博弈论复习博弈论复习2017例例1给定博弈矩阵给定博弈矩阵（1）该博弈有没有优势）该博弈有没有优势（或上策，或占优）（或上策，或占优）策略均衡策略均衡？没有没有（2）找出该博弈的纯策略纳什均衡）找出该博弈的纯策略纳什均衡。（U,LU,L）(D,R)(D,R)乙乙LR甲甲U1，97，7D0，09，1例例2计算下列得益矩阵的所有纳什均衡（包括混合策略均衡），并指出哪个是帕累托上策均衡，哪个是风险上策均衡，为什么？乙乙L qR 1-q甲甲U p9，90，8D 1-p8，05，5答：纯策略纳什均衡：(U,L) (D,R)9p=8p+5(1-p) p=5/69q=8q+5(1-q) q=5/6混合策略纳什均衡： 博弈方甲以（5/6,1/6）的概率随机选择U和D，博弈方乙以（ 5/6,1/6 ）的概率随机选择L和R。帕累托上策均衡： (U,L) 。 因为(U,L)的双方得益大于 (D,R)的双方得益。风险上策均衡： (D,R)。因为。例例找出下列博弈的颤抖手均衡乙乙LR甲甲U1010，0 06 6，2 2D1010，1 12 2，0 0对于均衡（D，L），如果博弈方2犯错误（即选R）的概率为。博弈方1选D的支付D为10（1）2108博弈方1选U的支付U为10（1）6104U D博弈方1此时就不会再坚持选择D了，因此均衡（D，L）不稳定。同样，对于均衡（U，R）来说，如果博弈方1犯错误（即选D）的概率为。博弈方2选L的支付L为0（1）博弈方2选R的支付R为2（1）02（1）只要2/3.R L均衡（U，R）稳定。例例4求出下列博弈矩阵所有纳什均衡，其中求出下列博弈矩阵所有纳什均衡，其中a0乙乙L a/(a+2)R 2/(a+2)甲甲U 03，42，2D11，12a，1纯策略纯策略纳什均衡纳什均衡：（：（ U U，L L） （D, RD, R）混合混合策略策略纳什均衡纳什均衡是否存在呢？是否存在呢？例例5某某行行业业有有两两个个厂厂商商，一一个个是是产产量量的的领领导导者者，一一个个是是产产量量的的追追随随者者。该该行行业业的的需需求求曲曲线线为为pq，q代代表表行行业业的的总总产产出出。设设两两个个厂厂商商的的边边际际成成本本为为0，领领导导者者首首先先选选择择它它的的产产量量，并并且且知知道道追追随随者者将将观观察察领领导导者者的的选选择择并并根根据据领领导导者者的的产产量量随随之之选选择择使使自自己己利利润润最最大大化化的的产产量量。则则领领导导者者和和追追随随者者将将选选择择的的产产量量为多少？为多少？寡占的斯塔克博格模型:设领导者和追随者的产量分别为q1,q2。q=q1+q2.边际生产成本c1=c2=0。领导者的得益函数：u1=q1p=q1a- (q1+q2)=aq1-q12-q1q2追随者的得益函数：u2=q2p=q2a- (q1+q2)= aq2-q22-q1q2逆推递归法：先分析第二阶段追随者的决策：a-q1-2q2=0；q2=(a-q1)/2领导者知道追随者的决策思路： u1= aq1-q12-q1q2= (aq1-q12)/2 a/2- q1=0 q1=a/2 q2= a/4例例6利用逆向归纳法求出下列扩展型博弈的子博弈完美纳什均衡（写出求解过程）利用逆向归纳法求出下列扩展型博弈的子博弈完美纳什均衡（写出求解过程）22（3，0）（，）（2 2，0 0）（4 4，1 1）RlUUDD1答：1、该博弈共包括两个子博弈：（1）从博弈方1选择L后的博弈方2第二阶的单人博弈、（2）从博弈方1选择R后的博弈方2第二阶段的单人博弈根据逆向归纳法:第二阶段（1）博弈方2选择U得益为0，选择D得益为-2，选择D（2）博弈方二选择U得益为0，选择D得益为1，选择D回到第一阶段 博弈方选择L的得益为3，选择R的得益为4，选择R所以该博弈的子博弈完美纳什均衡为：博弈方1第一阶段选择R，博弈方2 第二阶段选择D，即（4,1）是该博弈的完美纳什均衡。例例7在在某某一一范范围围内内有有两两只只雄雄蛙蛙。如如果果它它们们都都不不鸣鸣叫叫，则则吸吸引引来来的的雌雌蛙蛙数数量量0，即即它它们们都都没没有有交交配配的的机机会会；如如果果有有一一只只雄雄蛙蛙鸣鸣叫叫，那那么么会会吸吸引引来来1只只雌雌蛙蛙，而而鸣鸣叫叫的的雄雄蛙蛙获获交交配配的的机机会会为为m，0.5ml，但但鸣鸣叫叫者者有有成成本本z；如如果果它它们们都都鸣鸣叫叫，則則获获得得交交配配的的机机会会为为P，mP1，此此时时各各有有成成本本z。这这样样两两只只雄雄蛙蛙之之间间构构成成下下图图得得益矩阵代表的博弈。益矩阵代表的博弈。 （P233）雄蛙雄蛙2 2鸣叫不鸣雄蛙雄蛙1 1鸣叫Pz， Pzmz，1m不鸣1m ，mz0，0例例8两家电视台竞争周末黄金时段晚8点到10点的收视率，可选择把较好的节目放在前面还是后面,他们决策的不同组合导致收视率如下：如果两家是同时决策，有纳什均衡吗？如果电视台1先选择，结果有什么?若电视台2先选择呢?如果两家谈判合作，电视台1许诺将好节目放在前面，这许诺可信吗?结果可能是什么？ 电视台电视台2 2前面后面电视台电视台1 1前面18，1824，20后面6，2415，15例例9双双寡寡头头古古诺诺模模型型，反反需需求求函函数数为为PaQ，其其中中Qq1q2为为市市场场总总需需求求，但但a有有ah和和al，厂厂商商1知知道道a究究竟竟是是ah，还还是是al；而而厂厂商商2只只知知道道aah的的概概率率是是，aal的的概概率率是是1，两两个个厂厂商商的的成成本本函函数数分分别别为为C1cq1，C2cq2，其其中中，c是是大大于于0的的常常数数。如如果果同同时时选选择择产量的话，本博弈的贝叶斯纳什均衡是多少？产量的话，本博弈的贝叶斯纳什均衡是多少？ 例例10求出下列扩展型博弈的完美贝叶斯均衡（写出求解过程）求出下列扩展型博弈的完美贝叶斯均衡（写出求解过程） 12L(p)M(1p)UDUD(0,1)(0,2,)(0,0)(2,1)R(1,3)例例11假假设设参参与与人人小小张张和和小小王王分分配配10元元钱钱。他他们们同同意意最最多多用用3天天的的时时间间协协商商分分配配问问题题。第第1天天，小小张张给给出出一一个个报报价价；第第2天天，小小王王可可以以接接受受也也可可以以拒拒绝绝这这个个报报价价，如如果果他他拒拒绝绝，他他要要提提出出一一个个新新报报价价；第第3天天，小小张张提提出出最最终终的的报报价价。如如果果他他们们不不能能在在3天天之之内内达达成成协协议议，那那么么，双双方方都都将将一一无无所所获获。假假定定小小张张和和小小王王的的贴贴现现因因子子分分别别为为和和，求求子博弈完美纳什均衡子博弈完美纳什均衡。答：第一天，小张的方案是自己得答：第一天，小张的方案是自己得S1，小王得，小王得10-S1。小王接受或不接受，接受则小张和小王的得益分别为。小王接受或不接受，接受则小张和小王的得益分别为S1和和10-S1，不接受则进入下一回合。，不接受则进入下一回合。第第二二天天，小小王王的的方方案案是是小小张张得得S2，自自己己得得10-S2。小小张张接接受受或或不不接接受受，接接受受则则小小张张和和小小王王的的得得益益分分别别为为 （ 10-S2 ）和和 S2。不不接接受受则则进进入入下下一一回回合。合。第三天，小张的方案是自己得，小张的方案是自己得S，小王得，小王得10-S。此时小王必须接受。此时小王必须接受,小张和小王的得益分别为小张和小王的得益分别为 2S 和和 2（ 10-S）。）。第二回合，小张的得益 S2= 2S 即即S2= S。小王的得益为。小王的得益为 （ 10- S ）=10 - S。不会了。不会了例例12若若你你正正在在考考虑虑收收购购一一家家公公司司的的1万万股股股股票票，卖卖方方的的开开价价是是2元元/股股。根根据据经经营营情情况况的的好好坏坏，该该公公司司股股票票的的价价值值对对于于你你来来说说1元元/股股和和5元元/股股两两种种可可能能，但但只只有有卖卖方方知知道道经经营营情情况况的的真真实实情情况况，你你所所知知的的只只是是两两种种情情况况各各占占50%的的可可能能性性。如如果果在在公公司司经经营营情情况况不不好好时时，卖卖方方做做到到使使你你无无法法识识别别真真实实情情况况的的“包包装装”费费用用是是5万万元元，问问你你是是否否会会接接受受卖卖方方价价格格买买下下这这家家公公司司？如如果果“包包装装”费费用用是是5千千元元，你你是是否否会会接受卖方价格买下这家公司？接受卖方价格买下这家公司？当当“包包装装”费费用用是是5 5万万元元时时，“包包装装”是是个个劣劣策策略略，销销售售2 2元元/ /股股的的股股票票对对我我来来说说肯肯定定值值5 5元元/ /股股。因因此此，我我会会卖卖此此股股票票。即即博博弈弈的的贝贝叶叶斯斯纳纳什什均均衡衡是是：“好好”企企业业“卖卖”，“坏坏”企企业业“不不卖卖”，我，我“买买”。当当“包包装装”费费用用是是5 5千千元元时时，我我作作“买买”的的最最坏坏打打算算，假假定定“坏坏”企企业业会会“包包装装”销销售售2 2元元/ /股股的的股股票票。我我“买买”的的期期望望（净净）得得益益为为（0.55+0.51-20.55+0.51-2）1=11=1万万元元； “不不买买”的的期期望望（净净）得得益益为为0 0。因因此此，我我也也会会卖卖此此股股票票。此此时时， “坏坏”企企业业也也肯肯定定会会“包包装装”销销售售2 2元元/ /股股的股票。即博弈的贝叶斯纳什均衡是：的股票。即博弈的贝叶斯纳什均衡是：“好好”企业和企业和“坏坏”企业都企业都“卖卖”，我会全，我会全“买买”。例例13在在两两人人分分1万万元元的的讨讨价价还还价价问问题题中中，假假设设博博弈弈方方1风风险险中中性性，博博弈弈方方2是是风风险险规规避避的的（u2s2b，b0.8），假假设设不不管管谈谈判判是是否否成成功功，这这1万万元元中中的的2千千元元必必须须留留给给博博弈弈方方2，要要求求这这个个两两人人讨讨价价还还价价问问题题的的纳纳什解。什解。例例14在在破破产产博博弈弈中中，债债权权人人1有有债债权权100万万元元，债债权权人人2有有债债权权500万万元元。若若两两人人都都是是风风险险中中性性的的，分分别别求求可可清清偿偿资资产产为为100万万、300万万和和500万情况下的纳什讨价还价解和万情况下的纳什讨价还价解和K-S讨价还价解。讨价还价解。 例例15两两户户居居民民同同时时决决定定是是否否维维护护某某合合用用的的设设施施。如如果果只只要要有有一一户户人人家家维维护护，两两户户人人家家就就都都能能得得到到1单单位位好好处处；没没有有人人维维护护则则两两户户人人家家均均没没有有好好处处。设设两两户户人人家家维维护护的的成成本本不同，分别为不同，分别为c1和和c2。（1）如果假设）如果假设c1和和c2分别是分别是0.1和和0.5，该博弈的纳什均衡是什么？博弈结果会如何？，该博弈的纳什均衡是什么？博弈结果会如何？（2）如如果果c1和和c2都都是是独独立立均均匀匀分分布布在在0，1上上的的随随机机变变量量，真真实实水水平平只只有有每每户户人人家家自自己知道，该博弈的贝叶斯纳什均衡是什么？己知道，该博弈的贝叶斯纳什均衡是什么？一般情况下的得益矩阵 完全信息情况下的得益矩阵居民2提供不提供居民1提供1c1，1c21c1，1不提供1，1c20，0居民2提供不提供居民1提供0.9，0.50.9，1不提供1，0.50，0例例15选择临界值策略：对于居民1来说，如果c1s，选择“提供”；如果c1s，选择“不提供”。对于居民2来说，如果c2ts=1-t（临界条件相同），或s+t=1。同理，根据居民2的情况，也能推出s+t=1。因此，满足s+t=1条件所有组合均为贝叶斯纳什均衡。