地把这部分知识运用到解决实际问题中去。第四单元圆柱和圆锥第一课时圆柱的认识教学目标：1、借助日常生活中的圆柱体，认识圆柱的特征和圆柱各部分的名称.2、能看懂圆柱的平面展开图。3、培养细致的观察能力和一定的空间想像能力。教学重、难点：教学重点：认识圆柱的特征。教学难点：看懂圆柱的平面展开图。教学工具：课件教学过程：一、激情引入师：同学们，听说咱们班的同学都非常的聪明，学习非常好，是不是？今天这节课， 就由我跟大家来一起上， 我相信你们的表现会更好,你们有没有信心？请同学们看大屏幕。谁能说一说下面这些物体是什么形状的？指生回答。谁还能说一说这些立体图形有什么特点？ 设计意图说明：复习学过的立体图形。（ 媒体出示：课本主题图。）师：请同学们观察这些物体，你知道它们是什么图形？ （ 圆柱）我们今天就来研究这个图形一一圆柱。板书课题：圆柱的认识。二、探究新知探究一：认识圆柱1、找找圆柱同学们，谁来说一说这些物体的形状有什么共同特点？ （ 媒体出示）指生回答。同学们说的非常好，下面请哪位同学说说生活中哪些物体是圆柱形。指 生 回 答 （ 学生可能回答：笔筒，玻璃杯、圆珠笔芯等。）2、整体感知圆柱请同学们再看下面这些物体，他们有什么特征呢？ （ 媒体出示）指生回答。媒体出示圆柱形状图。同学们都很聪明，这节课我们就来认识一下圆柱这种立体图形。媒体出示。请同学们仔细观察，你发现了什么？指生回答（ 学生可能回答：底面都是圆，上下两个底面相同等。侧面是曲面。）（ 媒体操作： 根据学生回答点击后分别出现“ 底面都是圆”，“ 上下两个底面相同”。）3、圆柱的侧面（ 1 ）摸摸圆柱。请同学摸摸自己手中圆柱的表面，说说发现了什么？同学们， 你们发现了吗？其实圆柱的这个面， 我们把他叫做侧面。通过你们摸圆柱，你们发现这个面有什么特点吗？（ 生可能回答：这个面不是平的，跟以前的那些立体图形不同。）我们把这种面叫做曲面。 （ 媒体出示） 设计意图说明：通过学生的生活经验和观察，初步认识圆柱。4、圆柱的高同学们真棒，你们观察的挺仔细的。圆柱除了这些特点，还有什么呢？媒体出示两个不同高度的圆柱。这两个圆柱有什么不同？ （ 学生可能回答：圆柱的高不同。）圆柱的高是怎样的呢？指生回答。 （ 高是下面两个底面之间的距离） （ 媒体演示。）请同学们想一想，圆柱的高是不是只有这一条呢？媒体出示结论：圆柱有无数条高。同学们，你们真的好聪明，学习了这么多，谁能说一说现在圆柱有什么特征呢？媒体出示小结。同学们真棒，老师对你们的表现非常满意。这里老师有一个问题，看谁能帮老师解决一下。媒体出示一个长方形沿一条直线旋转，会形成什么图形呢？请同学们仔细思考一下。指生回答。 （ 会形成圆柱）多指几名学生来回答。（ 边演示边解说）由此可以看出：长方形沿一条直线旋转会形成圆柱。老师这里还有一个问题，请同学们看大屏幕（ 媒体出示）。指生回答。探究二：圆柱的侧面展开（ 1 ）动手操作师：请同学拿出自己带来的（ 橡皮、蜡笔、水彩笔、固体胶水等）物品，把商标纸沿直线剪开，看看，商标纸的形状。生动手操作。谁能告诉老师，你们剪开后是什么形状。指生回答。 （ 上下两个圆形，侧面剪开是一个长方形）（ 2 ）寻求发现师：我们先研究长方形与圆柱的关系，展开的长方形的长和宽与什么有关，有什么关系。师生一起把展开的长方形再重新包上，再展开，在重复操作中观察。同学们，谁来告诉老师，你发现了什么？指生回答。 （ 发现这个长方形的长就是圆柱底面的周长，宽就是圆柱的高）。师媒体演示并讲解。学生再观察电脑演示上述过程。（ 媒体操作：点击后出现圆柱侧面展开，然后又还原成圆柱侧面的过程， 然后用颜色线条突出圆柱底面周长和圆柱的高分别对应长方形长和宽的过程。）同学们，现在我们对于圆柱有了更多的了解，那谁来说一说圆柱你都知道了什么？指生回答。多指几名。师小结：媒体出示。三、课堂练习看来同学们对圆柱的认识都很多了，下面让我们一起进入智慧城堡。请同学们加油啊！四、课堂小结通过今天的学习，我们对圆柱有了很深的认识，知道了圆柱的各部分名称，也知道了圆柱的展开图。下面谁能告诉老师，通过这节课的学习，你有什么收获？师总结。媒体出示。第二课时圆柱的表面积教学目标：使学生理解圆柱体侧面积和表面积的含义，掌握计算方法，并能正确的运用公式计算出圆柱的侧面积和表面积。教学重、难点：理解和掌握求圆柱表面积的计算方法。教学过程：（ 一）创设生活情景，激励自主探索1、找一找：哪些物体的形状是圆柱？2、说一说：圆柱有几个面？各有什么特点？3、在导入新课时，老师用孩子们喜欢喝饮料的爱好创建生活情景： “ 同学们爱喝饮料吗？ ” “ 爱喝。” “ 给你一个饮料罐，你想知道什么？ ”学生提了很多问题， “ 有的问题以后在研究，今天我们来解决用料问题。一种圆柱形罐头盒， 侧面有一张商标纸（ 如图） ， 如何求商标纸的面积呢？假如你是一个小小设计师，要设计一个饮料罐，至少要多少平方米的铁皮？ ”（ 评析：数学来源于生活又应用于生活实际，因此，用贴近儿童的生活实际去创设情景，很容易激发学生的求知欲，激活学生已有知识与经验，使其自主地积极探索新知，解决问题。）（ 二）创设探究空间，主动发现新知1、 认识圆柱的表面师：我们先来做一个“ 饮料罐” （ 出示模型）薄纸壳当铁皮，你们想怎么做？生：要卷一个圆筒，要剪两个圆粘合在圆筒的两边就行To师：用什么形状的纸来做卷筒呢？（ 有的学生动手剪开模型）生：我知道了，圆筒是用长方形纸卷成的！师：各小组试试看，这位同学说的对吗？（ 其他小组也剪开模型，有的得到了长方形，有的得到了平行四边形，有的得到了正方形。）师：还有别的可能吗？如三角形、梯形。生：不能。如果是的话，就不是这种圆柱形的饮料罐T o（ 评析：学生能拆开纸盒看个究竟，说明学生对知识的渴望，学生是在自主学习的基础上合作完成了对圆柱各部分组成的认识。 培养了学生的创造能力。）2、 把实际问题转化为数学问题师：我们先研究把圆筒剪开展平是一个长方形的情况。 “ 求这个饮料罐要用铁皮多少？ ”这一事件从数学角度看，是个怎样得数学问题？学生观察 思考 议。生A ：它是面柱体：两端是同样的两个圆，当中是长方形铁皮卷成的圆柱。生B ：求饮料罐铁皮用料面积就是求：圆面积X 2 长方形面积生C ：必须知道圆的半径、长方形的长和宽才能求面积。生D ：我看只要知道圆的半径和高就可以求出用料面积。师：我们让这位同学谈谈他的想法。生D ：长方形的长与圆的周长相等，长方形的宽与高相等。所以只要知道圆的半径就可求出长方形的长，也可求出圆的面积。师随着板书：长方形 =长 X 宽圆 柱 的 侧 面 积 =底面周长 X 高（ 三）自主总结规律 验证领悟新知1、让学生就顺利地导出了圆柱的侧面积计算方法：S = 2 J trh师：如果圆柱展开是平行四边形，是否也适用呢？学生动手操作， 动笔验证， 得出了同样适用的结论。2、课件演示。长方形的长=圆柱的底面周长，长方形的宽=圆柱的圆柱的侧面积=底面周长义高S 侧= （ S 底 =J i 2 X2= 2 J i r 2圆柱的表面由上、下两个底面和一个侧面组成。圆柱的表面积=侧面积+两个底面的面积S表 面 积=S侧+ 2 S底2 兀 r h + 2 J i r 2（ 评析：学生在教师创设的情境中，由学生得出结论，又让学生验证，极大地发挥了学生的主观能动性，充分地展示自我，使学生个性得到发展。）3、利用公式计算。 （ 课件出示）例1.求下面罐头盒商标纸的面积。 （ 接缝处忽略不计） （ 单位:厘米）学生独立完成后汇报。同学说思路，老师板书，注意每一步结果写计量单位。S 侧 二（= 1 2 X3 . 1 4 X1 0= 3 76 . 8 （ 平方厘米）答：商标纸的面积是3 76 . 8平方厘米。例2：做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，高是5分米。底面直径4分米，至少需要多大面积的铁皮？水桶没有盖，说明它只有一个底面。学生独立完成后汇报。 同学说思路，列式。（ 1 ）水桶的侧面积：3 . 1 4 X 4义5 = 6 2 . 8（平方分米）（ 2 ）水桶的底面积：3 . 1 4 X （ 4 4 - 2 ） 2 = 1 2 . 5 6 （平方分米）（ 3 ）需要铁皮：6 2 . 8+ 1 2 . 5 6 = 75 . 3 6 （平方分米）答：至少需要75 . 3 6平方分米的铁皮。小结：今天我们学习了哪些知识？（ 指名回答） 下面我们来检查一下，这节课谁学习得最好？（ 四）、巩固运用1、在解答实际问题前一定要先进行分析，看它们求的是哪部分面积，再选择解答的方法。动动脑： 一台压路机的滚筒宽1 . 2米，直径为0 . 8米。如果它滚 动1 0周，压路的面积是多少平方米？思考：要求压路机压路的面积其实就是求滚筒的侧面积2、讨论：如果一段圆柱形的木头，截成两截，它的表面积会有什么变化呢？（ 五）、全课总结 这节课你有什么收获？你学到了什么数学方法？附：板书设计圆柱体的表面积圆柱的侧面积= 底面周长X高 f $ 侧 =ch长 方 形 面 积 = 长 X宽圆柱的表面积= 圆柱的侧面积十底面积X2第三课时圆柱的体积教学目标：1 .加强实践操作，尽量让学生自己动手，亲历圆柱体积的转化过程，让学生的多种感官参与学习活动，在理解知识的基础上，发展学生思维。2 .加强习题设计，设计一些实践性、开放性强的习题，引导学生灵活运用知识，尽可能地满足不同思维水平学生的需要，并渗透优化解题策略。3 .加强空间观念的培养，突出知识间的联系对比，在操作、推导、对比、运用中深化学生的空间观念。教学重、难点：教学重点： 理解并掌握圆柱体积计算公式， 并能应用公式计算圆柱体积。教学难点：理解圆柱体积公式的推导过程。教学过程：一、情境激趣，导入新课。同学们，让我们先来做一个实验：1、师拿一个长方体和一个正方体容器，说说怎样计算它们的体积，接着往正方体容器中倒入一定量的水，然后拿出一个圆柱体准备投入水中让学生观察：有什么现象发生？由这个现象你想到了什么？2、 提问： 你能用一句话说说什么是圆柱的体积吗？（ 板书课题） 设计意图：通过把圆柱投入水中，水面上升，使学生直观感知圆柱体积大小的概念。二、 自主探究，学习新知（ 一）设疑1、从刚才的实验中你有办法得到这个圆柱学具的体积吗？2、如果要求大厅内圆柱的体积，或压路机前轮的体积，还能用刚才的方法吗？ （ 生摇头） 师：看来，我们刚才的方法有一定的局限性，要是能像求长方体或正方体那样，有一个通用的公式就好了。 设计意图：通过追问大厅内圆柱体积等问题，使学生意识到前面方法的局限性，使其产生思维困惑，激发学生探究圆柱体积计算方法的欲望，从而进入最佳学习状态。3、怎样求圆柱的体积呢？我们也许能从以前研究问题的方法里得到启示，找到解决问题的办法。请大家想一想：在学习圆的面积时，我们是怎样把圆转化成已学的图形，来推导圆面积的计算公式的.（ 学生回答后，把圆等分切割，拼成一个近似的长方形，找出圆与所拼成的长方形之间的关系，进而推导出圆面积计算公式的过程。） 设计意图：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，通过回顾圆的面积的推导方法，巧妙地运用旧知识进行迁移。（ 二）猜想怎样来计算圆柱的体积呢？讨论：能不能把圆柱转化成我们已学过的立体图形，来计算它的体积？引发思考：我们能否把圆柱体也转化成学过的立体图形来计算它的体积呢？如果能，猜一猜能转化成哪种立体图形？（ 三）验证1、为了证实刚才的猜想，我们可以通过实验来验证。2、学生利用学具分组讨论以下问题：圆柱体可以转化成哪种立体图形？它又是怎么转化成这种图形的？ ( 小组讨论后汇报交流)把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，再把它拼起来，就转化成近似的长方体了。3、指名两位学生上台用圆柱体积学具进行操作，把圆柱转化为近似的长方体。4、根据学生操作，教师再次课件演示圆柱转化成长方体的过程,并引导学生分析当分的份数越多时，拼成的图形越接近长方体。 设计意图：合理运用多媒体技术，形象生动地展示“ 分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体”，这里转化思想和极限思想得到应有的体现，同时也渗透了以直代曲的辩证唯物主义观点，发展了学生的空间观念。5、通过上面的观察，小组讨论：圆柱与所拼成的近似长方体之间有什么联系？分四人小组展开讨论.( 1 )圆柱体通过切拼后，转化为近似的长方体，什么变了？什么没变？( 2 )长方体各部分之间与圆柱体有怎样的关系？( 3 )你认为圆柱的体积可以怎样计算？生汇报交流，教师根据学生讲述适时板书。近似长方体的体积= 圆柱的体积近似长方体的底面积= 圆柱的底面积近似长方体的高= 圆柱的高试着根据圆柱与近似长方体的关系，推导公式:长方体的体积=底面积义高I I I圆 柱 的 体 积 =底面积X高用字母表示计算公式：V=Sh6、同桌相互说说圆柱体积的推导过程。思考：求圆柱的体积必须具备哪两个条件？7、完成做一做：一根圆柱形木料，底面积为7 5平方厘米，长是9 0厘米。它的体积是多少？ ( 生练习，展示并评价)8、求圆柱体积要具备什么条件？ 设计意图：动手实践、自主探究、合作交流是 新课程标准所倡导的数学学习的主要方式，通过观察、设疑、猜想、验证，经历圆柱体积的转化过程，发展学生的空间想象能力。三、实际应用1、反馈练习：底面积是1 0平方米，高是2米，体积是( )底面积是3平方分米，高是4分米，体积是( )2、运用新知，尝试解答实际问题.一根圆柱形钢材，底面积是5 0平方厘米，高是2 . 1米，它的体积是多少？( 1 )默读题目， 看题目告诉了什么条件？ 要求什么？ 想一想你将如何计算？ 赶紧试一试？( 2 )在解题的过程中要注意单位统一。( 学生自己完成并汇报解题思路)请同学们想一想已知圆柱的底面半径和高， 求体积已知圆柱的底面直径和高， 求体积已知圆柱的底面周长和高， 求体积3 .深入练习( 小组合作)( 1 ) 一个圆柱形状的零件，底面半径是5厘米，高8厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？( 1 ) 一个圆柱形水桶， 从里面量底面直径是2 0厘米， 高是2 5厘米. 这个水桶的容积是多少立方分米？( 2 ) 一个圆柱的体积是6 2 . 8立方分米， 高是5分米， 底面积是多少？不会的可以向同学请教四、拓展提高：一个圆柱的石柱子底面的周长1 8 . 8 4分米，高是2 0分米，体积是多少？ 设计意图：让学生运用公式解决生活中的问题，使学生认识到数学的价值，使学生明白，我们所学的数学是身边的数学，是有趣的、有用的数学，从而激发学生的学习兴趣。 四、全课总结：五、课堂小结:通过这节课的学习，你有哪些收获？ （ 生汇报收获） 设计意图：收获包括知识、能力、方法、情感等全方位的体会，在这里采用提问式小结，使学生畅谈收获、发现不足，既能训练学生的语言表达能力，又能培养学生的归纳概括能力；同时通过对本节所学知识的总结与回顾，还能使学生学到的知识系统化、完整。 六、学生作业：1 、练一练第1题。2 、练一练2 、3题。3 、 一个圆柱的石柱子底面的周长1 8 . 8 4 分米， 高是2 0 分米，体积是多少？（ 选做）七、板书设计圆柱的体积长方体体积= 底面积义高I I I I I I圆柱体体积= 底面积又高V = Sh第四课时圆锥的认识教学目标：过程与方法：创设情景，让学生自己提出问题上，通过教师的引导，学生的合作交流、动手操作，并积极参与知识的形成过程。知识与技能：1 、使学生认识圆锥，掌握圆锥的特征及各部分名称。2 、使学生会画圆锥的平面图形及掌握测量圆锥的高的方法。3 、培养学生的实验能力，发展学生的空间观念。情感态度与价值观：培养学生积极参与， 自主学习的精神， 激发学生学习数学的兴趣。教学重、难点：教学重点：圆锥的特征及各部分名称。教学难点：测量圆锥的高的方法。教学过程：（ 一）、复习：同学们已经学过哪些立体图形？生说长方体，正方体，圆柱体。课件出示学过的立体图形：长方体，正方体，圆柱体。师：看圆柱体，圆柱体有什么特点？学生说出圆柱的特征：生： 圆柱有上、下两个底面，是完全相同的两个圆，圆柱有一个侧面是曲面，两个底面之间的距离叫做圆柱的高，有无数条高。观察这些物体：哪些是圆柱，还有什么立体图形？生说圆锥。哪些是圆锥？今天我们就来认识圆锥。( 二 ) 、 导入新课仔细观察圆锥，你发现了什么？让学生把已准备好的装在圆柱体里的沙子倒在桌子里，看看沙堆的形状；多媒体出示圆锥形状的实物图师：这些形状与圆柱形状相同吗？生：不相同，是圆柱形状的上底面变成了一点。师：这些形状与圆柱有没有相同点？生：下底面都是圆。师：我们把这些形状称之为圆锥。这是我们今天这节课要学习的内容。( 三 ) 、 新课探究1、 板书课题：圆锥的认识2、 认识圆锥的特征仔细观察圆锥，你发现了什么？(1) . 说一说：圆锥的顶点、底面、侧面的特征。( 2 ) .想一想：圆锥的高是什么？你认为圆锥有多少条高？( 3 ) . 圆锥的特征与圆柱有哪些相同与不同点？( 4 ) . 你还发现了什么？师：出示圆锥的实物图( 分小组：每小组一个圆锥) 。生：每位学生亲自摸一摸、看一看、滚一滚、碰一碰，有什么感觉？让学生提出问题，教师归纳：圆锥有一个侧面是曲面；圆锥有一个底面，是圆；圆锥有一个顶点。3、认识圆锥的高师：老师拿出一个透明圆锥( 圆锥用2mm的塑料制成的，底面圆心留一小孔) ，然后用一根直木棒从底面圆心穿到圆锥顶点，让学生观察，从顶尖到底面圆心的距离是什么？ 生：是圆锥的高度。师：回答很正确，对学生进行鼓励，激发学生的学习兴趣，像这样从底面圆心到顶点可以穿多少根呢？生：只能穿一根，因为两点确定一条直线（ 顶点-圆心）。师：回答很好；从顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。用字母h表示，仅有一条高。小结：圆锥底面上一个圆，圆锥的侧面是一个曲面，从顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，仅有一条高，圆锥只有一个顶点。4、指导学生画圆锥的平面图先确定顶点；从顶点引出两条射线；底面圆形画成椭圆形；背面及高看不到用虚线表示。教师示范一个。5、教学测量圆锥的高的方法 方 法 一 ：再次出示透明圆锥在底面圆心木棒处作下记号，然后取出用直尺测量，即是圆锥的高。 方法二：引导学生看教科书第4 1页测量圆锥高的方法的内容，让学生互说测量圆锥高的方法步骤。小结方法步骤：把圆锥放在两块互相平行的平板上。再用直尺竖直量出内平板间的距离。即得圆锥的高的长度。测量时注意：应从尺子的“ 0 ”刻度开始。6、虚拟圆锥 学生动手操作：把直角三角板一条直角边紧贴桌上，握住一个角的顶点旋转一周，会形成一个什么形体？三角形的两条直角边分别是圆锥体的什么？生：是一个圆锥，三角形的两条直角边分别是圆锥体的高和底面圆的半径。师：对。（ 四）、巩固应用：1、说说下面哪些物体的形状是圆柱，哪些物体的形状是圆锥？由学生在小组合作完成，教师巡视辅导集体订正。2、从正面、上面和侧面看圆柱，看到的是什么图形？从这三个面看圆锥呢？先看一看，再连一连。3、做长方形、直角三角形和圆形的小旗，将旗杆快速旋转（ 如下图）。观察并想象一下，小旗转一周各成什么图形。4、生活中的圆柱与圆锥。学生举例：漏斗，沙堆，针尖，雨伞撑开，锅. . . . .课件出示。（ 五） 作业：到室外找一些沙子或土堆成一个圆锥形，想办法测量出它的高，两人一组合作。（ 六） 、课堂总结同学们今天有什么收获？生谈收获。老师总结。第五课时圆锥的体积教学目标：知识目标： 使学生理解和掌握求圆锥体积的计算公式， 并能正确求出圆锥的体积。.能力目标: 培养学生初步的空间观念， 动手操作能力和逻辑思维能力。情感目标：向学生渗透知识间可以相互转化的辩证唯物主义思想， 让学生学习将新知识转化为原有知识的学习方法.教 学 重 难 占 .教学重点： / 锥的体积计算教学难点：圆锥的体积计算公式的推导.教学工具：课件教学过程：一、导入新课1、出示铅锤师：同学们，我们刚认识了圆锥，在 学 习 “ 圆锥的认识”时认识了这个物体一铅锤。铅锤的外形是圆锥形的，这个铅锤所占空间的大小叫做这个铅锤的体积。问：你们有没有办法来测量这个铅锤的体积？生：排水法师：同学们回答很积极，想到了之前学过的排水法，那咱们对这个方法进行一下评价（ 学生想到了，并不是所有的圆锥都可以用排水法来测量体积。比如一些庞大的圆锥形物体）2、PPT出示圆锥形麦堆和圆锥形的高大的建筑物像这种比较大的圆锥形的物体就不适合用排水法测量体积，所以我们需要找到一个解决此类问题的普遍的方法。出示课题 圆锥的体积二、探究新知1、回忆师：我们学过那些形状的物体的体积的计算方法生：长 方 体 正 方 体 圆 柱 体 （ 学生边说，师边PPT出示图片）师：我们在推导圆柱体体积的计算方法的时候是将圆柱体转化长方体或者正方体，转化前后体积不变，你觉得圆锥体和哪种形状的物体有关系呢？生：圆柱体师：为什么？生：圆锥体和圆柱体都有圆形的底面2、猜测师：既然大家都认为圆锥体和圆柱体由一定的关系，你能大胆猜测一下，圆锥体和圆柱体的体积之间有怎样的关系么？（ 学生猜测，找学生说说猜测的结果）3、验证师：有了猜测我们就通过实验来验证咱们的猜测（ 利用学具进行验证，一边实验，一边填写实验记录单）实验小组。比较你们小组中的圆柱和圆锥，我们 发 现 “它们体积之间的关系。3X组J第一次实验。第二次实验。45（ 找学生读一读表格中需要填写的内容，并提问，比较圆柱和圆锥的时候，是比较的什么？为学生的实验操作做一个引领。操作过程6-8分钟）4、实验后讨论，并分组汇报实验结果（ 在实验中我设置了两次不同的实验，第一次是等底等高的圆柱和圆锥，第二次是等底不等高的圆柱和圆锥，以便对比得出结论，并不是所有的圆柱和圆锥都符合3倍关系，是有前提条件的）5、结论通过操作发现：圆锥的体积是同它等底等高的圆柱体积的1/3板书： 圆柱的体积 =底面积 X 高圆锥的体积 =底面积 X高4-311加1锥 二工 - 厂 圆柱力三、运用知识1、出示填空和判断师：我们学会了求圆锥的体积的计算方法，现在我们利用所学知识来解决生活中的实际问题。2、试 一 试 （ 学生计算，计算过程中巡视学生解题情况，挑选两种不同的解题方法展示）四、拓展（出示拓展题）五、总结，谈收获通过本节课的学习，你有哪些收获？数和数的运算概念（ 一）整数1整数的意义自然数和0都是整数。2自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1 , 2, 3 叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。3计数单位- （ 个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是1 0。这样的计数法叫做十进制计数法。4数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5数的整除整数a除以整数b （ b W 0 ）,除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b （ b W 0 ）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的 约 数 （ 或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为3 5能被7整除，所 以3 5是7的倍数，7是3 5的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1 ,最大的约数是它本身。例如：1 0的约数有1、2、5、1 0 ,其中最小的约数是1 ,最大的约数是1 0。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、1 2其中最小的倍数是3 ,没有最大的倍数。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：20 2、4 8 0、3 0 4 ,都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、3 0、4 0 5都能被5整除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：1 2、1 0 8、20 4都能被3整除。一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。一个数的末两位数能被4 （ 或25 ）整除，这个数就能被4 （ 或25 ）整除。例如：1 6、4 0 4、1 25 6都能被4整除，5 0、3 25、5 0 0、1 67 5都能被25整除。一个数的末三位数能被8 （ 或1 25 ）整除，这个数就能被8 （ 或1 25 ）整除。例如：1 1 68、4 60 0、5 0 0 0、1 23 4 4 都能被 8 整 除 ,1 1 25、1 3 3 7 5、5 0 0 0都能被1 25整除。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。也是偶数。 自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。一个数， 如果只有1和它本身两个约数， 这样的数叫做质数（ 或素数） ,1 0 0 以内的质数有：2、3、5、7、1 1、1 3、1 7、1 9、23、29、3 1、3 7、4 1、 4 3、 4 7、 5 3、 5 9、 61、 67、 7 1、 7 3、 7 9、 8 3、 8 9、 9 70一个数，如果除了 1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、1 2都是合数。1不是质数也不是合数，自然数除了 1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例 如1 5 = 3 * 5 , 3和5叫 做1 5的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例 如1 2的约数有1、2, 3、4、6、1 2； 1 8的约数有1、2、3、6、9、1 80其中，1、2、3、6是1 2和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、1 0、1 2、1 4、1 6、 1 8 3的倍数有3、6、9、1 2、1 5、1 8 其中6、1 2、1 8 是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数O几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。（ 二）小数1小数的意义把整数1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几一个小数由整数部分、 小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“ 十分之一”和整数部分的最低单位“ 一”之间的进率也是10o2小数的分类纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0. 2 5、0. 368都是纯小数。带小数： 整数部分不是零的小数， 叫做带小数。 例如：3 .2 5、5.26都是带小数。有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如：4 1 .7、25.3 , 0. 2 3都是有限小数。无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如：4. 33 3. 1415926 无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：n循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例 如 :3.555 0. 033312.109109 一个循环小数的小数部分， 依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如：3. 9 9的循环节是“ 9 ” , 0. 5454的循环节是“ 54 ” o纯循环小数： 循环节从小数部分第一位开始的， 叫做纯循环小数。 例如：3. 111 0. 5656 混循环小数： 循环节不是从小数部分第一位开始的， 叫做混循环小数。3. 1222 0. 03333 写循环小数的时候， 为了简便， 小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。例如： 3 . 7 7 7 简写作 0 . 5 3 0 23 0 2简写作 。（ 三）分数1分数的意义把 单 位 平 均 分 成 若 干 份 ，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“ 1 ”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把 单 位 ， ， 1 ”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2 分数的分类真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1 。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于lo带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。3约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（ 四）百分数1表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数， 也叫做百分率或百分比。 百分数通常用 来表示。 百分号是表示百分数的符号。二 方法（ -）数的读法和写法1 .整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“ 亿”或 “ 万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个。都只读一个零。2 .整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0 。3 . 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“ 点” ， 小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。4 . 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。5 .分数的读法：读分数时，先读分母再读“ 分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。6 .分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。7 .百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。8 .百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“ % ”来表示。（ 二）数的改写一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“ 万”或 “ 亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。1 .准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430万； 改写成以亿做单位 的 数 12. 5 4 3 亿。2 .近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015省略亿后面的尾数是1 3 亿。3 .四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4 小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5 或者比5 大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省 略 345900万后面的尾数约是35万。省 略 4725097420亿后面的尾数约是4 7 亿。4 .大小比较1 . 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。2 , 比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大3 . 比较分数的大小： 分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。（ 三）数的互化1 . 小数化成分数：原来有几位小数，就 在 1 的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。2 .分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。3 . 一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。4 . 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。5 .百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。6 .分数化成百分数：通常先把分数化成小数（ 除不尽时，通常保留三位小数） ，再把小数化成百分数。7 .百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。（ 四）数的整除1 .把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。2 .求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。3 .求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（ 或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（ 或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。4 .成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质； 相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质;两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。（ 五） 约分和通分约分的方法：用分子和分母的公约数（ 1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。三 性 质 和 规 律（ 一）商不变的规律商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。（ 二）小数的性质小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。（ 三）小数点位置的移动引起小数大小的变化1. 小数点向右移动一位，原来的数就扩大1 0倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大1 0 0倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1 0 0 0倍2 . 小数点向左移动一位，原来的数就缩小1 0倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小1 0 0倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1 0 0 0倍3 . 小数点向左移或者向右移位数不够时，要 用“ 0 补足位。（ 四）分数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（ 零除外），分数的大小不变。（ 五）分数与除法的关系1 .被除数+ 除数=被除数/ 除数2 .因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。3 .被除数相当于分子，除数相当于分母。四 运算的意义（ 一）整数四则运算1整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。加数+ 加数= 和 一个加数二和一另一个加数2整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。加法和减法互为逆运算。3整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里，。和任何数相乘都得0 . 1和任何数相乘都的任何数。一个因数又一个因数= 积 一个因数= 积 另一个因数4 整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。乘法和除法互为逆运算。在除法里，0 不能做除数。因为。和任何数相乘都得0 , 所以任何一个数除以0 , 均得不到一个确定的商。被除数+ 除数= 商 除数= 被除数 商 被除数= 商X 除数（ 二）小数四则运算1 .小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。2 .小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算.3 小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同， 就是求几个相同加数和的简便运算； 一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、 百分之几、千分之几是多少。4 .小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同， 就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。5 .乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例 如 3 义 3 =32（ 三）分数四则运算1 .分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。2 .分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。3 分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同， 就是求几个相同加数和的简便运算。4 .乘积是1 的两个数叫做互为倒数。5 .分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。 就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。（ 四）运算定律1 .加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 a+b=b+a。2 .加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加， 再和第一个数相加它们的和不变， 即(a+b)+c=a+(b+c)。3 .乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即aX b=bX a。4 .乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(aX b )X c= a X (bXC) O5 .乘法分配律：两个数的和与一个数相乘， 可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b) X c=aX c+bX c。6 .减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即 a -b -c= a -(b + c)。(五) 运算法则1 .整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进O2 .整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。3 .整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数， 用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。4 .整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1 ,要 补“ 0”占位。每次除得的余数要小于除数。5 .小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就 用“ 0”补足。6 .除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“ 0”，再继续除。7 .除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（ 位数不够的补 0 ” ）,然后按照除数是整数的除法法则进行计算。8 .同分母分数加减法计算方法：同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。9 .异分母分数加减法计算方法：先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。1 0 .带分数加减法的计算方法：整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。1 1 .分数乘法的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。1 2 .分数除法的计算法则：甲数除以乙数（ 0除外），等于甲数乘乙数的倒数。（ 六） 运算顺序1 .小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。2 .分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。3 .没有括号的混合运算：同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。4 .有括号的混合运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。5 .第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。6 .第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。五 应用（ 一）整数和小数的应用1简单应用题（ 1 ）简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。（ 2 ）解题步骤:a审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。c 检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。2 复合应用题( 1 ) 有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。( 2 ) 含有三个已知条件的两步计算的应用题。求比两个数的和多( 少) 几个数的应用题。比较两数差与倍数关系的应用题。( 3 ) 含有两个已知条件的两步计算的应用题。已知两数相差多少( 或倍数关系) 与其中一个数，求两个数的和( 或差 ) 。已知两数之和与其中一个数， 求两个数相差多少( 或倍数关系) 。( 4 ) 解答连乘连除应用题。( 5 ) 解答三步计算的应用题。( 6 ) 解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。d 答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。(3 ) 解答加法应用题：a 求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。b 求比一个数多几的数应用题： 已知甲数是多少和乙数比甲数多多少,求乙数是多少。(4 ) 解答减法应用题：a 求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。- b 求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。c 求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。(5 ) 解答乘法应用题：a 求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数Ob 求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。( 6 ) 解答除法应用题：a 把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。b求一个数里包含几个另一个数的应用题： 已知一个数和每份是多少,求可以分成几份。C求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。（ 7）常见的数量关系：总价=单价X数量路程=速度X时间工作总量= 工作时间义工效总产量= 单产量义数量3典型应用题具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题， 通常叫做典型应用题。（ 1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。 数量关系式： 数量之和个数量的个数= 算术平均数。加权平均数： 已知两个以上若干份的平均数， 求总平均数是多少。数 量 关 系 式 （ 部分平均数X权数）的总和+ （ 权数的和）= 加权平均数O差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。数量关系式： （ 大数一小数）+2=小数应得数 最大数与各数之差的和+ 总份数= 最大数应给数 最大数与个数之差的和 总份数= 最小数应得数。例：一辆汽车以每小时100千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时6 0千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的 速 度 为100 ,所用的时间为 ，汽车从乙地到甲地速度为6 0千米 ，所用的时间是 ，汽车共行的时间为 + =，汽车的平均速度 为2 4- =75 （ 千米）（ 2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。根 据 求 “ 单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。一次归一问题， 用一步运算就能求出“ 单一量” 的归一问题。 又称 单归一。”两次归一问题， 用两步运算就能求出“ 单一量” 的归一问题。 又称“ 双归一 O ”正归一问题：用等分除法求出“ 单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。反归一问题：用等分除法求出“ 单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（ 单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。数量关系式：单一量X份数= 总 数 量 （ 正归一）总数量+ 单一量= 份数（ 反归一）例一个织布工人， 在七月份织布4774米 ，照这样计算， 织 布6930米 ，需要多少天？分析： 必须先求出平均每天织布多少米， 就是单一量。693 0 4-（ 4774 4- 31 ） =45 （ 天）（ 3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（ 或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数 （ 或单位数量）。特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。数量关系式：单位数量义单位个数个另一个单位数量=另一个单位数量 单位数量义单位个数个另一个单位数量=另一个单位数量。例修一条水渠，原计划每天修800米 ，6天修完。实 际4天修完，每天修了多少米？分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“ 归总问题”。不同之处是“ 归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。80 0 X 6 +4=1200 （ 米）（ 4）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（ 或两个小数的和），然后再求另一个数。解题规律： （ 和+差）4-2 =大数 大数一差= 小数（ 和一差）+2=小数 和一小数= 大数例某加工厂甲班和乙班共有工人9 4 人，因工作需要临时从乙班调4 6 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少1 2 人，求原来甲班和乙班各有多少人？分析：从 乙 班 调4 6 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班， 即 94 12 ,由此得到现在的乙班是（94 - 12 ）4- 2=41 （ 人），乙班在调出4 6 人之前应该为41+46=87 （ 人），甲班为 9 4 - 87=7 （ 人）（ 5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。解题关键：找准标准数（ 即 1 倍数）一般说来，题中说是“ 谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（ 也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个 数 （ 或几个数）的数量。解题规律：和小倍数和= 标准数 标准数X 倍数= 另一个数例： 汽车运输场有大小货车1 1 5 辆，大货车比小货车的5 倍 多 7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？分析：大货车比小货车的5 倍 还 多 7 辆，这 7 辆也在总数1 1 5 辆内， 为了使总数与（5+1 ） 倍对应， 总车辆数应（115-7 ） 辆 。列 式 为 （115-7 ） 4- （ 5+1 ） =18 （ 辆）， 18 X 5+7=97 （ 辆）（ 6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。解题规律：两个数的差小 （ 倍数-1 ）=标准数 标准数义倍数=另一个数。例甲乙两根绳子，甲 绳 长 6 3 米 ，乙 绳 长 2 9 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳长的3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳 的 3 倍，实比乙绳多（3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（63-29 ）4 - （ 3-1 ） =17 （ 米） 乙绳剩下的长度， 17 X 3=51（ 米）甲绳剩下的长度， 29-17=12 （ 米）剪去的长度。（ 7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。 解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、 路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。解题关键及规律：同时同地相背而行：路程= 速度和X 时间。同时相向而行：相遇时间= 速度和X 时间同时同向而行（ 速度慢的在前，快的在后）：追及时间= 路程速度差。同时同地同向而行（ 速度慢的在后，快的在前）：路程= 速度差X时间。例 甲 在 乙 的 后 面2 8千 米 ，两人同时同向而行，甲每小时行1 6千米 ，乙每小时行9千 米 ，甲几小时追上乙？分析：甲每小时比乙多行（16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙 （16-9 ）千米，这是速度差。已知甲在乙的后面2 8千 米 （ 追击路程），2 8千米里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列 式289（ 16-9 ）=4 （ 小时）（ 8）流水问题：一般是研究船在“ 流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。船速：船在静水中航行的速度。水速：水流动的速度。顺水速度：船顺流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。顺速= 船速+水速逆速= 船速一水速解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。解题规律：船行速度= （ 顺水速度+逆流速度）+2流水速度二（ 顺流速度逆流速度）+2路程= 顺流速度义顺流航行所需时间路程= 逆流速度又逆流航行所需时间例一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行2 8千 米 ，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每小 时4千米。求甲乙两地相距多少千米？分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水 少 用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列 式 为284 X 2=20（ 千米）2 0 义 2 =40 （ 千米）40 4- （ 4 X 2 ） =5 （ 小时）28 X 5=140 （ 千米）。（ 9）还原问题：已知某未知数， 经过一定的四则运算后所得的结果,求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（ 逆运算）方法，逐步推导出原数。根据原题的运算顺序列出数量关系， 然后采用逆运算的方法计算推导出原数。解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。例某小学三年级四个班共有学生1 6 8 人， 如果四班调3 人到三班,三 班 调 6 人到二班，二 班 调 6 人到一班，一 班 调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？分析：当四个班人数相等时，应 为 168 4- 4 ,以四班为例，它调给三 班 3 人，又从一班调入2 人，所以四班原有的人数减去3 再加上 2 等于平均数。 四班原有人数列式为168 + 4-2+3=43 （ 人）一班原有人数列式为168 4- 4-6+2=38 （ 人）；二班原有人数列式为 168 + 4-6+6=42 （ 人） 三班原有人数列式为168 4- 4-3+6=45（ 人）。（ 10）植树问题：这类应用题是以“ 植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。解题规律：沿线段植树棵树= 段数+1 棵树= 总路程+ 株距+1株距= 总路程: （ 棵树- 1） 总路程= 株距X （ 棵树-1 ）沿周长植树棵树= 总路程+ 株距株距= 总路程小棵树总路程= 株距义棵树例 沿公路一旁埋电线杆3 0 1 根，每相邻的两根的间距是5 0 米 。后来全部改装，只埋了 2 0 1 根。求改装后每相邻两根的间距。分析： 本题是沿线段埋电线杆， 要把电线杆的根数减掉一。 列 式 为 50X （ 301-1 ） 4- （ 201-1 ） =75 （ 米）（ 11 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（ 或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。解题关键： 盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（ 也称总差额），用前一个差去除后一个差， 就得到分配者的数， 进而再求得物品数。解题规律：总差额: 每人差额= 人数总差额的求法可以分为以下四种情况：第一次多余，第二次不足，总差额= 多余+不足第一次正好，第二次多余或不足，总差额= 多余或不足第一次多余，第二次也多余，总差额= 大多余- 小多余第一次不足，第二次也不足， 总差额=大不足- 小不足例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组1 0人，则 多2 5支，如果小组有1 2人，色 笔 多 余5支。求每人分得几支？共有多少支色铅笔？分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有1 2人，比1 0人多2人，而色笔多出了（ 25-5 ） =20支 ，2个 人 多 出2 0支，一个人分得1 0支。列式为（25-5 ） 4- （ 12-10 ） =10 （ 支）10X 12+5=125 （ 支）。（ 12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“ 年龄问题”。解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“ 差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。例 父 亲4 8岁，儿 子2 1岁。问几年前父亲的年龄是儿子的4倍？分析：父子的年龄差为48-21=27 （ 岁）。由于几年前父亲年龄是儿子 的4倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的4倍。列式为：21 （ 48-21 ） 4- （ 4-1 ） =12 （ 年）（ 13）鸡兔问题：已知“ 鸡兔”的总头数和总腿数。求 “ 鸡”和 “ 兔”各多少只的一类应用题。 通常称为“ 鸡兔问题” 又称鸡兔同笼问题解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（ 如全是鸡”或全是“ 兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。解题规律： （ 总腿数一鸡腿数X总头数）小 一只鸡兔腿数的差= 兔子只数兔子只数= （ 总腿数-2X总头数）2如果假设全是兔子，可以有下面的式子：鸡的只数=（ 4X总头数- 总腿数）4-2兔的头数= 总头数- 鸡的只数例 鸡 兔 同 笼 共5 0个头，170条腿。问鸡兔各有多少只？兔 子 只 数 （170-2 X 50 ） 4- 2 =35 （ 只）鸡的只 数50-35=15 （ 只）（ 二）分数和百分数的应用1 分数加减法应用题：分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、 数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。2分数乘法应用题：是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。特征：已知单位“ 1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。解题关键：准确判断单位“ 1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。3分数除法应用题：求一个数是另一个数的几分之几（ 或百分之几）是多少。特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。 “ 一个数”是比较量， “ 另一个数”是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。解题关键： 从问题入手， 搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“ 单位一”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。甲是乙的几分之几（ 百分之几）： 甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。甲比乙多（ 或少）几分之几（ 百分之几）：甲减乙比乙多（ 或少几分之几）或 （ 百分之几）。关 系 式 （ 甲数减乙数）/ 乙 数 或 （ 甲数减乙数）/ 甲 数 。已知一个数的几分之几（ 或百分之几）， 求这个数。特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“ 1”的量。解题关键：准确判断单位“ 1”的量把单位“ 1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量。4 出勤率发芽率= 发芽种子数/ 试验种子数X 100%小麦的出粉率=面粉的重量/ 小麦的重量X100%产品的合格率= 合格的产品数/ 产品总数又100%职工的出勤率= 实际出勤人数/ 应出勤人数义100%5 工程问题：是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、 工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。解题关键：把工作总量看作单位“ 1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。数量关系式：工作总量= 工作效率X工作时间工作效率= 工作总量 工作时间工作时间= 工作总量 工作效率工作总量+ 工作效率和= 合作时间6 纳税纳税就是把根据国家各种税法的有关规定， 按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。缴纳的税款叫应纳税款。应纳税额与各种收入的（ 销售额、营业额、应纳税所得额）的比率叫做税率。* 利息存入银行的钱叫做本金。取款时银行多支付的钱叫做利息。利息与本金的比值叫做利率。利息= 本金X利率义时间几何的初步知识一线和角（ 1 ）线* 直线直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。* 射线射线只有一个端点；长度无限。* 线段线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。* 平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。* 垂线两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 相交的点叫做垂足。从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。（ 2 ）角( 1 )从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。( 2 )角的分类锐角：小 于9 0 的角叫做锐角。直角：等于9 0 的角叫做直角。钝角：大于9 0 而小于180的角叫做钝角。平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180 o周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360。二平面图形1长方形( 1 )特征对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。( 2 )计算公式c=2(a+b)s=ab2正方形( 1 )特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。( 2 )计算公式c=4as=a23三角形( 1 )特征由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。( 2 )计算公式s=ah/2( 3 )分类按角分锐角三角形：三个角都是锐角。直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。钝角三角形：有一个角是钝角。按边分不等边三角形：三条边长度不相等。等腰三角形： 有两条边长度相等； 两个底角相等； 有一条对称轴。等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。4平行四边形(1 ) 特征两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。 对角相等， 相邻的两个角的度数之和为1 8 0度。平行四边形容易变形。( 2)计算公式s = ah5梯形(1 )特征只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。等腰梯形有一条对称轴。( 2)公式s = (a+ b )h /2 = m h6圆( 1)圆的认识平面上的一种曲线图形。圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。半径： 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 一般用r表示。在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d = 2 r。圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。(2 )圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即半径)；把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。( 3)圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。 用字母 表示。( 4)圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。(5 )计算公式d = 2 rr = d /2c = n dc = 2 H rs = r i r 27扇形(1 ) 扇形的认识一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。圆上AB两点之间的部分叫做弧，读 作 “ 弧AB”。顶点在圆心的角叫做圆心角。在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。扇形有一条对称轴。(2 ) 计算公式s = n r i r 2 /3 6 08环形(1 )特征由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。(2 ) 计算公式s = n (R 2 -r 2 )9轴对称图形(1 ) 特征如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。正方形有4条对称轴， 长方形有2条对称轴。等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。三立体图形(一) 长方体1特征六个面都是长方形(有时有两个相对的面是正方形)。相对的面面积相等，1 2条棱相对的4条棱长度相等。有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。2计算公式s = 2 (ab + ah + b h )V = s hV=abh（ 二）正方体1 特征六个面都是正方形六个面的面积相等12条棱，棱长都相等有 8 个顶点正方体可以看作特殊的长方体2 计算公式S 表=6a2v=a3（ 三）圆柱1 圆柱的认识圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。圆柱两个底面之间的距离叫做高。进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4 或者比4 小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。2 计算公式s 侧 二 （ s 表= $ 侧+ s底X 2v=sh/3（ 四）圆锥1 圆锥的认识圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 2 计算公式v= sh/3（ 五）球1 认识球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。球和圆类似，也有一个球心，用 0 表示。从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用 r 表示，每条半径都相等。通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示， 每条直径都相等， 直径的长度等于半径的2倍，即d= 2 r。2计算公式d= 2 r代数初步知识一、用字母表示数1 用字母表示数的意义和作用*用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式(1)常见的数量关系路程用s表示， 速度v用表示， 时间用t表示， 三者之间的关系：s = v tv - s / 1t = s / v总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系：a = b cb = a / cc = a / b(2 )运算定律和性质加法交换律：a + b = b + a加法结合律：(a + b ) + c = a + (b + c )乘法交换律：a b = b a乘法结合律：(a b ) c = a (b e)乘法分配律：(a + b ) c = a c + b c减法的 性质：a - (b + c ) = a - b - c(3 )用字母表示几何形体的公式长方形的长用a表示， 宽用b表示， 周长用c表示， 面积用s表示。c = 2 (a + b )s = a b正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用s表示。c = 4 as = a 2平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用s表示。s = a h三角形的底用a表示，高用h表示，面积用s表示。s=ah/2梯形的上底用a表示， 下底b用表示， 高用h表示，中位线用m表示,面积用s表示。s=(a+b) h/2s=mh圆的半径用r表示， 直径用d表示, 周长用c表示， 面积用s表示。c=nd=2rirs=n r2扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用s表示。s=n nr2/360长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用s表示，体积用v表示。v=shs=2(ab+ah+bh)v=abh正方体的棱长用a表示，底面周长c用表示，底面积用s表示， 体积用v表示.s=6a2v=a3圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示， 体积用v表不.S 侧= (s表= $ 侧+2s底v=sh圆锥的高用h表示，底面积用s表示， 体积用v表示.v=sh/33用字母表示数的写法数字和字母、字母和字母相乘时，乘 号 可 以 记 作 或 者 省 略 不写，数字要写在字母的前面。当“ 1”与任何字母相乘时，“ 1”省略不写。在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表不O用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。4将数值代入式子求值*把具体的数代入式子求值时， 要注意书写格式： 先写出字母等于几,然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。* 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。二、简易方程（ ）方程和方程的解1方程：含有未知数的等式叫做方程。注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。方程和算术式不同。 算术式是一个式子， 它由运算符号和已知数组成,它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。2方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值， 叫做方程的解。三、解方程解方程，求方程的解的过程叫做解方程。四、列方程解应用题1列方程解应用题的意义* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。2列方程解答应用题的步骤* 弄清题意，确定未知数并用x表示；* 找出题中的数量之间的相等关系；* 列方程，解方程；* 检查或验算，写出答案。3列方程解应用题的方法* 综合法：先把应用题中已知数（ 量）和所设未知数（ 量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（ 量）和所设的未知数（ 量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。4列方程解应用题的范围小学范围内常用方程解的应用题：a 一般应用题；b和倍、差倍问题；c几何形体的周长、面积、体积计算；d分数、百分数应用题；e比和比例应用题。五 比和比例1比的意义和性质(1)比的意义两个数相除又叫做两个数的比。“ ：”是比号，读 作 “ 比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。比的后项不能是零。根据分数与除法的关系， 可知比的前项相当于分子， 后项相当于分母,比值相当于分数值。( 2 )比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数( 0除 外 ) ，比值不变，这叫做比的基本性质。( 3 ) 求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。 它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。( 4 )比例尺图上距离：实际距离=比例尺要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。( 5 )按比例分配在农业生产和日常生活中， 常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。2比例的意义和性质(1)比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。( 2 )比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。( 3 )解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。3正比例和反比例（ 1 ）成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（ 也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y / x =k（ 一定）（ 2 ）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x X y =k （ 一定）简单的统计一 统计表（ 一）意义*把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。（ 二）组成部分* 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。（ 三）种类*单式统计表：只含有一个项目的统计表。*复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。*百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。（ 四）制作步骤1搜集数据2整理数据：要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。3设计草表：要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。4正式制表：把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。二 统 计 图( 一) 意义*用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。( 二) 分类1条形统计图用一个单位长度表示一定的数量， 根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。优点：很容易看出各种数量的多少。注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；复式条形统计图中表示不同项目的直条， 要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。制作条形统计图的一般步骤：( 1 )根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。(2)在水平射线上， 适当分配条形的位置， 确定直线的宽度和间隔。( 3 )在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。( 4 )按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。2折线统计图用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。制作折线统计图的一般步骤：( 1 )根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。(2)在水平射线上， 适当分配折线的位置， 确定直线的宽度和间隔。( 3 )在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。( 4 )按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。3扇形统计图用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。制扇形统计图的一般步骤：( 1 )先算出各部分数量占总量的百分之几。( 2 )再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。( 3 )取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。( 4 )在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。