第二十四章第二十四章 圆圆24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径24.1 24.1 圆圆 实践探究实践探究把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？能得到什么结论？可以发现：可以发现：（1）圆是轴对称图形）圆是轴对称图形（2）任何一条直径所在直线都是它的对称轴）任何一条直径所在直线都是它的对称轴（3）圆的对称轴有无数条）圆的对称轴有无数条在圆中作图，（在圆中作图，（1）任意作一条弦）任意作一条弦AB；（；（2）做直径）做直径CD，使，使CD AB，垂足为，垂足为E思考：你能发现图中有思考：你能发现图中有哪哪些相等的线段和弧？为什么？些相等的线段和弧？为什么？活活 动动 二二 线段：线段： AE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个半圆重合，点半圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，AC , AD分别与分别与BC 、BD重合重合OABCDEOABCE即直径即直径CD垂直于弦垂直于弦AB，平分弦，平分弦AB,并且平分并且平分AB及及ACB垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦，并且平分弦所对的两条弧.问题：此定理的条件和结论分别是什么？问题：此定理的条件和结论分别是什么？题设题设结论结论（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧（1）过圆心）过圆心O讨论讨论(1)(1)过圆心过圆心 (2)(2)垂直于弦垂直于弦 (3)(3)平分弦平分弦 (4)(4)平分弦所对优弧平分弦所对优弧 (5)(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧1.1.若知道若知道“过圆心过圆心”和和“平分弦平分弦”， 你是否能得到另外三个结论？你是否能得到另外三个结论？思考：思考：2.2.若知道若知道“垂直于弦垂直于弦”和和“平分弦平分弦”， 你能得到另外三个结论吗？你能得到另外三个结论吗？O推论推论 过圆心过圆心平分非直径的弦平分非直径的弦的直线的直线 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. . 练习练习在下列图形中，哪些图形可用在下列图形中，哪些图形可用垂径定理垂径定理找到找到相等的线段相等的线段或或相等的圆弧？相等的圆弧？例题例题1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE解：解：答：答： O的半径为的半径为5cm.应用新知解决问题应用新知解决问题在RtAOE中填空：1、如图：已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O到AB的距离是_cm，AB=_cm.。OAEDCB。 OAB第1题图第2题图ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD）24H巩固练习巩固练习巩固练习：巩固练习：3 3、半径为、半径为4 cm4 cm的的O O中，弦中，弦ABAB=4 cm,=4 cm, 那么圆心那么圆心O O 到弦到弦AB AB 的距离是的距离是 . .4 4、O O的直径为的直径为10 cm10 cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离距离OEOE=3 cm=3 cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 . .A AB BO OE EA AB BO O 8cm8cmE提高练习：提高练习：5 5、如图，如图， M与与x轴交于轴交于A，B两点，与两点，与y轴轴 交于交于C，D两点，若两点，若M(2,0)，B(5,0)， 则则C点的坐标是点的坐标是 .6、如图，如图， O的半径的半径OC10, DC2，直，直径径CEAB于于D， 求弦求弦AB的长的长.小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理及其推论的图式例题例题2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等为互相垂直且相等的两条弦，的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边，求证四边形形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. OEAC ODAB