第17章 第第3 3节节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 方向导数与梯度方向导数与梯度1引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热到冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行一、方向导数一、方向导数在一些实际问题中，需要研究函数在某一点沿任意方向的变化率，因此产生了方向导数。2若函数则称此极限为函数在点 P0 处沿方向 l 的方向导数方向导数.记作在点 的某邻域表示P与P0的距离,若存在下列极限: 内有定义, l为从点出发的射线,为l上且含于内的任意一点.定义定义:3注意注意若l的方向角为记则4定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得故5对于二元函数向角为, ) 的方向导数为特别特别: : 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向6方向导数存在 可微反例见教材P126例27例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量3) 的方向导数 .解解: 向量 l 的方向余弦为8指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A例例2. 函数提示提示:则9二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率(即方向导数)最大的方向 模 : f 变化率的最大值方向导数取最大值：设函数在点可微,其沿着不同方向的方向导数是不同的，101. 定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 注意注意:函数沿某方向的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量112. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式12例例1. 函数在点处的梯度解解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性13例例2： 求函数在点M（1，0，1） 处的最大方向导数。解：解：在点M（1，0，1）处的最大方向导数为：同理14解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得故例例315例例4.证证:试证处矢径 r 的模 ,16内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为172. 梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.18P127 1, 2，3，4.作业作业19