八八 数学广角数学广角其中一瓶少其中一瓶少3片。片。打开瓶子打开瓶子数一数数一数 用手掂一掂，用手掂一掂，比较轻的就比较轻的就是少的那一是少的那一瓶瓶。 用秤称用秤称 像这种比较轻的物品，像这种比较轻的物品，我们一般借助我们一般借助天平天平来来测量它的重量测量它的重量。在天平的左右两边各放在天平的左右两边各放1瓶钙片，瓶钙片，如果平衡说明这两个都不是次品如果平衡说明这两个都不是次品. 在天平的左右两边各放在天平的左右两边各放1瓶钙片，如果不平衡，说瓶钙片，如果不平衡，说明次品就在翘起来的那边。明次品就在翘起来的那边。 在生活中我们常常会遇在生活中我们常常会遇到这样的情况，在一些外观到这样的情况，在一些外观看似相同的物品中，混着一看似相同的物品中，混着一个质量不同轻一点或重一点个质量不同轻一点或重一点的物品，需要我们想办法把的物品，需要我们想办法把它找出来，像这类问题我们它找出来，像这类问题我们把它叫做把它叫做“找次品找次品”。天 平次品2瓶结论：两瓶可以一次找出次品。次品123在天平的左右两边各放在天平的左右两边各放1 1瓶，如果不瓶，如果不平衡，说明次品就在翘起来的那边。平衡，说明次品就在翘起来的那边。3瓶次品123结论：三瓶也可以一次找出次品。如果平衡，说明次品就是另外一瓶。如果平衡，说明次品就是另外一瓶。 3瓶这样称能找出次品吗？为什么？这样称能找出次品吗？为什么？放在天平两边物体的个数应相同。放在天平两边物体的个数应相同。1234瓶1234123 412341234次品次品次品结论：四瓶要两次才可以找出次品。例例1 这里有这里有5瓶健胃消食片，其中一瓶少了瓶健胃消食片，其中一瓶少了3粒，你能想办法把它找出来吗？粒，你能想办法把它找出来吗？健胃消健胃消 食食 2健胃消健胃消 食食 1健胃消健胃消 食食 3健胃消健胃消 食食 5健胃消健胃消 食食 4健胃消健胃消 食食 3健胃消健胃消 食食 2健胃消健胃消 食食 1 健胃消健胃消 食食 4健胃消健胃消 食食 5健胃消健胃消 食食 3健胃消健胃消 食食 2健胃消健胃消 食食 1 健胃消健胃消 食食 4健胃消健胃消 食食 521219瓶瓶数瓶数分成的分成的份数份数每份的个数每份的个数保证能找出保证能找出次品的次数次品的次数9999瓶数瓶数分成的分成的份数份数每份的个数每份的个数保证能找出保证能找出次品的次数次品的次数999933594、4、13、3、32、2、2、2、11、1、1、1、1、1、1、1、13234结论：九瓶也只要两次可以保证找出次品。10瓶10瓶两次能保证找行到次品吗？再试一试吧！1025、531033、3、431034、4、231043、3、2、231052、2、2、2、2 310101、1、1、1、1、1、1、1、1、15瓶数瓶数分成的分成的份数份数每份的个数每份的个数保证能找出保证能找出次品的次数次品的次数结论：十瓶至少要三次才保证可以找出次品。(分3份)666第一次第二次(分3份)2 2 2第三次(分2份)1 118(分3份)999第一次第二次(分3份)3 3 3第三次(分3份)1 1 127(分3份)9910第一次第二次(分3份)3 3 4第三次(分2份)2 228(分3份)第二次第三次(分3份)第四次(分3份)279 9 93 3 3111278127第一次(分3份)最优策略：、把待测物品分成三份。、平均分、尽量平均分，不能均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差。研究记录表研究记录表分一分分一分称一称称一称想一想想一想瓶瓶 数数分成几份分成几份每份各是几个每份各是几个称的次数称的次数保证能找出次品保证能找出次品称的最少次数称的最少次数 53(2, 2, 1)2263(2, 2, 2)2273(2, 2, 3)2283(3, 3, 2)2293(3, 3, 3)2最佳分法最佳分法3最好是平均分最好是平均分或者使多的一份与少的一份个数只相差或者使多的一份与少的一份个数只相差12103(3, 3, 4)33113(4, 4, 3)33你知道吗？你知道吗？用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系关系（只含一个次品，已知次品比正品重或轻。）（只含一个次品，已知次品比正品重或轻。） 要辨别的物品数目要辨别的物品数目 保证能找出次品需要的次数保证能找出次品需要的次数 23491027288182243 12345 有有 10 瓶水，其中瓶水，其中 9 瓶质量相同，另有瓶质量相同，另有 1 瓶是盐瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水这瓶盐水? 分成分成 3 份份( (3，3，4) )，则至少称，则至少称 3次可以保证找次可以保证找出这瓶盐水。出这瓶盐水。1. ( (1) )如果用天平称，称几次可以找出来如果用天平称，称几次可以找出来? 2 次。次。我吃了我吃了 2 个。个。这这 9 筐里你吃筐里你吃的是哪一筐的是哪一筐?300 g/筐筐( (2) )你能称你能称 2 次就保证把它找出来吗次就保证把它找出来吗?将将 9 筐分成筐分成 3 份份( (3，3，3) )，天平两边分别放天平两边分别放 3 筐，若天平平衡，则轻的一筐在剩余的三筐中。筐，若天平平衡，则轻的一筐在剩余的三筐中。 再从剩余三筐中取两筐，分别放在天平两盘中各一再从剩余三筐中取两筐，分别放在天平两盘中各一筐，若分出轻重，则放在轻的一边的一筐即为小松筐，若分出轻重，则放在轻的一边的一筐即为小松树吃的那一筐；若天平仍平衡，则剩余的一筐即为树吃的那一筐；若天平仍平衡，则剩余的一筐即为小松鼠吃的那一筐。若第小松鼠吃的那一筐。若第步天平不平衡，则从较步天平不平衡，则从较轻的三筐中取两筐，操作如轻的三筐中取两筐，操作如。( (3) )如果天平两边各放如果天平两边各放 4 筐，称一次有可能称出来吗筐，称一次有可能称出来吗? 有可能。有可能。2. 有有 15 盒饼干，其中的盒饼干，其中的 14 盒质量相同，另有盒质量相同，另有 1 盒盒 少了几块，如果能用天平称，至少几次可以找出少了几块，如果能用天平称，至少几次可以找出 这盒饼干这盒饼干?3 次。次。3. 计算。计算。37+ 45= +15352835=4335= 1835512+ 58= +10241524=2524= 112479+ 67= +49635463=10363= 140631 - - - - 2737= - - -772737=275. 1 箱糖果有箱糖果有 12 袋，其中有袋，其中有 11 袋质量相同，另有袋质量相同，另有 1 袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋 糖果来糖果来?你会用下面的图表示你会用下面的图表示称的过程吗称的过程吗?把把 12 袋糖袋糖分成分成 3 份，份，每份每份 4 袋。袋。天平两边各天平两边各放放 4 袋。袋。平衡平衡不平衡不平衡 14+ + 16- - 121634= + +143416= 116= - - 3616=2613=13= 1 + 164. 小明和爸爸现在年龄的和是小明和爸爸现在年龄的和是 34 岁，岁，3 年后爸爸比年后爸爸比 小明大小明大 24 岁。今年小明和爸爸各多少岁岁。今年小明和爸爸各多少岁?今年小明的年龄今年小明的年龄: ( (34 - - 24) )2 = 5 ( (岁岁) )今年爸爸的年龄今年爸爸的年龄: 5 + 24 = 29 ( (岁岁) )答答: 今年小明今年小明 5 岁，爸爸岁，爸爸 29 岁。岁。6. 有有 3 袋白糖，其中袋白糖，其中 2 袋每袋袋每袋 500 g，另，另 1 袋不是袋不是 500 g， 但不知道比但不知道比 500 g 重还是轻。你能用天平找出来吗重还是轻。你能用天平找出来吗?任任意意取取出出两两袋袋，放放在在天天平平上上，若若天天平平平平衡衡，则则将将其其中中一一袋袋与与未未称称量量的的那那袋袋一一起起放放到到天天平平上上，若若未未称称量量的的重重，则则它它大大于于 500 克克, 若若轻轻, 则则它它小小于于 500 克克; 如如果果任任取取两两袋袋放放在在天天平平上上时时, 天天平平不不平平衡衡, 则则将将较较重重的的与与未未称称量量的的一一起起放放到到天天平平上上, 若若较较重重的的与与未未称称量量的的一一样样重重, 则则先先前前那那袋袋小小于于 500 克克, 若若较较重重的的依依然然重重,则则较较重的大于重的大于 500 克。克。7.* 五五( (1) )班有班有 25 人，许多同学参加了课外小组。参人，许多同学参加了课外小组。参 加音乐组的有加音乐组的有 12 人，参加美术组的有人，参加美术组的有 10 人，两人，两 个组都没参加的有个组都没参加的有 6 人。既参加音乐组又参加美人。既参加音乐组又参加美 术组的有多少人术组的有多少人? 12 + 10 + 6 - - 25 = 3( (人人) ) 答答: 既参加音乐组又参加美术组的有既参加音乐组又参加美术组的有 3 人。人。