第八章 模糊模式识别v8-1、模糊集的基本概念vL.A. Zadeh.”教授首次发表“Fuzzy Sets”重要论文，奠定了模糊数学的理论基础，目前“模糊数学”已广泛应用在系统工程、生物科学、社会科学等领域中。v模糊性:“高矮”、“胖瘦”、“年青”、“年老”v一、模糊集的定义：假设论域E=x（讨论的区间），模糊集A是由隶属函数A(x)描述。v A(x)是定义在E上在闭区间0，1中取值的一个函数，反映x对模糊集的隶属程度。v则A(x)描述了E中的一个模糊子集A。模式识别导论第08章+模糊模式识别v二、模糊集A 的台：是E中能使A(x)0的元素集合。v模糊独点集：它的台只含元素x1，而(x1)=1，则记为：A 1/x1（独点集）v若A是有限的台(x1,x2,xn)而(xi)=iv则A= 1/x1+ 2/x2+ n/xn= , i为隶属函数,xi为元素v若A是无限的台则有无限元素v则模式识别导论第08章+模糊模式识别v例：在论域E中确定一个模糊子集A，它表示“园块”这一模糊概念。（如右图）vE=(a,b,c,d,e, f）v(a)=1, (b)=0.9, (c)=0.4, (d)=0.2, (e)= (f)=0abc模式识别导论第08章+模糊模式识别v三、用水平集来划分模糊集v设:A为E=（x）中的模糊集v则A=x| A(x)称为模糊集A的水平集， 为阈值在（0，1）间取值（一个模糊集可利用其水平集来划分）vA为有限个台时，水平集为vA为无限个台时，水平集为v例：关于“年青”的模糊集为E=A50, A45, A40 ,A35, A30, A25vE中模糊集：A=0/ A50+0.1 / A45403530 +1 / A25模式识别导论第08章+模糊模式识别v 水平集:A=0.1 / A45403530 +0.1 / A25v 水平集:A=403530 +0.3 / A25v 水平集:A=3530 +0.5 / A25v不同的有不同的模糊集vA =A45, A40 ,A35, A30, A25vA =A40 ,A35, A30, A25vA =A35, A30, A25vA =A30, A25模式识别导论第08章+模糊模式识别v8-2、模糊集的简单运算及模糊关系v一、并集、交集、补集v设：A,B为E=（x）上的两个模糊集，则它们的并集AB、交集AB、及A的补集 仍为模糊集，则它们的隶属函数为：v并集:A B(x)max(A(x) ,B(x)v交集: A B(x)min(A(x) ,B(x)v补集: =1- B(x) , A(x) ,B(x) 分别为A、B的隶属函数模式识别导论第08章+模糊模式识别v例、模糊集 A=0.3 / x1x2 + 1/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5 B=0.4 / x1x2 + 0/ x3x4 +1 / x5v则 =0.7 / x1x2 + 0/ x3 + 1/ x4 +0.5 / x5 v =0.6 / x1x2 + 1/ x3x4 +0/ x5 v =0.3 / x1x2 + 0/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5 v =0.4 / x1x2 + 1/ x3x4 +0.5 / x5 模式识别导论第08章+模糊模式识别v二、距离的定义：v若A,B为E=（x）上的模糊集，E中有n个元素v则A,B的线性距离为:vA,B的欧氏距离为v我们可以利用模糊集间的距离对模糊集进行分类和聚类。模式识别导论第08章+模糊模式识别v三、模糊关系：v设U,V为两个模糊集,则u,v的笛卡儿乘积集记为：UV=(u,v)|uU,vV, (u,v)是 U,V元素间的一种无约束搭配，若把这种搭配加某种限制， U,V间的这种特殊关系叫模糊关系R。v（模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集，不是无约束的）v隶属度R(u,v)表示u,v具有关系R的程度v例： u为身高， v为体重vu=（1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位m）vv = (40,50,60,70,80) （单位kg）模式识别导论第08章+模糊模式识别40506070801.410.80.2001.50.810.80.201.60.20.810.80.21.700.20.810.81.8000.20.81v模糊矩阵（模糊关系）模式识别导论第08章+模糊模式识别v模糊关系为：v这样的矩阵（元素介于0，1之间）称为模糊矩阵,即模糊关系。模式识别导论第08章+模糊模式识别v四、复合矩阵v设：v例：模式识别导论第08章+模糊模式识别v相乘时取最小，相加时取最大。模式识别导论第08章+模糊模式识别v五、模糊关系的性质v1、自反性：对EE中的模糊关系 ， 为 内的元素,若 成立，则 有自反性。v2、对称性：若对(x,y)EE都有v则 有对称性。矩阵对角线元素对称， ij= ji。模式识别导论第08章+模糊模式识别v具有自反性对称性的模糊关系称为相似关系（或类似关系）v3、传递性:若矩阵 中v有:v具有自反性、对称性、传递性的模糊关系称为等价关系。模式识别导论第08章+模糊模式识别8-3、模糊识别方法v、隶属原则识别法v设： A1, A2,. ,An是E中的n个模糊子集， x0为E中的一个元素，若有隶属函数 i(xo) =max(1(xo), 2(xo),. n(xo),则则xo i。v则则xoAiv若有了隶属函数 (x)，我们把隶属函数作为判别函数使用即可。v此法的关键是求隶属函数模式识别导论第08章+模糊模式识别v二、择近原则识别法v1、定义：两个模糊子集间的贴近度v设：A，B为E上的两个模糊集。则它的贴近度为：模式识别导论第08章+模糊模式识别v例：E=(a,b,c,d,e,f)模式识别导论第08章+模糊模式识别v2、设：E上有n个模糊子集 及另一模糊子集 。若贴近度三、模糊聚类分析：v基于模糊等价关系的聚类方法v设： 是E上一个模糊关系，若满足：v（a）、自反性：ij1v（b）、对称性： ij jiv（c）、传递性：v则称 是E上一个模糊等价关系。模式识别导论第08章+模糊模式识别v定理：若 是E上的一个等价关系。则对任意阈值(0 1)则模糊水平集R 也是E上的一个等价关系。v水平集： R =x| A(x)v例：利用水平集可以聚类v设X x1、x2、x3、x4、 x5 模式识别导论第08章+模糊模式识别v可以证明 是一个模糊等价关系v 水平集为：v把x聚为一类vx聚为二类即x1,x3,x4, x5 x2模式识别导论第08章+模糊模式识别vx分为三类即x1, x3 x2, x4, x5 vx分为四类即x1, x3 x2 x4 x5 模式识别导论第08章+模糊模式识别vx分为五类即x1 x2 x3 x4 x5 v聚类图： x1 x2 x3 x4 x5模式识别导论第08章+模糊模式识别v模糊聚类算法：v设x是要分类的对象全体，建立x上的模糊关系 。它满足自反性、对称性，即：ij1，ij ji 此模糊关系为相似关系。v把相似关系（相似矩阵） 变成等价关系方法为：v取 的乘幂为v（三）选择适当值，取等价关系R的水平集，根据水平集确定样本的类别。模式识别导论第08章+模糊模式识别v例：设Xx1,x2,x5五个人的集合。x1为父亲，x2为儿子，x3为女儿，x4为叔叔，x5为母亲，x上的模糊关系 表示他们间的相象关系。v其中ij表示第i个人xi与第j个人xj的面貌相似程度。v它满足自反性ii1， 、对称性 ij ji，但是不满足传递性。v是相似关系，利用以上方法改造成等价关系。模式识别导论第08章+模糊模式识别模式识别导论第08章+模糊模式识别 应分类为： x1,x2, x3, x5 ,x4 模式识别导论第08章+模糊模式识别v应分类为： x1,x2,x3, x5 ,x4 v应分类为： x1,x2,x3, x5 ,x4 模式识别导论第08章+模糊模式识别v聚类图求模糊等价关系的算法v设： 为相似关系，模式识别导论第08章+模糊模式识别模式识别导论第08章+模糊模式识别