第五章第五章 不定积分不定积分5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质1. 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念2.2. 基本积分表基本积分表3.3. 不定积分的性质不定积分的性质4.4. 小结小结例例一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义 若在若在 I 上恒有上恒有 F (x)=f(x)（即即 dF(x)=f(x)dx），），称称 F(x) 为为 f(x) 在在 I 上的一个上的一个原函数原函数。考虑原函数的表达式：考虑原函数的表达式：任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量 f(x) 在在 I 上的不定积分也可看成是上的不定积分也可看成是 f(x) 在在 I 上的上的原函数全体原函数全体。不定积分（或原函数）的存在性与唯一性：不定积分（或原函数）的存在性与唯一性：1、存在性：、存在性：（1）不是每个函数在定义区间上都有原函数；）不是每个函数在定义区间上都有原函数；（2）在）在 I 上的上的连续函数连续函数一定有原函数一定有原函数（即：（即：一定有一定有不定积分不定积分），），2、唯一性：、唯一性：例例1解解例例2 2 设曲线通过点（设曲线通过点（1, 2），且其上任一点处的切线），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为求不定积分得到一个求不定积分得到一个积分曲线族积分曲线族 y=F(x)+C.y=F(x)y=F(x)+Cx斜率斜率f(x)例例3微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的的:=由此可知：由此可知：+C,+C. 积分运算和微分运算是互逆的，因此，积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。二、二、 基本积分表基本积分表 将基本导数公式将基本导数公式从右往左从右往左读，（然后稍加整理）读，（然后稍加整理）可以得出可以得出基本积分公式（基本积分表）基本积分公式（基本积分表）。基基本本积积分分表表是常数是常数);基基本本积积分分表表 求不定积分的基本思想（仍然）是求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简化繁为简将所求积分化为将所求积分化为基本积分表基本积分表中的积分。中的积分。解解根据根据幂函数的积分公式幂函数的积分公式例例4 4 求求（恒等变形法恒等变形法）三、三、 不定积分的（不定积分的（线性线性）性质性质例例5 5例例7 7例例8 8例例9 9例例1010例例1111例例1212解解所求曲线方程为所求曲线方程为3. 基本积分表基本积分表；5. 不定积分的（线性）性质；不定积分的（线性）性质； 1. 原函数的概念：原函数的概念： ；2. 不定积分的概念：不定积分的概念： ；4. 求微分与求积分的互逆关系；求微分与求积分的互逆关系；四、小结四、小结6. 求不定积分的基本方法：将所求积分转化为求不定积分的基本方法：将所求积分转化为基本积分表基本积分表中的积分。中的积分。思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么内是否存在原函数？为什么？解答：解答：不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误。故假设错误。所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都没有原函数的函数都没有原函数.