3.1.53.1.5空间向量运算空间向量运算的的 坐标表坐标表示示1 1 1 1空间向量的基本定理：空间向量的基本定理：空间向量的基本定理：空间向量的基本定理： 2 2 2 2平面向量的坐标表示及运算律：平面向量的坐标表示及运算律：平面向量的坐标表示及运算律：平面向量的坐标表示及运算律：一复习回顾一复习回顾 若是若是 空间的一个基底，空间的一个基底， 是空间任意一向量，存在是空间任意一向量，存在唯一的实数组使唯一的实数组使 1空间直角坐标系：空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1 1，这个基底叫这个基底叫单位正交基底单位正交基底 (2)(2)在空间选定一点在空间选定一点 和一个单位和一个单位正交基底正交基底 ，以点，以点 为原为原点，分别以点，分别以 的方向为正方的方向为正方向建立三条数轴：向建立三条数轴： 轴、轴、 轴、轴、 轴轴 ，它们都叫，它们都叫坐标轴坐标轴我们称建立了一我们称建立了一个个空间直角坐标系空间直角坐标系 , ,点点 叫叫原点原点，向量，向量 都叫都叫坐标向量坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面坐标平面，分别称为分别称为 平面，平面， 平面，平面， 平面；平面； 一复习回顾一复习回顾 （4）在空间直角坐标系中，）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向让右手拇指指向 轴的正轴的正方向，食指指向方向，食指指向 轴的正轴的正方向，如果中指指向方向，如果中指指向 轴轴的正方向，称这个坐标系为的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系右手直角坐标系。本书建立。本书建立的坐标系都是右手直角坐标的坐标系都是右手直角坐标系系. . （3）作空间直角坐标系）作空间直角坐标系 时，一般使时，一般使2空间直角坐标系中的坐标：空间直角坐标系中的坐标： 如图给定空间直角坐标系和向量如图给定空间直角坐标系和向量 ，设，设 为坐标向量为坐标向量,则存在唯一则存在唯一的有序实数组的有序实数组 ，使，使 ， 有序实数组有序实数组 叫作向量叫作向量 在空间直角坐标系在空间直角坐标系 中的坐标，中的坐标，记作记作 在空间直角坐标系在空间直角坐标系 中，对中，对空间任一点空间任一点 ，存在唯一的有序实数，存在唯一的有序实数组组 ，使，使 ，有序实数组，有序实数组 叫作向量叫作向量 在在空间直角坐标系空间直角坐标系 中的中的坐标坐标， 记作记作 ， 叫叫横坐标横坐标， 叫叫纵坐标纵坐标， 叫叫竖坐标竖坐标 一、向量的直角坐标运算一、向量的直角坐标运算新课新课1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。的对角线的长度。二、距离与夹角二、距离与夹角在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。思考：当思考：当 及及 时，夹角在什么范围内？时，夹角在什么范围内？例例1已知已知 解解:三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例例例2已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；解：设是的中点，则解：设是的中点，则 点的坐标是点的坐标是.（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。坐标满足的条件。解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则化简整理，得化简整理，得即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则例例3如图如图, 在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.证明：不妨设已知正方体的棱长为证明：不妨设已知正方体的棱长为1 1个单个单位长度位长度, ,设设 分别以分别以 为坐标向量建立空间直为坐标向量建立空间直角坐标系角坐标系 则则例例4 在正方体在正方体 练习练习 3 3 已知已知 垂直于正方形垂直于正方形 所在的平面所在的平面, , 分别分别是是 的中点的中点, ,并且并且 , ,求证求证: :证明证明: 分别以分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 则则 练练习习4：如如图图，已已知知线线段段AB，AC，BDAB，DE ，DBE=30，如如果果AB=6，AC=BD=8，求求CD的的长长及及异异面直线面直线CD与与AB所成角的大小。所成角的大小。练练习习：平平行行六六面面体体ABCDA1B1C1D1中中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=BAA1=DAA1=60，E、 H、F分分别别是是D1C1 、AB、CC1的的中中点点。（1）求求AC1的的长长；（2）求求BE的的长；（长；（3）求）求HF的长；（的长；（4）求）求BE与与HF所成角的大小。所成角的大小。10证明证明:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFE