名师总结 优秀知识点 指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念 1、如果,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a 的n 次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0 的n次方根是 0；负数a没有n次方根 2、式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n 为偶数时，0a 3 、 根 式 的 性 质 ：()nnaa； 当n为 奇 数 时 ，nnaa； 当n为 偶 数 时 ， (0)| (0) nnaaaaaa （二）分数指数幂的概念 1、正数的正分数指数幂的意义是：(0, ,mnmnaaam nN且1)n 0 的正分数指数幂等于 0 2、正数的负分数指数幂的意义是： 11( )( ) (0,mmmnnnaam nNaa且1)n 0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 3、a0=1 (a 0) ap 1/ap (a 0；pN ) 4、指数幂的运算性质 (0, ,)rsrsaaaar sR ()(0, ,)rsrsaaar sR ()(0,0,)rrraba b abrR 5、0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地，函数) 1a, 0a (ayx且叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意： 1 指数函数的定义是一个形式定义； 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和 1 三、指数函数的图象和性质 函数名称 指数函数 定义 函数(0xyaa且1)a 叫做指数函数 图象 1a 01a 定义域 R 值域 （0,+ ） 过定点 图象过定点（0,1 ） ，即当 x=0 时，y=1 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 xay xy(0,1)O1y xay xy(0,1)O1y 名师总结 优秀知识点 函数值的 变化情况 y1(x 0), y=1(x=0), 0y1(x 0) y1(x 0), y=1(x=0), 0 y1(x 0) a变化对 图象影响 在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x 轴 在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x 轴 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在a ，b 上，) 1a0a (a)x( fx且值域是)b( f),a ( f 或)a ( f),b( f （2）若0x ，则1)x( f；)x( f取遍所有正数当且仅当Rx （3）对于指数函数) 1a0a (a)x( fx且，总有a) 1 ( f （4）当1a 时，若21xx ，则)x( f)x( f21 四、底数的平移 对于任何一个有意义的指数函数： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在 f(X) 后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 即“上加下减，左加右减” 五、幂的大小比较 常用方法（1）比差（商）法： （2）函数单调性法； （3）中间值法：要比较 A与 B 的大小，先找一个中间值 C，再比较 A与 C、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到 A与 B 之间的大小。 注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。 例如：y1=34,y2=35 （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如：y1=（1/2 ）4,y2=34, （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与 0、1 的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数 a 和 1 与指数 x 与 0 之间的不等号同向时，ax大于 1，异向时 ax小于 1. 对数函数及其性质 一、对数与对数的运算 （一）对数 1对数的概念：一般地，如果Nax) 1, 0( aa，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：Nxalog（a 底数，N 真数，Nalog 对数式） 说明： 注意底数的限制0a，且1a； xNNaaxlog； 注意对数的书写格式Nalog 两个重要对数： 常用对数：以 10 为底的对数Nlg； 叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数当为奇数时为任意实数当为偶数幂没有意义注意口诀底数取倒数指数取相反数指数幂的运算性质的正分数的底数的取值范围不能是负数零和三指数函数的图象和性质函数名称名师总结 优秀知识点 自然对数：以无理数71828. 2e为底的对数的对数Nln 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ba NlogaN b 底数 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果0a，且1a，0M，0N，那么： Ma(log)NMalogNalog； 2 NMalogMalogNalog； 3 naMlognMalog )(Rn MaMannlog1log bbaalog babalog loga1=0 log a a=1 a log a N=N log a a b=b 注意：换底公式 abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b） 推论( 利用换底公式) bmnbanamloglog； abbalog1log 二、对数函数 1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且) 1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+） 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：0(a，且) 1a 三、对数函数的图像和性质： 函数名称 对数函数 定义 函数log(0ayx a且1)a 叫做对数函数 图象 1a 01a 定义域 (0,) 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x 时，0y 奇偶性 非奇非偶 xyO(1,0)1x logayxxyO(1,0)1xlogayx叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数当为奇数时为任意实数当为偶数幂没有意义注意口诀底数取倒数指数取相反数指数幂的运算性质的正分数的底数的取值范围不能是负数零和三指数函数的图象和性质函数名称名师总结 优秀知识点 单调性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 函数值的 变化情况 log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxx log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxx a变 化 对图象影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高 在第一象限内，a越大，图象越靠近 x 轴 在第四象限内，a越大，图象越靠近 y 轴 在第一象限内，a越小，图象越靠近 x 轴 在第四象限内，a越小，图象越靠近 y 轴 四、对数的平移、大小比较与指数函数类似 反函数 一、反函数定义 设函数( )yf x的定义域为A， 值域为C， 从式子( )yf x中解出x， 得式子( )xy 如果对于y在C中的任何一个值，通过式子( )xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子( )xy表示x是y的函数，函数( )xy叫做函数( )yf x的反函数，记作1( )xfy，习惯上改写成1( )yfx 二、反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域； 从原函数式( )yf x中反解出1( )xfy； 将1( )xfy改写成1( )yfx，并注明反函数的定义域 三、反函数的性质 原函数( )yf x与反函数1( )yfx的图象关于直线yx对称 函数( )yf x的定义域、值域分别是其反函数1( )yfx的值域、定义域 若( , )P a b在原函数( )yf x的图象上，则( , )P b a在反函数1( )yfx的图象上 一般地，函数( )yf x要有反函数则它必须为单调函数 幂函数及其性质 一、幂函数的定义 一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数 二、幂函数的图象 函数 特征 性质 y=x yx2 yx3 yx12 yx 1 定义域 R R R 0 ，） |x x 0 值域 R 0 ，） R 0 ，） |y y 0 x )0，增 x ()0，增 单调性 增 x (， 0减 增 增 x ()， 0减 所过定点 （ 1， 1） （ 0， 0） （ 1， 1） （ 0， 0） （ 1， 1） （ 0， 0） （ 1， 1） （ 0， 0） （ 1， 1） 叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数当为奇数时为任意实数当为偶数幂没有意义注意口诀底数取倒数指数取相反数指数幂的运算性质的正分数的底数的取值范围不能是负数零和三指数函数的图象和性质函数名称名师总结 优秀知识点 三、幂函数的性质 1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限( 图象关于y轴对称) ； 幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限( 图象关于原点对称) ； 幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 2、过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1) 3、单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数 如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴 4、奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数， 当为偶数时，幂函数为偶函数 当qp（其中, p q互质，p和qZ） ， 若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数， 若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数， 若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数 5、图象特征：幂函数,(0,)yxx， 当1时，若01x ，其图象在直线yx下方， 若1x ，其图象在直线yx上方， 当1时，若01x ，其图象在直线yx上方， 若1x ，其图象在直线yx下方 叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数当为奇数时为任意实数当为偶数幂没有意义注意口诀底数取倒数指数取相反数指数幂的运算性质的正分数的底数的取值范围不能是负数零和三指数函数的图象和性质函数名称名师总结 优秀知识点 练习题 叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数当为奇数时为任意实数当为偶数幂没有意义注意口诀底数取倒数指数取相反数指数幂的运算性质的正分数的底数的取值范围不能是负数零和三指数函数的图象和性质函数名称