11.3.2 多边形的内角和葫芦岛第六初级中学葫芦岛第六初级中学三角形内角和 是180.方法1：如图，连接AC,则该四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为1802=360.ABCDABCDE方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE、DE，则该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为1803-(AEB+AED+CED)=1803-180=360.方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE、BE、CE、DE，把四边形分成四个三角形：ABE、ADE、CDE、CBE.所以四边形ABCD内角和为：1804-(AEB+AED+CED+CEB)=1804-360=360.ABCDEABCDP方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180 3 180 = 360.这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.结论： 四边形的内角和为360. 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解： 如图，四边形ABCD中，A+ C =180.A+B+C+D=(42) 180 = 360 ，因为 BD= 360（AC） = 360 180 =180.所以 ABCD即如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.例1【变式题】如图，在四边形ABCD中，A与C互补，BE平分ABC，DF平分ADC，若BEDF，求证：DCF为直角三角形证明：在四边形ABCD中，A与C互补，ABC+ADC=180.BE平分ABC，DF平分ADC，CDF+EBF=90.BEDF，EBF=CFD，CDF+CFD=90，故DCF为直角三角形运用了整体思想ACDEBABCDEF 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗? 内角和为180 3 = 540.内角和为180 4 = 720.n 边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形边数0n -3 1231234 n -2 （ n -2 ）1801180=1802180=360 3180=5404180=720由特殊到一般 分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部多边形的内角和公式n边形内角和等于(n-2)180 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）180=360+720， 解得n=8. 多边形的内角和为（8-2）180=1080. 这个多边形的每个内角都相等， 它每一个内角的度数为 10808=135.例2 已知n边形的内角和=（n-2）180（1）甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取630甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n若不对，说明理由.解：360180=2， 630180=390， 甲的说法对，乙的说法不对， 360180+2=4 故甲同学说的边数n是4.例3（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定x解：依题意有（n+x-2）180-（n-2）180=360，解得x=2故x的值是2【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解：设此多边形的内角和为x，则有1125x1125180，即180645x180745.因为x为多边形的内角和，所以它是180的倍数，所以x18071260.所以729，12601125135.因此，漏加的这个内角是135，这个多边形是九边形思路点拨：多边形的内角的度数在0180之间. 如图，在五边形ABCDE中，C=100，D=75，E=135，AP平分EAB，BP平分ABC，求P的度数解析：根据五边形的内角和等于540，由C、D、E的度数可求EAB+ABC的度数，再根据角平分线的定义可得PAB与PBA的角度和，进一步求得P的度数例4解：EAB+ABC+C+D+E=540，C=100，D=75，E=135，EAB+ABC=540-C-D-E=230.AP平分EAB,PAB EAB.同理可得ABP ABC.P+PAB+PBA=180，P=180-PAB-PBA=180 (EAB+ABC)=180 230=65 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？EBCD123 45A互补5180=900多边形的外角和EBCD123 45A五边形外角和=360 = =5个平角五边形内角和= =5180 (52) 180结论：五边形的外角和等于360.问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和n边形外角和n边形的外角和等于360.(n2) 180=360 =n个平角-n边形内角和= n180 AnA2A3A4123 4nA1思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 ,那么这是正_边形.(2)已知多边形的每个外角都是45,则这个多边形是 _边形.六正八 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.解： 设多边形的边数为n. 它的内角和等于 (n2)180， 多边形外角和等于360， (n2)180=2 360. 解得 n=6. 这个多边形的边数为6.例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x ,外角为2x,根据题意，得 7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140 ，每个外角是40 .360 40 =9.即这个多边形是九边形.还有其他解法吗？例6解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意，得解得n=9.即这个多边形是九边形.【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60，求这个多边形的每个内角的度数及边数解：设该正多边形的内角是x，外角是y，则得到一个方程组 解得而任何多边形的外角和是360，则该正多边形的边数为360120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60，边数是三条 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求BED的度数解：由题意得AB=AE,所以AEB= (180-A)=36，所以BED=AED-AEB=108-36=72.例71.判断(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( )(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( )(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等 ( ) 2.一个正多边形的内角和为720，则这个正多边形的 每一个内角等于_1203.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_米1504.一个多边形的内角和不可能是（ ）A.1800 B.540 C.720 D.810 D5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（ ）A.360 B.540 C.720 D.900 B6. 一个多边形的内角和为1800，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：180018010，原多边形边数为10212.一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，新多边形的边数可能是11，12，13，新多边形的内角和可能是1620，1800，1980. 如图，求1234567的度数.解：如图，3489，12345671289567五边形的内角和540.89拓展多边形的内角和内角和计算 公 式(n-2) 180 (n 3的整数） 外角和多边形的外角和等于360正多边形内角= ，外角=课堂总结课堂总结