第第7 7章章 采样采样本章主要内容本章主要内容6. 频域采样。频域采样。1.如何用连续时间信号的离散时间样本来表示如何用连续时间信号的离散时间样本来表示连续时间信号连续时间信号采样定理采样定理。2. 如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。3. 欠采样导致的后果欠采样导致的后果频谱混叠。频谱混叠。4. 连续时间信号的离散时间处理。连续时间信号的离散时间处理。5. 离散时间信号的采样、抽取及内插。离散时间信号的采样、抽取及内插。7.0 引言引言:( Introduction ) 在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并不丢失原来信号所包含的信息。不丢失原来信号所包含的信息。 研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系主要包括主要包括 :4. 对离散时间信号如何进行采样、抽取及内插。对离散时间信号如何进行采样、抽取及内插。2. 如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢复成原来的连续时间信号。恢复成原来的连续时间信号。3. 如何对一个连续时间信号进行离散时间处理。如何对一个连续时间信号进行离散时间处理。1. 在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。7.1 用样本表示连续时间信号用样本表示连续时间信号: 采样定理采样定理一一. 采样采样 在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过程称为程称为采样。采样。 是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表示是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表示？ 对一维连续时间信号采样的例子：对一维连续时间信号采样的例子： 在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的连续时间信号。连续时间信号。 此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会同时也会 得到不同的样本序列。得到不同的样本序列。二二. .采样的数学模型：采样的数学模型：在时域：在时域：在频域在频域: :三三. .冲激串采样冲激串采样( (理想采样理想采样):):为采样间隔为采样间隔 000 可见，可见，在时域对连续时间信号进行理想采样，在时域对连续时间信号进行理想采样，就相当于在频域将连续时间信号的频谱以就相当于在频域将连续时间信号的频谱以 为为周期进行延拓。周期进行延拓。在频域由于在频域由于所以所以 要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信号要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信号，就意味着要能够从，就意味着要能够从 中不失真地分离出中不失真地分离出 。这就要求。这就要求 在周期性延拓时在周期性延拓时不能发生频谱不能发生频谱的混叠的混叠。为此必须要求。为此必须要求: 在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器从从 中不失真地分离出中不失真地分离出 。1. 必须是带限的，最高频率分量为必须是带限的，最高频率分量为 。2. 采样间隔采样间隔(周期周期)不能是任意的，必须保证采样不能是任意的，必须保证采样频率频率 。其中其中 为为采样频率采样频率。0四四. Nyquist 采样定理采样定理: 对带限于最高频率对带限于最高频率 的连续时间信号的连续时间信号 , ,如果以如果以 的频率进行理想采样，则的频率进行理想采样，则 可可以唯一的由其样本以唯一的由其样本 来确定。来确定。 在工程实际应用中，在工程实际应用中，理想滤波器是不可能实理想滤波器是不可能实现的。而非理想滤波器现的。而非理想滤波器一定有过渡带，因此，一定有过渡带，因此，实际采样时实际采样时, , 必须大必须大于于 。 低通滤波器的截止频率必须满足低通滤波器的截止频率必须满足: : 为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具有有 倍的通带增益。倍的通带增益。三三. 零阶保持采样零阶保持采样:01延时延时T零阶保持系统零阶保持系统 零阶保持采样相当于理想采样后，再级联一个零阶保持采样相当于理想采样后，再级联一个零阶保持系统。零阶保持系统。101. 零阶保持系统：是一个零阶保持系统：是一个 为矩形脉冲的系为矩形脉冲的系统。统。 2. 零阶保持：信号的样本经零阶保持后，所得到零阶保持：信号的样本经零阶保持后，所得到的信号是一个阶梯形信号。的信号是一个阶梯形信号。而而所以所以 为了为了能能从从 恢复恢复 ，就要求零阶保持后再，就要求零阶保持后再级联一个系统级联一个系统 。使得。使得其中其中若若 则则00100以以 表示理想低通滤波器的特性，则表示理想低通滤波器的特性，则:内插内插：由样本值重建某一函数的过程。由样本值重建某一函数的过程。一一. 理想内插理想内插:若若 为理想低通的单位冲激响应，则为理想低通的单位冲激响应，则 7.2 利用内插从样本重建信号利用内插从样本重建信号 表明：表明：理想内插以理想低通滤波器的单位冲激响理想内插以理想低通滤波器的单位冲激响应作为内插函数。应作为内插函数。当当 时时这种内插称为这种内插称为时域中的带限内插。时域中的带限内插。二二. 零阶保持内插零阶保持内插: 零阶保持内插的内插函数是零阶保持系统的单零阶保持内插的内插函数是零阶保持系统的单位冲激响应位冲激响应 。三三. 一阶保持内插一阶保持内插(线性内插线性内插)100线性内插时，其内插函数是三角形脉冲。线性内插时，其内插函数是三角形脉冲。0 如果采样时，不满足采样定理的要求，就一定会如果采样时，不满足采样定理的要求，就一定会在在 的频谱周期延拓时，出现的频谱周期延拓时，出现频谱混叠频谱混叠的现象。的现象。7.3 欠采样的效果欠采样的效果频谱混叠频谱混叠 此时，即使通过理想内插也得不到原信号。但是此时，即使通过理想内插也得不到原信号。但是无论怎样，恢复所得的信号无论怎样，恢复所得的信号 与原信号与原信号 在采在采样点上将具有相同的值。样点上将具有相同的值。一一. .欠采样与频谱混叠欠采样与频谱混叠: :例例: : 的频谱的频谱 0当当 时时, ,产生频谱混叠。产生频谱混叠。 0恢复的信号为恢复的信号为0显然当显然当 时有时有 如果如果 ，则在上述情况下，则在上述情况下:表明恢复的信号不仅频率降低，而且相位表明恢复的信号不仅频率降低，而且相位相反。相反。 工程应用时，如果采样频率工程应用时，如果采样频率 将不足以从样本恢复原信号。将不足以从样本恢复原信号。例如例如 在在时时这和对这和对采样的结果一样。采样的结果一样。 从用样本代替信号的角度出发，出现欠采样的从用样本代替信号的角度出发，出现欠采样的情况是工程应用中不希望的情况是工程应用中不希望的。二二. 欠采样在工程实际中的应用欠采样在工程实际中的应用1. 采样示波器采样示波器:2. 频闪测速频闪测速: :旋转圆盘旋转圆盘频闪器频闪器 1 2 3 4 对连续时间信号进行离散时间处理的系统可视对连续时间信号进行离散时间处理的系统可视为三个环节的级连。为三个环节的级连。离散时间系统离散时间系统7.4 连续时间信号的离散时间处理连续时间信号的离散时间处理 一一. C/D 转换转换: 在时域：在时域：在频域在频域:冲激串冲激串到序列到序列 可见，可见，冲激串到序列的变换过程，在时域是一冲激串到序列的变换过程，在时域是一个对时间归一化的过程；个对时间归一化的过程；在频域是一个频率去归一在频域是一个频率去归一化的过程。化的过程。（以（以 表示离散域频率）表示离散域频率）0100二二. D/C 转换：转换：序列到序列到冲激串冲激串可见，可见，D/C转换是转换是C/D转换的逆过程。转换的逆过程。三三. 连续时间信号的离散时间处理连续时间信号的离散时间处理C/DD/C冲激串冲激串到序列到序列序列到序列到冲激串冲激串 假定假定 ，有，有 ，在，在满足满足采样定理时采样定理时有有 ， ，整个系，整个系统是恒等系统，表明统是恒等系统，表明D/C转换是转换是C/D转换的逆系统转换的逆系统。 对一般情况：对一般情况： 0 0或或01001 可见，可见，等效连续时间系统的频率响应，就是离等效连续时间系统的频率响应，就是离散时间系统频率响应在一个周期内的特性，只不散时间系统频率响应在一个周期内的特性，只不过在频率上有一个尺度变换。过在频率上有一个尺度变换。1010 对连续时间信号进行离散时间处理的系统只对连续时间信号进行离散时间处理的系统只在在 带限，且带限，且采样频率满足采样定理的要求采样频率满足采样定理的要求时才能等效为一个时才能等效为一个LTI系统。系统。例：数字微分器：例：数字微分器： 带限微分器带限微分器000 由由 可得，可得， 时有：时有：007.5 离散时间信号采样离散时间信号采样一一. 脉冲串采样脉冲串采样10000100 要使要使 能恢复成能恢复成 ，则频谱在周期性延拓，则频谱在周期性延拓时不能发生混叠。为此要求：时不能发生混叠。为此要求：1. 带限于带限于 。 2. 。 在时域，对离散时间信号以在时域，对离散时间信号以 为间隔采样，在为间隔采样，在频域，频域，信号的频谱就在一个周期内以信号的频谱就在一个周期内以 为间隔周为间隔周期性延拓。期性延拓。 此时此时可以通过离散时间理想低通滤波器实现对可以通过离散时间理想低通滤波器实现对信号信号 的恢复。理想低通的通带增益为的恢复。理想低通的通带增益为N，截，截止频率满足：止频率满足： 。 恢复恢复 的过程也是一种带限内插过程，的过程也是一种带限内插过程，其内插函数为理想低通的单位脉冲响应其内插函数为理想低通的单位脉冲响应 。0 当当 时，时，二二. 离散时间抽取与内插离散时间抽取与内插 如果如果 ，则把由，则把由 经过经过 到到 的过程称为的过程称为抽取抽取。抽取过程在频域的反映：抽取过程在频域的反映： 若直接从若直接从 抽取得到抽取得到 ，这个过程是不，这个过程是不可逆的。但当可逆的。但当 满足采样定理的要求时，先满足采样定理的要求时，先经过经过 再到再到 ，则抽取过程是可逆的。，则抽取过程是可逆的。即即 这表明，这表明，在在时域时域对带限序列进行对带限序列进行抽取抽取，相当于，相当于在在频域频域对采样序列的频谱进行对采样序列的频谱进行尺度变换尺度变换。0100时：时：001000000N=30 对对 以以T为间隔采样后再以为间隔采样后再以N为间隔抽取，相为间隔抽取，相当于直接对当于直接对 以以NT为间隔采样。为间隔采样。三三. 抽取与内插的应用抽取与内插的应用抽取抽取内插内插半抽样间隔延时：半抽样间隔延时：00000000007.6 频域采样频域采样 采样的本质是将连续变量的函数离散化。因此，采样的本质是将连续变量的函数离散化。因此，在频域也可以对连续的频谱进行采样。这一过程在频域也可以对连续的频谱进行采样。这一过程与时域采样是完全对偶的。与时域采样是完全对偶的。0在时域有：在时域有：这表明：这表明：对信号的频谱在频域理想采样，相当于在对信号的频谱在频域理想采样，相当于在时域将信号以时域将信号以 为周期无限延拓。为周期无限延拓。在频域有：在频域有： 要使频域采样的样本能完全代表原信号，就必须要使频域采样的样本能完全代表原信号，就必须保证信号在周期性延拓时不发生重叠。为此要求：保证信号在周期性延拓时不发生重叠。为此要求：1.信号信号 必须时限于必须时限于 。2.即即 此时，可以通过矩形窗从周期性延拓的信号中截此时，可以通过矩形窗从周期性延拓的信号中截取出原信号。取出原信号。 在频域，从频谱的样本重建连续频谱时的在频域，从频谱的样本重建连续频谱时的频域频域时限内插时限内插过程是过程是以矩形窗的频谱作为内插函数以矩形窗的频谱作为内插函数实实现的。现的。内插函数内插函数应该指出：应该指出： 带限信号一定不时限；时限信号一定不带限。带限信号一定不时限；时限信号一定不带限。因因此，对带限信号在频域采样时，频谱的样本不能代此，对带限信号在频域采样时，频谱的样本不能代表原信号。对时限信号在时域采样时也是如此。表原信号。对时限信号在时域采样时也是如此。在频域有：在频域有： 对对有限长的离散时间信号有限长的离散时间信号当然也可以在频域采当然也可以在频域采样。但由于离散时间信号的频谱是以样。但由于离散时间信号的频谱是以 为周期为周期的，因此在频域采样时，必须保证的，因此在频域采样时，必须保证在频谱的一个在频谱的一个周期内采样的点数为整数，并且不能小于信号的周期内采样的点数为整数，并且不能小于信号的长度长度。否则，频域采样的样本将不能完全代表原。否则，频域采样的样本将不能完全代表原信号。例如：对一个信号。例如：对一个N 点序列，必须以点序列，必须以 为为频域的采样间隔，其中频域的采样间隔，其中M为整数，且满足：为整数，且满足：（请大家解释为什么会有这样的约束）（请大家解释为什么会有这样的约束）7.7 小结小结1. 连续时间信号的时域采样，采样定理。连续时间信号的时域采样，采样定理。3. 欠采样引起的频谱混叠，及欠采样在工程实欠采样引起的频谱混叠，及欠采样在工程实际中的某些应用。际中的某些应用。4. 连续时间信号的离散时间处理。连续时间信号的离散时间处理。5. 离散时间信号的时域采样、抽取与内插。离散时间信号的时域采样、抽取与内插。6. 频域采样。频域采样。2. 从样本通过内插重建信号。从样本通过内插重建信号。