华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/201第三章第三章非稳态导热非稳态导热3-1非稳态导热过程非稳态导热过程3-2集总参数法集总参数法3-3一维非稳态导热的分析解一维非稳态导热的分析解3-4半无限大物体内的非稳态导热半无限大物体内的非稳态导热3-5二维及三维非稳态导热二维及三维非稳态导热华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/202第三章第三章非稳态导热非稳态导热UnsteadyHeatConduction定定义义：导导热热系系统统内内温温度度场场随随时时间间变变化化的的导导热热过过程为非稳态导热。程为非稳态导热。特点：特点：温度随时间变化，热流也随时间变化。温度随时间变化，热流也随时间变化。自自然然界界和和工工程程上上许许多多导导热热过过程程为为非非稳稳态态，t = f( )例例如如：冶冶金金、热热处处理理与与热热加加工工中中工工件件被被加加热热或或冷冷却却；锅锅炉炉、内内燃燃机机等等装装置置起起动动、停停机机、变变工工况况；自自然然环环境境温温度度；供供暖暖或或停停暖暖过过程程中中墙墙内内与与室内空气温度室内空气温度华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/203非稳态导热：非稳态导热：周期性和非周期性周期性和非周期性（瞬态导热）（瞬态导热）周周期期性性非非稳稳态态导导热热：在在周周期期性性变变化化边边界界条条件件下下发发生生的的导导热热过过程程，物物体体温温度度按按一一定定的的周周期期发发生生变化。变化。非非周周期期性性非非稳稳态态导导热热：在在瞬瞬间间变变化化的的边边界界条条件件下下发发生生的的导导热热过过程程，物物体体的的温温度度随随时时间间不不断断地地升升高高（加加热热过过程程）或或降降低低（冷冷却却过过程程），在在经经历历相相当当长长时时间间后后，物物体体温温度度逐逐渐渐趋趋近近于于周周围围介介质温度，最终达到热平衡质温度，最终达到热平衡华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2043-1非稳态导热过程非稳态导热过程1温度分布温度分布一平壁初始温度为一平壁初始温度为t0，令其左侧表面的温度突，令其左侧表面的温度突然升高到然升高到t1，右侧保持温度为，右侧保持温度为t0首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经过一定时间后内部区域温度依次变化，快，经过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分布保持恒定，当最终整体温度分布保持恒定，当 为常数时，为常数时，最终温度分布为直线。最终温度分布为直线。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/205(a) = 1 (b) = 2 (c) = 3 (d) = 4非稳态导热的不同时刻物体的温度分布非稳态导热的不同时刻物体的温度分布华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2062两个阶段：两个阶段：非正规状况阶段（初非正规状况阶段（初始状况阶段）、正规状况阶段始状况阶段）、正规状况阶段非正规状况阶段非正规状况阶段（初始状况阶段）：（初始状况阶段）：在在 = 3时刻之前的阶段，物体内的时刻之前的阶段，物体内的温度分布受初始温度分布的影响较温度分布受初始温度分布的影响较大。大。必须用无穷级数描述必须用无穷级数描述t0t1 = 3正规状况阶段正规状况阶段：在：在 = 3时刻之后，初始温度时刻之后，初始温度分布的影响已经消失，物体内的温度分布主分布的影响已经消失，物体内的温度分布主要受边界条件的影响，要受边界条件的影响，可以用初等函数描述。可以用初等函数描述。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2073热热量量变变化化：与与稳稳态态导导热热的的另另一一区区别别：由由于于有有温温度度变变化化要要积积聚聚或或消消耗耗热热量量，同同一一时时刻刻流流过过不不同同界界面面的的热热流流量量是是不不同同的的。通通过过截截面面A的的热热流流量量是是从从最最高高值值不不断断减减小小，在在其其它它各各截截面面的的温温度度开开始始升升高高之之前前通通过过此此截截面面的的热热流流量量是是零零，温温度度开开始始升升高高之之后后，热热流流量量才才开开始始增增加。加。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2084边界条件对温度分布的影响边界条件对温度分布的影响x0xtt(b)(a)(c)环境（边界条件）对系统温度环境（边界条件）对系统温度分布的影响是很显著的分布的影响是很显著的,这里以这里以一维非稳态导热过程（也就是一维非稳态导热过程（也就是大平板的加热或冷却过程）为大平板的加热或冷却过程）为例来加以说明。例来加以说明。图表示一个大平板的加热过程，图表示一个大平板的加热过程，并画出在某一时刻的三种不同并画出在某一时刻的三种不同边界情况的温度分布曲线（边界情况的温度分布曲线（a）、）、（b）、（）、（c）华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/209这实质上是表明在第这实质上是表明在第三类边界条件下可能三类边界条件下可能的三种温度分布。的三种温度分布。按照传热关系式按照传热关系式作一个近似的分析。作一个近似的分析。x0xtt(b)(a)(c)华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2010曲线（曲线（a）表示平板外环境）表示平板外环境的换热热阻的换热热阻远大于平远大于平板内的导热热阻板内的导热热阻, 即即从曲线上看，物体内部的温从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说度几乎是均匀的，这也就说物体的温度场仅仅是时间的物体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。函数，而与空间坐标无关。我们称这样的非稳态导热系我们称这样的非稳态导热系统为统为集总参数系统集总参数系统（一个等（一个等温系统或物体）。温系统或物体）。x0xtt(b)(a)(c)华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2011曲线（曲线（b）表示平板外环）表示平板外环境的换热热阻境的换热热阻相当于相当于平板内的导热热阻平板内的导热热阻, 即即这也是正常的第三类边界这也是正常的第三类边界条件条件x0xtt(b)(a)(c)华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2012曲线（曲线（c）表示平板外环）表示平板外环境的换热热阻境的换热热阻远小于远小于平板内的导热热阻平板内的导热热阻, 即即从曲线上看，物体内部温从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与度变化比较大，而环境与物体边界几乎无温差，此物体边界几乎无温差，此时可用认为时可用认为。那么，。那么，边界条件就变成了第一类边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边边界条件，即给定物体边界上的温度。界上的温度。x0xtt(b)(a)(c)华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2013t0t t01/h / 2 t / 1/h2 t 1/h / 2 t0第三类边界条件下物体第三类边界条件下物体被冷却被冷却时的温度分布时的温度分布华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2014把把导导热热热热阻阻与与换换热热热热阻阻相相比比可可得得到到一一个个无无因因次次的的数数，我我们们称称之之为为毕毕欧欧（Biot）数数，即即那那么么，上上述述三三种种情情况况则则对对应应着着Bi1。毕欧数是导热分析中的一个重要的无因次准毕欧数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它则，它表征了给定导热系统内的导热热阻与表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系其和环境之间的换热热阻的对比关系。特征数：表征某一类物理现象或物理过程特征的无特征数：表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲数，又叫量纲数，又叫准则数准则数。如如Re,Bi。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/20153-2集总参数法集总参数法(Lumpedheatcapacitymethod)1定义定义忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，致的分析方法。此时， ，温度分布，温度分布只只与时间有关与时间有关，即，即 ，与空间位置无关，与空间位置无关，因此，也称为因此，也称为零维问题零维问题。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2016以下几种情况以下几种情况Bi很小，可用集总参数法：很小，可用集总参数法：（1）导热系数）导热系数相当大；相当大；（2）几何尺寸）几何尺寸很小；很小；（3）表面换热系数）表面换热系数h很小。很小。2温度分布温度分布h,t AQc,c,V,t0一个集总参数系统，其体积为一个集总参数系统，其体积为V、表面积为、表面积为A、密度为密度为 、比热为、比热为c以及初始温度为以及初始温度为t0，突然放，突然放入温度为入温度为t 、换热系数为、换热系数为h的环境中。的环境中。 华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2017引入过余温度：引入过余温度：初始条件为：初始条件为：能量守恒能量守恒：单位时间物体热力学能的变化量：单位时间物体热力学能的变化量应该等于物体表面与流体之间的对流换热量应该等于物体表面与流体之间的对流换热量,t0AQc,c,V,t0华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2018积分得：积分得：指数可写成：指数可写成： 是是傅立叶数傅立叶数华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2019无量纲无量纲无量纲无量纲热阻热阻热阻热阻无量纲无量纲无量纲无量纲时间时间时间时间Biv越越小小，表表示示内内部部热热阻阻小小或或外外部部热热阻阻大大，则则内内部温度就越均匀，集总参数法的误差就越小。部温度就越均匀，集总参数法的误差就越小。Fo越越大大，热热扰扰动动就就能能越越深深入入传传播播到到物物体体内内部部,物物体各点地温度就越接近周围介质的温度。体各点地温度就越接近周围介质的温度。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2020物体中的温度物体中的温度呈指数分布呈指数分布方程中指数的量纲：方程中指数的量纲：3时间常数时间常数称为系统的称为系统的时间常数时间常数，记为，记为 c c，也称，也称弛弛豫时间豫时间。 华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2021如果导热体的热容量（如果导热体的热容量（ Vc）小、换）小、换热条件好（热条件好（hA大），那么单位时间所大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数时间常数( Vc/hA)小小反映了系统处于一定的环境中所表现出来的反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境的换热情况相关。有关，还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。同。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2022如图所示，时间常数越小，物体的温度变化就如图所示，时间常数越小，物体的温度变化就越快，物体就越迅速地接近周围流体的温度。越快，物体就越迅速地接近周围流体的温度。这说明，时间常数反映物体对环境温度变化响这说明，时间常数反映物体对环境温度变化响应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数大应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数大的响应慢。的响应慢。用用热电偶热电偶测量流体温度，总测量流体温度，总是希望热电偶的时间常数越是希望热电偶的时间常数越小越好，时间常数越小，热小越好，时间常数越小，热电偶越能迅速地反映流体的电偶越能迅速地反映流体的温度变化，故热电偶端部的温度变化，故热电偶端部的接点总是做得很小接点总是做得很小华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2023/0/c0.386101当物体冷却或加热过程当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时所经历的时间等于其时间常数时，即间常数时，即=c，=4c，工程上认为工程上认为 =4c时导热时导热体已达到体已达到热平衡状态热平衡状态华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/20244瞬态热流量瞬态热流量导热体在时间导热体在时间0 内传给流体的总热量：内传给流体的总热量：5集总参数系统的判定集总参数系统的判定 华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2025如何去判定一个任意的系统是集总参数系统如何去判定一个任意的系统是集总参数系统？V/A具具有有长长度度的的因因次次，称称为为集集总总参参数数系系统统的的特征尺寸特征尺寸。为判定系统是否为集总参数系为判定系统是否为集总参数系统统，M为为形状修正系数形状修正系数。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2026厚度为厚度为2 的大平板的大平板直径为直径为2r的长圆柱体的长圆柱体 直径为直径为2r的球体的球体复杂形体复杂形体华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2027例例3-1：一一温温度度计计水水银银泡泡是是圆圆柱柱形形，长长20mm，内内径径4mm，测测量量气气体体温温度度，表表面面传传热热系系数数h=12.5W/(m2K),若若要要温温度度计计的的温温度度与与气气体体的的温温度度之之差差小小于于初初始始过过余余温温度度的的10%，求求测测温温所所需需要要的的时时间间。水水银银 =10.36W/(mK), =13110kg/m3,c=0.138kJ/(kgK).解解：华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2028故可以用集总参数法。故可以用集总参数法。由上式解得：由上式解得： =333s=5.6min为了减小测温误差，测温时间应尽量加长。为了减小测温误差，测温时间应尽量加长。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/20293-3一维非稳态导热的分析解一维非稳态导热的分析解AnalyticalSolutiontoOne-DimensionalSystemAnalyticalSolutiontoOne-DimensionalSystem当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分析解。析解。1无限大的平板的分析解无限大的平板的分析解华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2030厚厚度度2 的的无无限限大大平平壁壁， 、a为为已已知知常常数数； =0时温度为时温度为t0;突突然然把把两两侧侧介介质质温温度度降降低低为为t 并并保保持持不不变变；壁壁表表面面与与介介质质之之间间的的表表面面传热系数为传热系数为h。两两侧侧冷冷却却情情况况相相同同、温温度度分分布布对对称称。中中心心为为原原点。点。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2031导热微分方程：导热微分方程：初始条件：初始条件：边边界界条条件件：(第第三三类类)华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2032华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2033采用分离变量法求解：令采用分离变量法求解：令只能为常数：只能为常数：只为只为 的函数的函数只为只为x x的函数的函数华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2034对对 积分积分得到得到式式中中C1是是积积分分常常数数，常常数数值值D的的正正负负可可以以从从物物理概念上加以确定。理概念上加以确定。当时间当时间趋于无穷大时，过程达到稳态，物趋于无穷大时，过程达到稳态，物体达到周围环境温度，所以体达到周围环境温度，所以D必须为负值必须为负值，否则物体温度将无穷增大。否则物体温度将无穷增大。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2035令令则有则有 以及以及以上两式的通解为：以上两式的通解为：于是于是华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2036常数常数A、B和和可由边界条件确定。可由边界条件确定。(1)(2)(3)由边界条件（由边界条件（2）得）得B=0（a）边界条件（边界条件（3）代入）代入(b)得得(c)（a）式成为）式成为(b)华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2037将将右端整理成：右端整理成：注意，这里注意，这里Bi数的尺度数的尺度为平板厚度的一半。为平板厚度的一半。显然，显然，是两曲线交点是两曲线交点对应的所有值。式对应的所有值。式(c)称为称为特征方程。特征方程。称为称为特征值。分别为特征值。分别为1、2n。y华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2038.将无穷个解叠加：将无穷个解叠加：至此，我们获得了无穷个特解：至此，我们获得了无穷个特解：华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2039利用初始条件利用初始条件求求An解的最后形式为：解的最后形式为：令令n=n华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2040由初始条件可得：上式两边乘于cosmx，并在(0, )范围内对积分得：考虑式(3-25)和三角函数的性质，上式右端当m n 时均为零，故得：华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2041傅里叶准则傅里叶准则无量纲距离无量纲距离华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2042定义无量纲的热量定义无量纲的热量其中其中Q为为0时间内传导的热量（内热能的改时间内传导的热量（内热能的改变量）变量）为为 至无穷至无穷时间内的总传导热量时间内的总传导热量（物体内能改变总量）（物体内能改变总量）设从初始时刻至某一时刻设从初始时刻至某一时刻 所传递的热量为所传递的热量为Q:是是 时刻物体的平均过余温度。时刻物体的平均过余温度。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/20432非稳态导热的正规状况阶段非稳态导热的正规状况阶段当当Fo0.2时，采用级数的第一项计算偏差小时，采用级数的第一项计算偏差小于于1%，故当，故当Fo0.2时时:其中其中 1 是第一特征值，是是第一特征值，是Bi的函数。的函数。Bi0.010.050.10.51.05.01050100 1 0.09980.22170.31110.65330.86031.31381.42891.54001.55521.5708华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2044为了分析这时温度分布的特点，将式取对数得：为了分析这时温度分布的特点，将式取对数得： 式式右右边边第第一一项项是是时时间间 的的线线性性函函数数， 的的系系数数只只与与Bi有有关关，即即只只取取决决于于第第三三类类边边界界条条件件、平平壁壁的物性与几何尺寸。的物性与几何尺寸。右边第二项只与右边第二项只与Bi、x/ 有关，与时间有关，与时间 无关。无关。上上式式说说明明，当当Fo0.2,平平壁壁内内所所有有各各点点过过余余温温度度的的对对数数都都随随时时间间线线性性变变化化，并并且且变变化化曲曲线线的的斜斜率率都都相相等等,这这一一温温度度变变化化阶阶段段称称为为非非稳稳态态导导热热的正规状况阶段。的正规状况阶段。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2045这时比值与这时比值与 无关，仅与几何位置无关，仅与几何位置(x/ )及边界及边界条件条件(Bi数数)有关。即初始条件的影响已经消失。有关。即初始条件的影响已经消失。无论初始分布如何，无量纲温度都是一样的。无论初始分布如何，无量纲温度都是一样的。这是非稳态导热的正规状态或充分发展阶段。这是非稳态导热的正规状态或充分发展阶段。 当当Fo0.2时任一点过余温时任一点过余温度与中心过余温度之比为度与中心过余温度之比为华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2046令令x= 可可以以计计算算平平壁壁表表面面温温度度和和中中心心温温度度的的比值。比值。又又由由表表3-1可可知知，当当Bi 0.1时时， 1 0.95。即即当当Bi 0.1时时，平平壁壁表表面面温温度度和和中中心心温温度度的的差差别别小小于于5%，可可以以近近似似认认为为整整个个平平壁壁温温度度是是均均匀匀的的。这这就就是是3-2节节集集总参数法的界定值定为总参数法的界定值定为Bi 10，即即Bi0.1时时，所所有有曲曲线线上上的的过过余余温温度度差差值值小小于于5%，这这时时可可以以用用集集总总参参数数法法求求解解而而误误差差不不大大。一一般般为为了了得得到到更更高高精精确确度度，可可使使Bi0.01为为下下限限，误误差差极微。极微。华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2055例例3-2：一块厚：一块厚100mm的钢板放入温度为的钢板放入温度为1000的炉的炉中加热。钢板一面加热，另一面可认为是绝热。初始中加热。钢板一面加热，另一面可认为是绝热。初始温度温度t0=20，求受热面加热到，求受热面加热到500所需时间，及剖所需时间，及剖面上最大温差。面上最大温差。(h =174W/(m2K), =34.8W/(mK),a=0.55510-5m2/s)解解：这这一一问问题题相相当当于于厚厚200mm平平板板对对称称受受热热问问题题，必必须先求须先求 m/ 0，再由，再由 m/ 0、Bi查图求查图求Fo。 w/ m可查图可查图3-5。而。而华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2056由由 m/ 0和和Bi从图从图3-43-4查得查得Fo=1.2=1.2（较困难）。（较困难）。又又x/ / =1,从图从图3-5(p34)查得查得 w/ m=0.8.=0.8.求中心（绝热面）温度求中心（绝热面）温度: : 求剖面最大温差求剖面最大温差: :讨论讨论: : 直接计算直接计算: :查表查表得得 1 = 0.6533, = 0.6533, 另：另：华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2057由温度分布式由温度分布式得得 Fo =1.196.华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/20584一维圆柱及球体非稳态导热一维圆柱及球体非稳态导热经过分析，对于半径为经过分析，对于半径为R的长圆柱和半径为的长圆柱和半径为R的球体的球体在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，可以在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，可以导出和平壁形式类似的温度分布导出和平壁形式类似的温度分布：Bi 和和BiR分别为以分别为以 和和R为特征尺寸的毕渥数为特征尺寸的毕渥数华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室华中科技大学热科学与工程实验室 HUST LabHUST Lab of Thermalof Thermal Science & EngineeringScience & Engineering2024/8/2059第三章第三章作业作业习题：习题：3-1，3-3，3-7，3-12