有限体积法参考书 :李人宪 有限体积法基础 国防工业出版社有限差分法FDM: Finite Difference Method计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。 该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。连续的求解域。有限差分法采用有限差分法采用Taylor级数展开等方法，把控制方程中的级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上函数值的差商代替进行离散，从而建立导数用网格节点上函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。数值方法。有限差分法差分格式分类差分格式分类从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。式。考虑时间因子的影响，差分格式可以分为显格式、隐考虑时间因子的影响，差分格式可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和于结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。柯朗稳定条件来决定。FVM: Finite Volume Method有限体积法又称为控制体积法有限体积法又称为控制体积法,从物理量守恒这一基本从物理量守恒这一基本要求出发提出的。要求出发提出的。其基本思路是：其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个每个网格点周围有一个控制体积控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积将待解的微分方程对每一个控制体积积分积分，便得出，便得出一组离散方程。一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布剖面。间的变化规律，即假设值的分段的分布剖面。有限体积法发展情况1980年，年，S.V.Patanker在其专著在其专著Numericacl Heat Transfer and Fluid Flow中对有限体积法作了全面的阐述。中对有限体积法作了全面的阐述。此后，该方法得到了广泛应用，是目前此后，该方法得到了广泛应用，是目前CFD应用最广的一种方法。应用最广的一种方法。FLUENT、PHOENIX等软件都基于有限体等软件都基于有限体积法积法Patanker与与Spalding于于1967年年发发表表了了求求解解抛抛物物型型流流动的动的P-S方法。方法。在在P-S方方法法中中，把把x-y平平面面上上的的计计算算区区域域（边边界界层层）转转换换到到x-w平平面面上上（w为为无无量量纲纲流流函函数数），从从而而不不论论在在边边界界层层的的起起始始段段还还是是在在其其后后的的发发展展段段，所所设设置置的的计计算节点均可落在边界层范围内。算节点均可落在边界层范围内。1969年年Spalding在在英英国国帝帝国国理理工工学学院院（Imperial College）创创建建了了CHAM（Concentration, Heat and Mass, Limited），旨在把他们研究组的成果推广应用到工业界。旨在把他们研究组的成果推广应用到工业界。1972年年SIMPLE算法问世算法问世于是所谓分离式的求解方法应运而生，即先求解有关一于是所谓分离式的求解方法应运而生，即先求解有关一个速度分量，而把其他作为常数，随后再逐一求解其它个速度分量，而把其他作为常数，随后再逐一求解其它变量。变量。于是就产生了这样的问题：就是所谓速度与压力的耦合于是就产生了这样的问题：就是所谓速度与压力的耦合问题。问题。SIMPLE算法成功地解决了这一问题。算法成功地解决了这一问题。SIMPLE算法的一个基本思想是，在流场迭代求解的任何算法的一个基本思想是，在流场迭代求解的任何一个层次上，速度场都必须满足质量守恒方程，这是保一个层次上，速度场都必须满足质量守恒方程，这是保证流场迭代计算收敛的一个十分重要的原则。证流场迭代计算收敛的一个十分重要的原则。 1977年由年由Spalding及其学生开发的及其学生开发的ENMIX程序程序公开发行。公开发行。1979年由年由Spalding教授及其合作者开发的流动传教授及其合作者开发的流动传热计算的大型通用软件热计算的大型通用软件PHOENICS第一版问世。第一版问世。 PHOENICS是是英英语语Parabolic, Hyperbolic or Elliptic Numerical Integration Code Series的的缩缩写写（意意为为对对抛抛物物型型、双双曲曲型型、椭椭圆圆型型方方程程进进行行数数值值积积分分的的系系列列程程序）序）。 *1980年年Patankar教教授授的的名名著著“Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”出版。出版。这这本本书书内内容容精精炼炼，说说理理透透彻彻，注注重重物物理理概概念念的的阐阐述述，深深受受全全世世界界数数值值传传热热的的研研究究者者与与使使用用者者的的欢欢迎迎。出出版版后后不不久久，被被相相继继译译成成俄俄文文、日日文文、波波兰兰文文及及中中文文等等，成成为为数数值传热学领域中的一本经典著作值传热学领域中的一本经典著作优点优点:(1)出发点是积分形式的控制方程出发点是积分形式的控制方程,同时积分方程表示了同时积分方程表示了特征变量在控制容积内守恒特征变量在控制容积内守恒;(2)积分方程中每一项都有明确的物理意义积分方程中每一项都有明确的物理意义,从而使方程从而使方程离散时离散时,对各离散项可以给出一定的物理解释对各离散项可以给出一定的物理解释;(3) 区域离散的节点网格与进行积分的控制容积分立。区域离散的节点网格与进行积分的控制容积分立。有限体积法方法特点差分法差分法有限体积法有限体积法优点优点简单、计算量小、易简单、计算量小、易于提高精度于提高精度本身包含几何信息，本身包含几何信息，易处理复杂网格易处理复杂网格不足不足差分离散与几何解耦，差分离散与几何解耦，难以处理复杂网格难以处理复杂网格复杂、不易提高精度复杂、不易提高精度有限体积法主要优势：有限体积法主要优势： 处理复杂网格处理复杂网格坐标变换函数坐标变换函数必须足够光滑必须足够光滑 否则损失精度否则损失精度实际问题：实际问题： 外形复杂，外形复杂， 光滑的结构网格生成困难光滑的结构网格生成困难基本概念基本概念控制体积的形成单元中心方式： 单元位于控制体积的中心，即将单一的网格单单元位于控制体积的中心，即将单一的网格单元作为控制体积，网格单元互不重叠元作为控制体积，网格单元互不重叠。单元顶点方式： 以网格节点为中心，它的形成有多种方式。其以网格节点为中心，它的形成有多种方式。其常用的构成方式是由以该节点为顶点的格子的常用的构成方式是由以该节点为顶点的格子的形心以及各共顶点的网格线中心点的一系列连形心以及各共顶点的网格线中心点的一系列连接线段所构成一个多边形控制体积。也可以由接线段所构成一个多边形控制体积。也可以由环绕该节点的一组格子组成控制体。环绕该节点的一组格子组成控制体。基本概念单元顶点方式单元中心方式对于计算同样多的变量，单元中心方式变量布置简单直观，易于处理边界条件和保持离散的守恒性，而且需要的网格数要比单元顶点方式少得多，可节省计算时间。网格结构网格 具有一定的分布特征，可以用相应的行列关具有一定的分布特征，可以用相应的行列关系来顺序描述的网格系来顺序描述的网格, ,有矩形网格、曲线网格有矩形网格、曲线网格及块结构网格。及块结构网格。结构网格 矩形网格最为常用，网格生成方便，但对复杂矩形网格最为常用，网格生成方便，但对复杂边界处理过于粗糙；边界处理过于粗糙； 曲线网格：曲线网格：1 1）只提供了离散点的变换，而不）只提供了离散点的变换，而不给出解析函数形式的变换关系给出解析函数形式的变换关系, ,使用不光滑的使用不光滑的网格时，对变换关系的差分近似会造成了很大网格时，对变换关系的差分近似会造成了很大的数值误差，甚至会导致不切实际的值。的数值误差，甚至会导致不切实际的值。2)2)如如果网格严重偏离正交性，就会极大损坏原有的果网格严重偏离正交性，就会极大损坏原有的迭代方法的收敛速率。迭代方法的收敛速率。3)3)因变量的选择也须谨因变量的选择也须谨慎考虑。在曲线网格中，可取原始笛卡尔坐标慎考虑。在曲线网格中，可取原始笛卡尔坐标系变量或曲线坐标系中沿网格方向的协变量两系变量或曲线坐标系中沿网格方向的协变量两种作为因变量。种作为因变量。网格非结构网格 非结构网格中单元格分布不再规则一致，其非结构网格中单元格分布不再规则一致，其位置很难再凭借行列索引关系确定。非结构网位置很难再凭借行列索引关系确定。非结构网格可以采用任意形状的单元格，单元边的数目格可以采用任意形状的单元格，单元边的数目也无限制，弥补了结构化网格不能够解决任意也无限制，弥补了结构化网格不能够解决任意形状和任意连通区域的网格剖分的缺欠。形状和任意连通区域的网格剖分的缺欠。网格非结构网格最重要的一个特征是控制方程离散非结构网格最重要的一个特征是控制方程离散得到的代数方程的系数矩阵不再是结构网格下得到的代数方程的系数矩阵不再是结构网格下有规律的对角结构；若用对角形式存储，其带有规律的对角结构；若用对角形式存储，其带宽只能通过适当的布置单元编号顺序来减少。宽只能通过适当的布置单元编号顺序来减少。非结构网格原则上可应用于任何类型的数值方非结构网格原则上可应用于任何类型的数值方法，但非结构网格的法，但非结构网格的FVM FVM 算法更成熟，应用更算法更成熟，应用更广。广。网格非结构网格最早用于非结构网格最早用于FEMFEM；但但流流体体流流动动是是高高度度非非线线性性问问题题，而而且且FEM FEM 计计算算量量较较大大，这这些些问问题题使使得得基基于于FEM FEM 的的非非结结构构网网格格技技术术未未能能在在对对流流问问题题为为主主的的地地面面水流（如浅水流动，水波运动等）计算上得到重视；水流（如浅水流动，水波运动等）计算上得到重视；八八十十年年代代以以来来，基基于于FVM FVM 的的非非结结构构网网格格技技术术在在空空气气动动力力学学得得到到了广泛的发展和应用；了广泛的发展和应用；九九十十年年代代开开始始一一些些专专家家学学者者根根据据浅浅水水流流动动特特征征，将将这这些些算算法法引引入入到到计计算算浅浅水水动动力力学学中中，并并在在模模拟拟涌涌潮潮，溃溃坝坝等等水水力力计计算算难难题题上取得了成功，粘性流动的非结构网格上取得了成功，粘性流动的非结构网格FVM FVM 模拟也开始出现；模拟也开始出现；并在并在20 20 世纪世纪90 90 年代中后期掀起了研究高潮；年代中后期掀起了研究高潮；作作为为全全球球计计算算流流体体力力学学软软件件供供应应商商和和技技术术服服务务商商的的Fluent Fluent 公公司司已已经经将将最最新新的的非非结结构构网网格格研研究究成成果果集集成成，实实现现了了研研究究成成果果的的商商业化。业化。非结构网格在有限体积法中的应用利于边界调节的实现利于边界调节的实现便于控制网格密度便于控制网格密度易作修改和适应性调整易作修改和适应性调整网格生成有众多富有成效的方法和自适应技术网格生成有众多富有成效的方法和自适应技术比曲线网格更易得到高质量的单元格比曲线网格更易得到高质量的单元格非结构网格优点单元格排列不规则，须建立相应的数据结构存单元格排列不规则，须建立相应的数据结构存储单元格信息；储单元格信息；控制方程离散得到的代数方程的系数矩阵是高控制方程离散得到的代数方程的系数矩阵是高度稀疏的非对角型矩阵，需要寻求合适的存储度稀疏的非对角型矩阵，需要寻求合适的存储方式及解法；方式及解法；隐格式较难实现，粘性项处理困难；隐格式较难实现，粘性项处理困难；数值解后处理工作量大；数值解后处理工作量大；二阶非结构二阶非结构FVM FVM 较易实现，若要扩展到高阶格较易实现，若要扩展到高阶格式，则需花费较大的代价。式，则需花费较大的代价。非结构网格需要解决的问题方程离散一维对流扩散方程：在P所在的控制体积上积分假设单元P的值代表整个控制体的值 在对流项积分时，需要假定通量或者因变量从tn 过渡到 tn +t 时间段内的变化关系离散方程=0，离散格式为显式，0=1，加权隐式，=1/2，Clank-Nicholson格式， =1，全隐格式。=0时，0=1时，显式隐式状态变量分布近似单元界面单元界面e e处内外侧状态处内外侧状态：状态变量分布近似状态变量分布近似 单元界面单元界面e e处内外侧状态处内外侧状态：在用有限体积法计算时，和有限差分法一样，在用有限体积法计算时，和有限差分法一样，方程的解是用单元节点上离散点值构成的，而方程的解是用单元节点上离散点值构成的，而不关心单元间的状态变量是怎么变化的，也就不关心单元间的状态变量是怎么变化的，也就是不关心解的分布。是不关心解的分布。有限单元法中一旦选定了分布曲线，就确定了有限单元法中一旦选定了分布曲线，就确定了状态变量的分布函数是不同的。状态变量的分布函数是不同的。尽管我们在离散方程的时候要假定单元分布曲尽管我们在离散方程的时候要假定单元分布曲线，但是这只是为了推导公式时计算积分近似线，但是这只是为了推导公式时计算积分近似而采用的一些辅助关系式。一旦离散化方程推而采用的一些辅助关系式。一旦离散化方程推导出来了，就可以不用再管这些分布曲线近似。导出来了，就可以不用再管这些分布曲线近似。在积分离散时，根据数值模拟的需要，对控制在积分离散时，根据数值模拟的需要，对控制方程中的每一项都可以采用不同的分布曲线来方程中的每一项都可以采用不同的分布曲线来近似单元界面上的状态变量，而不必要追求近近似单元界面上的状态变量，而不必要追求近似假设的一致性。似假设的一致性。方程离散1一维稳态扩散问题按节点整理后得到:最后解方程组得到节点的值例题解:1点控制容积积分方程离散1 二维扩散一维稳态对流扩散问题方程离散2稳态对流扩散方程连续性方程对控制体积分定义:解:对中间节点对中间节点2,3,4:边界节点1:整理得到:边界节点5:整理得到:工况1改进办法改进办法:需要增加网格数需要增加网格数工况2工况3差分格式问题中心差分格式?在扩散方程中,未引起数值解和分析解之间较大的差别,但在包含对流项的对流扩散方程中,某些计算条件下需要加密网格结果才合理.边界的计算形式?差分格式问题控制容积界面处变量的近似计算格式是否对数值计算结果有影响？采用其他差分格式是否能提高计算精度？差分格式近似计算式在流场计算中的物理意义是什么？差分格式应该满足三个特性：守恒性、有界性和输运性。守恒性如果对一个离散方程在定义域的任一有限空间内如果对一个离散方程在定义域的任一有限空间内作求和的运算（相当于连续问题中对微分方程作作求和的运算（相当于连续问题中对微分方程作积分），所得的表达式满足该区域上物理量守恒积分），所得的表达式满足该区域上物理量守恒的关系时，则称该离散格式具有守恒特征。的关系时，则称该离散格式具有守恒特征。有限体积法正是从物理量守恒这一基本要求出发有限体积法正是从物理量守恒这一基本要求出发提出的。有限体积法的离散化方程满足了单个控提出的。有限体积法的离散化方程满足了单个控制体积的平衡，当然在整个计算区域内，诸如质制体积的平衡，当然在整个计算区域内，诸如质量、动量等物理量的积分守恒也就都能精确得到量、动量等物理量的积分守恒也就都能精确得到满足。无论在数值计算中采用巨大数目的细网格满足。无论在数值计算中采用巨大数目的细网格和少数的粗网格，数值解也照样显示准确的积分和少数的粗网格，数值解也照样显示准确的积分平衡。有限体积法的离散思想自动满足守恒定律，平衡。有限体积法的离散思想自动满足守恒定律，如质量守恒，动量守恒，能量守恒等等。所以有如质量守恒，动量守恒，能量守恒等等。所以有限体积法是守恒定律的一种最自然的表现形式。限体积法是守恒定律的一种最自然的表现形式。有界性离散方程为代数方程组，求解时需要用迭代方法，获得收敛解。扩散问题对流扩散问题需要满足则有界输运性Peclet数Pe数用来度量某点处变量的对流和扩散强度比。数用来度量某点处变量的对流和扩散强度比。Pe =0，对流为，对流为0，完全靠扩散，扩散是无方向的。，完全靠扩散，扩散是无方向的。Pe增大，对流作用增加，对流是有方向的。增大，对流作用增加，对流是有方向的。输运性网格Peclet数大，上游节点变量值对下游影响大，下游对上游影响小； Pe =0，上下，上下游影响影响一样。一样。中心差分格式使节点中心差分格式使节点P处场变量对所有相邻节点一样，处场变量对所有相邻节点一样，没有反映出扩散和对流的差别，不能体现输运方没有反映出扩散和对流的差别，不能体现输运方程的方向性，在高程的方向性，在高Peclet数数时，中心差分格式数时，中心差分格式不具有输运特征。不具有输运特征。中心差分格式离散方程特点（1 1）守恒性：满足；）守恒性：满足；（2 2）有界性：）有界性：P Pe e小于小于2 2时满足，不然不满足；时满足，不然不满足；（3 3）输运性：没有；）输运性：没有；（4 4）计算精度：二阶精度，）计算精度：二阶精度， P Pe e小于小于2 2时精度较高，时精度较高， P Pe e大于大于2 2或流动为强对流时，收敛性和精度均较差。或流动为强对流时，收敛性和精度均较差。双曲型方程特征值体现了微分方程的解（或者说双曲型方程特征值体现了微分方程的解（或者说扰动、信息）的传播方向，表达了波动、能量等扰动、信息）的传播方向，表达了波动、能量等的传播方向，应该充分考虑这一物理特性，与之的传播方向，应该充分考虑这一物理特性，与之相适应。相适应。恒取上游节点处的值建立差分格式。恒取上游节点处的值建立差分格式。一阶上风差分格式对无源扩散问题：对无源扩散问题：只对对流项的差分只对对流项的差分格式进行改变格式进行改变离散方程为：离散方程为：解:2，3，4点：点：边界：边界：整理：工况1工况2显示上风差分格式考虑显示上风差分格式考虑了流动的方向性，在有了流动的方向性，在有较强对流输运状况时具较强对流输运状况时具有计算优势。有计算优势。上风差风格式性质（1 1）守恒性：满足；）守恒性：满足；（2 2）有界性：满足，计算结果不会出现振荡或不）有界性：满足，计算结果不会出现振荡或不收敛；收敛；（3 3）输运性：考虑了流动方向，满足；）输运性：考虑了流动方向，满足；（4 4）计算精度：一阶精度；同时扩散项采用中心）计算精度：一阶精度；同时扩散项采用中心差分格式，随着差分格式，随着Pe e数增大，对流输运增强，扩散数增大，对流输运增强，扩散输运减弱，所以，当输运减弱，所以，当Pe足够大，仍然保持不变的足够大，仍然保持不变的扩散输运强度，必然带来误差，称为假扩散。扩散输运强度，必然带来误差，称为假扩散。混合差分格式Spalding提出：当网格提出：当网格Pe数小于数小于2时采用中心差分时采用中心差分格式计算控制容积界面值，具有二阶精度；当格式计算控制容积界面值，具有二阶精度；当Pe数大于数大于2时采用上风差分格式计算控制容积界面对时采用上风差分格式计算控制容积界面对流输运量，同时忽略扩散输运量，计算精度一阶，流输运量，同时忽略扩散输运量，计算精度一阶，但能反映流动的输运特征。但能反映流动的输运特征。工况2上风格式有扩散上风格式有扩散混合格式无扩散混合格式无扩散QUICK格式上风格式和中心差分格式的优缺点；上风格式和中心差分格式的优缺点；1979年年Lenoard提出用于计算控制容积界面的二次插值计算提出用于计算控制容积界面的二次插值计算格式。格式。“对流项的二次上风插值对流项的二次上风插值”的英文缩写（的英文缩写（Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics）.Quick格式利用控制容积界面两侧格式利用控制容积界面两侧3个节点值进行插值计算。个节点值进行插值计算。其中两个节点位于界面的紧邻两侧，另一个节点位于上风侧其中两个节点位于界面的紧邻两侧，另一个节点位于上风侧远邻点远邻点。WW， W， P的拟合曲线计算 ，通过W，P，E计算QUICK格式特性1 1）守恒性：满足；）守恒性：满足；2 2）有界性：有条件满足，）有界性：有条件满足， P Pe e大于大于8/38/3时有可时有可能不满足；能不满足；3 3）输运性：总采用上风两个节点，下风一个节点）输运性：总采用上风两个节点，下风一个节点进行插值，所以满足；进行插值，所以满足；4 4）精度：具有）精度：具有3 3阶截差，精度较高，要保证阶截差，精度较高，要保证P Pe e小小于于8/38/3。