等差数列及前等差数列及前n项和项和 教学目标：教学目标： 求和公式的性质及应用，求和公式的性质及应用，S Sn n与与a an n的关系以及的关系以及数列求和的方法。数列求和的方法。教学重点：求和公式的性质应用。教学重点：求和公式的性质应用。 难点：求和公式的性质运用以及数列求和的方法难点：求和公式的性质运用以及数列求和的方法引入引入 可见可见d0d0时，时，S Sn n是关于是关于n n的缺常数项的的缺常数项的二次函数，其二次项系数是公差的一半。二次函数，其二次项系数是公差的一半。1、求和公式的性质：、求和公式的性质： 性质性质1 1、若数列、若数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n=an=an2 2+bn+bn( (a,ba,b为常数为常数) )，则数列，则数列aan n 是等差数列。是等差数列。aan n 是等差数列是等差数列S Sn n=an=an2 2+bn(a,b+bn(a,b为常数为常数) )性质性质2 2、等差数列、等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,则则(n(n为奇数为奇数) )(n(n为偶数为偶数) )如：两个等差数列如：两个等差数列 a an n,b,bn n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,T,Tn n则则 性质性质3 3、等差数列平均分组，各组之和仍为、等差数列平均分组，各组之和仍为等差数列等差数列即即S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n,成等差数列成等差数列如：如：aan n 是等差数列，是等差数列，(1)a(1)a1 1+a+a2 2+a+a3 3=5=5，a a4 4+a+a5 5+a+a6 6=10,=10,则则a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=_=_a a1919+a+a2020+a+a2121=_=_(2)S(2)Sn n=25,S=25,S2n2n=100,=100,则则S S3n3n=_=_1535225反之呢？反之呢？性质性质4 4、若等差数列、若等差数列aan n 共有共有2n-12n-1项，项， 若等差数列若等差数列aan n 共有共有2n2n项，则项，则S S偶偶-S-S奇奇= =ndnd, , 如如aan n 为等差数列，项数为奇数，奇数项和为为等差数列，项数为奇数，奇数项和为4444，偶数项和为，偶数项和为3333，求数列的中间项和项数。，求数列的中间项和项数。性质性质5 5、aan n 为等差数列，求为等差数列，求S Sn n的最值。的最值。则则S Sn n最大。最大。则则S Sn n最小。最小。或利用二次函数求最值。或利用二次函数求最值。2 2、常用数列的求和方法：、常用数列的求和方法：(3)(3)裂项法：设裂项法：设aan n 是等差数列，公差是等差数列，公差d0d0 (4)(4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和倒序相加法：用于与首末两端等距离的和相等。相等。随堂练习随堂练习1 1、在等差数列、在等差数列aan n 中中, ,已知已知S S1515=90,=90,那么那么a a8 8等于等于 A A、3 B3 B、4 C4 C、6 D6 D、1212 2 2、等差数列、等差数列aan n 的前的前m m项的和为项的和为3030，前，前2m2m项的和项的和为为100100，则它的前，则它的前3m3m项的和为项的和为 A A、130 B130 B、170 C170 C、210 D210 D，260260 3 3、设数列、设数列aan n 是等差数列，且是等差数列，且a a2 2=-6,a=-6,a8 8=6,S=6,Sn n是数列是数列aan n 的前的前n n项和，则项和，则 A A、S S4 4SS5 5 B B、S S4 4=S=S5 5 C C、S S6 6SS5 5 D D、S S6 6=S=S5 5CCB4 4、设、设aan n 是递增等差数列，前三项的和为是递增等差数列，前三项的和为1212，前三项的积为前三项的积为4848，则它的首项是，则它的首项是 A A、1 B1 B，2 C2 C、4 D4 D、6 65 5、数列、数列aan n 中，中，a an n=26-2n,=26-2n,当前当前n n项和项和S Sn n最大时，最大时，n=_n=_6 6、在等差数列、在等差数列aan n 中中, ,已知前已知前4 4项和是项和是1 1，前，前8 8项项和是和是4 4，则，则a a1717+a+a1818+a+a1919+a+a2020等于等于_7 7、已知在等差数列、已知在等差数列aan n 中，中，a a1 10,S0,0,公差公差d0,Sd0,S0,S13130.1)0.1)求公差求公差d d的取值范围的取值范围 2)2)指出指出S S1 1,S,S2 2,S Sn n,中哪一个值最大，并说明理由中哪一个值最大，并说明理由 。解解1)：由题意：由题意2)2)由于由于a a7 70,a0,0,所以所以S S6 6最大最大。 例例4 4、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需要地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需要2424小时，但小时，但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每一台投入工作它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦割完，如果第一台收割时间是最后一后都一直工作到小麦割完，如果第一台收割时间是最后一台的台的5 5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间？少时间？解：设有解：设有n n台收割机，第台收割机，第k k台所用时间为台所用时间为a ak k, ,则则a a1 1=5a=5an n它们每台每小时的收割量为它们每台每小时的收割量为S Sn n=24n=24n所以用这种方法收割完小麦需要所以用这种方法收割完小麦需要40小时小时。 例例5 5、在等差数列、在等差数列aan n 中，已知中，已知a a1 1=20,=20,前前n n项和为项和为S Sn n, ,且且S S1010=S=S1515，求当，求当n n取何值时，取何值时，S Sn n有最大值，并求出它的最大值。有最大值，并求出它的最大值。解：由解：由S S1010=S=S1515得得a a1111+a+a1212+a+a1313+a+a1414+a+a1515=0=0所以所以a a1313=0=0因为因为a a1 10,a0,a1313=0,=0,所以所以d0d00而而n14n14时时a an n00所以所以S S1212和和S S1313最大最大最大值为最大值为13026补补 充充2002