大姚县实验中学大姚县实验中学 夏夏 彪彪【学习目标】【学习目标】1、通过对实例的探究，学会推导并掌握基本不等式，理解它、通过对实例的探究，学会推导并掌握基本不等式，理解它的几何意义；的几何意义； 2、会应用基本不等式解决一些简单的实际问题；、会应用基本不等式解决一些简单的实际问题；3、渗透、渗透“化归与转化化归与转化”的数学思想，提高运算能力和逻辑推理的数学思想，提高运算能力和逻辑推理能力。经历几何与代数的结合运用，体会各种事物之间的普遍联能力。经历几何与代数的结合运用，体会各种事物之间的普遍联系。系。【学习重点】【学习重点】【学习难点】【学习难点】1、用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本、用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式不等式 的证明过程的证明过程;2、掌握基本不等式，会用它解决一些简单的实际问题。、掌握基本不等式，会用它解决一些简单的实际问题。 1、能根据实例的探究推导及证明基本不等式，掌握基本不等式、能根据实例的探究推导及证明基本不等式，掌握基本不等式等号成立条件。等号成立条件。2、应用基本不等式解决实际问题。、应用基本不等式解决实际问题。 第第24届国际数学家大会会届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。国人民热情好客。创设情境创设情境思考思考1：这会标中含有哪几种几何图形？：这会标中含有哪几种几何图形？思考思考2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？不等关系？问题问题2：s, S/有相等的情况吗？何时相等？有相等的情况吗？何时相等？将图中的“风车”抽象成右图【自主探究】【自主探究】问题问题1：正方形：正方形ABCD的面积的面积S与四个直角三角与四个直角三角形的面积和形的面积和S/有什么关系？有什么关系？ABCDE(FGH)ab问题问题2：那么它们有相等的情况吗？：那么它们有相等的情况吗？结论结论： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.文字叙述文字叙述:两数的平方和不小于它们积的两数的平方和不小于它们积的2倍。倍。ADCBHFGEab思考：思考：你能用其它方法你能用其它方法证明不等式明不等式 ？ 证明证明：（作差法）：（作差法） 当且仅当当且仅当a=b时时, 等号成立等号成立. 【合作探究】【合作探究】问题问题2：你能用作差法证明这个不等式吗？你能用作差法证明这个不等式吗？证明：证明：当且仅当当且仅当a=b时时, 等号成立等号成立. 问题问题1：通常我们把上式写为通常我们把上式写为几何意义：半径不小于半弦长几何意义：半径不小于半弦长问题问题3 3：对于这个不等式，我们还可以用下图对它作出几：对于这个不等式，我们还可以用下图对它作出几何解释？何解释？【合作探究】【合作探究】ABEOCabD 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数文字叙述文字叙述当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立思考思考如何用如何用a, b表示表示CD? 思考思考如何用如何用a, b表示表示OD? 思考思考OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样?基本不等式基本不等式适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条成立条件件a=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式 例例1：(1)如如图图,用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园,问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆笆最最短短，最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？解：如图设解：如图设BC=x ，CD=y ， 则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当当且仅当 时，时，等号等号成立成立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短，最短的篱笆是40m. 此时此时x=y=10. x=yABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，x+y有最小值有最小值_.知识迁移：知识迁移：例例1：(2)如如图图，用用一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一个个矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形菜菜园园的的长长和和宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最大，最大面积是多少？最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m2得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时， 菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2即即x=y=9若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，xy有最大值有最大值_；ABDC知识迁移：知识迁移：应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件： a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大强调：强调：求最值时要考虑不等式是否能取到求最值时要考虑不等式是否能取到“”方法总结：方法总结：【课堂练习】【课堂练习】1 1、本节课学习的主要内容是什么？、本节课学习的主要内容是什么？（1）数形结合数形结合（2）转化与化归）转化与化归1 1、本节课学习的主要内容是什么？、本节课学习的主要内容是什么？ 3、本节课用到了哪些数学思想方法？、本节课用到了哪些数学思想方法？2 2、利用基本不等式解决数学问题的条件是、利用基本不等式解决数学问题的条件是什么什么？【课堂感悟】【课堂感悟】【课外作业】：【课外作业】： 1、完成导学案课后巩固拓展。2、用建立二次函数模型方法解决例1（2），并对两种解法进行比较。3、上网查询赵爽弦图的相关知识，了解我国古代数学家的辉煌成就。