学习必备 精品知识点 分式知识点总结和题型归纳 第一部分 分式的运算 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果 A，B表示两个整数，并且 B中含有字母，那么式子BA叫做分式，A为分子，B为分母。 【例 1】下列代数式中：yxyxyxyxbabayxx1,21,22，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为 0（0B ） 分式无意义：分母为 0（0B ） 【例 1】当x有何值时，下列分式有意义 （1）44xx （2）232xx （3）122x （4）3|6xx （5）xx11 题型三：考查分式的值为 0 的条件 分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（00BA） 【例 1】当x取何值时，下列分式的值为 0. （1）31xx （2）42|2xx （3）653222xxxx 【例 2】当x为何值时，下列分式的值为零： （1）4|1|5xx （2）562522xxx 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于 0：分子分母同号（00BA或00BA） 学习必备 精品知识点 分式值为负或小于 0：分子分母异号（00BA或00BA） 【例 1】 （1）当x为何值时，分式x84为正； （2）当x为何值时，分式2) 1(35xx为负； （3）当x为何值时，分式32xx为非负数. 【例 2】解下列不等式 （1）012|xx （2）03252xxx 题型五：考查分式的值为 1，-1 的条件 分式值为 1：分子分母值相等（A=B ） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0 ） 【例 1】若22|xx的值为 1，-1，则 x 的取值分别为 思维拓展练习题： 1、若 ab0,2a2b6ab=0, 则abab 2、一组按规律排列的分式：25811234,bbbbaaaa（ab0） ，则第 n 个分式为 分式有意义的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为例当有何值时正负的条件分式值为正或大于分子分母同号或学习必备精品知识点分式分母值相等分式值为分子分母值互为相反数例若的值为则的取值分别为学习必备 精品知识点 3、已知2310xx ，求221xx的值。 4、已知222450,xyxy 求分式yxxy的值。 （二）分式的基本性质及有关题型 1分式的基本性质：MBMAMBMABA 2分式的变号法则：babababa 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）yxyx41313221 （2）baba04. 003. 02 . 0 题型二：分数的系数变号 【例 1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yxyx （2）baa （3）ba 题型三：化简求值题 【例 1】已知：511yx，求yxyxyxyx2232的值. 【例 2】已知：21xx，求221xx 的值. 分式有意义的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为例当有何值时正负的条件分式值为正或大于分子分母同号或学习必备精品知识点分式分母值相等分式值为分子分母值互为相反数例若的值为则的取值分别为学习必备 精品知识点 【例 3】若0) 32(|1|2xyx，求yx241的值. 【例 4】已知：311ba，求aabbbaba232的值. 【例 5】若0106222bbaa，求baba532的值. 【例 6】如果21x，试化简xx2|2|xxxx|1|1. 思维拓展练习题 1、对于任何非零实数 a,b, 定义运算“*”如下：a*babab, 求 2*1+3*2+10*9 的值 2、已知0,234xyz 求代数式2xyzxyz 的值 （三）分式的运算 分式的乘除法法则： 乘法分式式子表示为：dbcadcba 除法分式式子表示为：ccbdadbadcba 分式有意义的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为例当有何值时正负的条件分式值为正或大于分子分母同号或学习必备精品知识点分式分母值相等分式值为分子分母值互为相反数例若的值为则的取值分别为学习必备 精品知识点 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：nnnbaba 分式的加减法则：cbacbca 异分母分式加减法：式子表示为：bdbcaddcba 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。 题型一：通分 1系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3如果分母是多项式, 则应先把每个分母分解因式, 然后判断最简公分母. 【例 1】将下列各式分别通分. （1）cbacababc225,3,2； （2）abbbaa22,； （3）22,21,1222xxxxxxx； （4）aa21, 2 题型二：约分 分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 【例 2】约分： （1）322016xyyx； （2）nmmn22； （3）6222xxxx. 题型三：分式的混合运算 【例 3】计算： （1）42232)()()(abcabccba； （2）22233)()()3(xyxyyxyxa； 分式有意义的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为例当有何值时正负的条件分式值为正或大于分子分母同号或学习必备精品知识点分式分母值相等分式值为分子分母值互为相反数例若的值为则的取值分别为学习必备 精品知识点 （3）mnmnmnmnnm22； （4）112aaa； （5）874321814121111xxxxxxxx； （6）) 5)(3(1) 3)(1(1) 1)(1(1xxxxxx； （7）)12()21444(222xxxxxxx 题型四：化简求值题 【例 4】先化简后求值 （1）已知：1x，求分子)121() 144(48122xxxx的值； （2）已知：432zyx，求22232zyxxzyzxy的值； （3）已知：0132 aa，试求)1)(1(22aaaa的值. 题型五：求待定字母的值 【例 5】若111312xNxMxx，试求NM,的值. 思维拓展练习题： 1、某工厂通过改造设备，平均每天节约用煤15，那么相同数量的煤，现在使用的天数是原来的几倍？ 分式有意义的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为例当有何值时正负的条件分式值为正或大于分子分母同号或学习必备精品知识点分式分母值相等分式值为分子分母值互为相反数例若的值为则的取值分别为学习必备 精品知识点 2、若非零实数 a,b 满足22104aabb，则ba 3、若27xy，求222232257xxyyxxyy的值 4、已知 abc=1, 求111abcababcbacc 的值 5、已知 a,b,c为实数，且111,345abbccaabbcca，求abcabbcca的值 第二部分 分式方程 分式方程的解的步骤： 去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 （产生增根的过程） 解整式方程，得到整式方程的解。 检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中： 如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。 产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 0。 （一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程 【例 1】解下列分式方程 （1）xx311； （2）0132xx； （3）114112xxx； （4）xxxx4535 分式有意义的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为例当有何值时正负的条件分式值为正或大于分子分母同号或学习必备精品知识点分式分母值相等分式值为分子分母值互为相反数例若的值为则的取值分别为学习必备 精品知识点 题型二：特殊方法解分式方程 【例 2】解下列方程 （1）4441xxxx； （2）569108967xxxxxxxx 提示： （1）换元法，设yxx 1； （2）裂项法，61167xxx. 【例 3】解下列方程组 ) 3(4111) 2(3111) 1 (2111xzzyyx 题型三：求待定字母的值 【例 4】若关于x的分式方程3132xmx有增根，求m的值. 【例 5】若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围. 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于x的方程 ) 0(dcdcxbax 题型五：列分式方程解应用题 1、某服装厂准备加工 400 套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20% ，结果共用了 18 天完成任务，问：原计划每天加工服装多少套？ 分式有意义的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为例当有何值时正负的条件分式值为正或大于分子分母同号或学习必备精品知识点分式分母值相等分式值为分子分母值互为相反数例若的值为则的取值分别为学习必备 精品知识点 2、某商店经销一种泰山旅游纪念品，4 月份的营业额为 2000 元，为扩大销售量，5 月份该商店对这种纪念品打 6 折销售，结果销售量增加 20 件，营业额增加 700 元。 （1） 求该种纪念 4 月份的销售价格？ （2） 若 4 月份销售这种纪念品获得 800 元，5 月份销售这种纪念品获利多少元？ 3、河边两地相距 50km, 船在静水中的速度是 m(km/h) ，水流速度是 n(km/h). (1)船从河边两地往返一次需要多长时间？ （2）当 m=30,n=10时，求船往返一次需要的时间？ 4、 “丰收 1 号”小麦的试验田是边长为 a（m ）的正方形减去一个边长为 1m的正方形蓄水池后余下的部分， “丰收 2 号”小麦的试验田是边长为（a-1)m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500kg （1）哪种小麦的单位面积产量高? (2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 思维拓展练习题： 1、已知111abab ，求abba的值。 （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例 1解方程：231xx 分式有意义的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为例当有何值时正负的条件分式值为正或大于分子分母同号或学习必备精品知识点分式分母值相等分式值为分子分母值互为相反数例若的值为则的取值分别为学习必备 精品知识点 二、化归法 例 2解方程：012112xx 三、左边通分法 例 3：解方程：87178xxx 四、分子对等法 例 4解方程：)(11baxbbxaa 五、观察比较法 例 5解方程：417425254xxxx 六、分离常数法 例 6解方程：87329821xxxxxxxx 七、分组通分法 例 7解方程：41315121xxxx于x的分式方程axa112无解，试求a的值. ( 三）分式方程求待定字母值的方法 分式有意义的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为例当有何值时正负的条件分式值为正或大于分子分母同号或学习必备精品知识点分式分母值相等分式值为分子分母值互为相反数例若的值为则的取值分别为学习必备 精品知识点 题型一：关于无解的情况 例 1若分式方程xmxx221无解，求m的值。 题型二：关于不会有增根的情况 例 2若关于x的方程11122xxxkxx不会产生增根，求k的值。 题型三：关于有增根的情况 例 3若关于x分式方程432212xxkx有增根，求k的值。 例 4若关于x的方程1151221xkxxkxx有增根1x，求k的值。 分式有意义的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为例当有何值时正负的条件分式值为正或大于分子分母同号或学习必备精品知识点分式分母值相等分式值为分子分母值互为相反数例若的值为则的取值分别为