教学研究与教师培训：案例与思考郑毓信（2008，11于北京）一、关于教学研究的几点建议建议（1）：加强问题意识。问题应当被看成教师教学研究的直接出发点。问题从何而来？立足教学实践 例一 “三角形稳定性”的教学（仲海峰）出发点：教学中所遇到的问题：（1）“老师，我发现有的三角形没有稳定性！”（2）“这个四边形车架是铁的，所以它也有稳定性。”一个普遍的模式：问题分析、学习、思考结论新的实践。例二 “认识角的课后反思”（徐青松 ）出发点：教学研究中的不同观点：（1）对角的直观认识到底应该如何把握？观点1：要大大加强触觉（摸）的认识，充分感受到边是平的、滑的；顶点处是尖尖的、刺刺的等。观点2：开门见山的谈谈、摸摸角，简洁、明了。”（2）抽象角与生活角的差别是否需要让学生想象、体验？观点1：作为二年级的学生，以形象思维为主，让他们想象角，超出了学生的认知水平。观点2：作为二年级的学生，抽象思维正在迅猛发展，以想象来体验角的两边无限长，可以接受。”建议（2） 努力做到“小中见大”。 我们既应切实立足于教学实践，同时又应指明问题的普遍意义 。例一 “三角形稳定性”的教学 应当如何认识“数学的生活化”？“生活数学与学校数学之间存在着本质的区别。因此，数学教学的方向不应是生活化由数学向生活的简单化归，而应是形式化借助生活，实现由生活向数学的有效过渡。” 例二 “认识角的课后反思”动手实践与教师的必要引导：“问题指向性要明确，在新课程理念下很多教师为了不限制学生的思维，创设探索的情境，但设置的问题往往很大很散这样反而矫枉过正问题指向明确显得组织严密，引导就富有成效。学习内容有多大价值与课堂用时绝对成正比，这是很朴素的道理。” 相关的提法言之有物，言之有理；虚实并重，小中见大。 建议（3）保持对于热点问题的必要关注。增强“读者意识”。例三 “课堂教学的有效性”第六届全国新世纪小学数学课程与教学系列研讨会（教育部北京师范大学基础教育课程研究中心、国家义务教育数学课程标准研制组、新世纪小学数学教材编委会联合主办）：新课程背景下小学数学课堂教学有效性的研究 2007年小学数学教育研究热点问题之六：数学有效教学的特征与探索。（邱学华等，“2007年小学数学教育的回顾与展望”）例四一段评论“新课程实施以来，广大一线教师在实践中不断遇到新问题，如算法多样化、创设情境、小组合作等，随着课程改革的深入，老师们对这些问题的认识逐步趋于清晰并付诸实践，而近两年来，解决问题的教学成了教师们最为关注的话题”（小学数学教育编辑部 ，2008年第七期二、转向教师培训建议（1）：关注教师的实际需要 例五 一篇值得注意的文章“关于数学教育若干重要问题的探讨对话特级教师王凌的读书笔记”（王凌、余慧娟，人民教育，2008第七期），第39-45页）主要内容：对于若干“语录”的解读。应当思考的一个问题一篇读书笔记为什么会引起人们如此的兴趣？这一事件又给了我们什么样的启示？启示（1）：关于教学研究“这些笔记的确很精辟，但是我觉得您的解读更精彩，从某种角度讲，能用恰恰相到好处的实例来解读理论的人，比只会给出抽象理论的人更伟大，因为这不但表明消化理论的能力，也代表了思考的透彻与思想的成熟。您能我们看到了浓缩的理论后面丰富的实践风景，同时也引发了新的思维风暴。”启示（2）：教师的实际需要培训形式的必要转变。应当积极引导教师去读书、读好书。相应的思考无论是专业的理论研究工作者，或是在职教师或未来的教师，都应经常自问：什么是自己专业领域内最为重要的一些著作或论文？教育领域内的各个专家、包括各级教研员以及优秀教师都能为一线教师认真推荐本专业的几本好书或好的文章。 一些值得推荐的好书 D. Grouws (ed)，Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning ，Macmillan，1992 A. Bishop (ed)， International Handbook of Mathematics Education ， Kluwer， 1996、2002张奠宙等，张奠宙等，数学教育研究导引数学教育研究导引，江苏教育出，江苏教育出版社，版社，1994；张奠宙、宋乃庆主编，张奠宙、宋乃庆主编，数学教育概论数学教育概论，高等，高等教育出版社，第十章第二教育出版社，第十章第二节节 建议（2）平等的对话 。只有深入了解真实的教学情况以及一线教师的实际需要，我们才能有真正的话语权。 课改以来的一个现实“专家引领”或不负责任的“自我宣扬”？网上的评论：“只有深入了解一线的专家，才是真正意义上的专家。也只有这样的专家才能引领我们成长！”一些没有亲自体验课堂实践的专家自然只能从理论作阐述，而真正的一线实践者却在专家的摸索下模糊了自己的方向。”必要的提醒：不要迷信专家例六例六为了给学生一杯水教师不需要一桶水，有一杯水也够了，关键看你能不能把水倒给学生；为了给学生一杯水甚至教师没有水也可以，大家一起去打井，就会有水了。例七由“校本教研”到“校本课程”、乃至“校本课程规划”。我们不仅应当根据各校的情况去编写校本课程，而且也应对学校中的各种课程，包括国家课程、地方课程和校本课程做出自己的整体设计和安排。例八 关于数学教学的一些提法“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种解读。”“学生所提出的一切问题都是有意义的。”“过去是教师提问题学生答，现在是学生提问题教师答，将来是学生提问题、教师帮、学生答。” “只有不会教的教师，没有教不好的学生。” 一个重要的转变：路在自己脚下“新课程改革进行到现在，专家们众说纷纭，我们也莫衷一是。还好，真正每天在教室里和新课程打交道的，站在讲台上能够决定点什么的，和孩子们朝夕相处的，还是我们一线教师，而教育变革的最终力量可能还是我们这些草根。”（潘小明，“数学生成教学的思考与实践”）建议（3）案例分析理论联系实际的重要渠道。 插入：数学教师三个基本功 善于举例；善于提问；善于优化。新的思考：从教师转向教师培训？例九 什么是建构主义？学生的个体特殊性；如何看待学生的错误？什么是数学中的“理解”？建议（4）培训者自身也应加强学习，努力提高自己的理论素养。 必要的关注什么是国际上数学教育理论研究的最新进展？什么又是数学教育现代发展的总体趋势？总体的发展趋势尼斯（2000）：“在过去三十年中，数学教育研究的发展主要表现为领域的扩张，即是致力于不遗漏掉任何对于数学的教和学可能具有重要影响的因素。” （心理学、社会学、语言学、人类文化学、政治学 新的发展：必要的聚焦尼斯：“在今天我们应当更加注意适当的聚焦，也即对于复杂性的合理归约。” “三论”的必要重建，特别是，数学教学论的必要重建。 一些特别重要的学习内容一、学习理论的现代发展：（1）20世纪60、70年代以前：行为主义；（2）60、70年代以后：认知心理学 （与建构主义）；（3）90年代以后：情境学习理论的兴起。相应的指导思想由主要关注教学方法转变到对于学生数学学习过程中真实思维活动的深入了解。总体线索：外内外二、高度重视数学教育的社会-文化研究。（1）社会研究（微观、宏观），（2）文化研究（微观、宏观），（3）语言研究：必要的中介。 三、教学案例若干教学案例若干例十 这个学生缺的究竟是什么？（楼文胜，“问题到底出在哪儿？”） 任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？”一位学生是这样解题的：5215012=接下来的对话“告诉我，你为什么这么列式？”“老师，我错了。”“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的。”“为什么是除呢？”“老师，我又错了。”“你说，对的该是怎样呢？”“应该把它们加起来。”启而不发？“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？”“老师，我早上不吃大饼的。”“那你吃什么？”“我经常吃粽子。”“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”“老师，我一天根本吃不了两个粽子。”“那你能吃几个粽子？”“吃半个就可以了。”“好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？”“两个半。”“怎么算出来的？”“两天一个，5天两个半。”相关的思考数学化与生活化？数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。例十一“用眼睛看或用头脑看？” 教学内容：“观察物体”。 主要的教学手段：实际观察。即如“这是一个立方体，从正面（侧面、顶部）看你看到了什么？”常见的教学现象：教师常常采取“以全班为单位派代表进行观察”或是“以小组为单位轮流进行观察”的做法，并不断对学生所给出的解答作出适当评价：“好！”“非常好！”“你看得真仔细！”“你再仔细看看！”。直到所有学生最终都得出了“我看到了一个正方形”这样一个结论。观摩课的“独到之处”：用摄像机进行验证。一个应当思考的问题然而，如果一个学生提出他所看到的是通常所说的立体图（也即由一个正方形和两个平行四边形所组成的组合图形），你能说他看错了吗？ 教师的可能反应：“你再仔细看看！”“你再好好想想究竟什么是从正面看？” 进一步的思考但是，如果一个学生坚持说他怎么也看不出老师所说的正方形、而只能看到通常所说的立体图，你真的能说他是看错了吗？分析：我们在此事实上并不是真正地在看，而是在教会学生应当如何去看，或者说，究竟看到了什么样的形状才算是正确的，其它的则都是不正确的。 质疑与再思考这“难道不是一个客观事实吗，即立方体在长、宽、高三个方向的投影都是正方形！”分析：所谓的“投影”本身就是一种理想化的状态，也即是严格定义的结果，而如果我们真的用眼睛（或是用摄像机）去看是很难（如果不说不可能的话）看出正方形的。从而，总的来说，我们在此事实上就并非是用眼睛在看，而是用头脑在看！ 一般隆结论数学学习不应停留于实际活动，恰恰相反，就只有通过活动的“内化”我们才可能发展起一定的数学思维。应当努力增强自身在这一方面的自觉性：就动手实践而言，这即是指：做什么？为什么要做？做了以后究竟又产生了什么效果（如何）？即使是“观察”这种最为基本、最为直截了当的活动事实上也不简单，并直接涉及到了理论与实践的关系这样一个基本问题。 例十二 “工厂要建造污水处理系统吗”？教学中教师设计了“学生辩论”这样一个环节：通过明确正、反方的观点，教师安排学生通过抽签进行分组辩论，包括陈述观点与依据以及对对方的观点进行反驳教师的自我总结“我感到对于辩论这种教学形式，学生比较感兴趣。”“这样的学习过程试图培养学生独立思考、合作与交流的能力，培养学生分析和解决问题的能力，培养学生从多角度、多方面考虑问题的习惯与能力。”不同的思考数学课上的辩论与一般的辩论（例如，大学生辩论赛）是否存在重要的区别？在数学中我们往往首先寻找相应的理由，并由此而决定自己所应选择的立场，从而这就主要是一种理性的选择（正因为此，数学中就很少、甚至从不通过辩论来解决观点的分歧）；与此相对照，在各种辩论赛中人们却往往是首先决定立场，然后再去寻找相关的理由。进一步的思考防止对于形式的片面追求，特别是，“表面上热热闹闹，实质上却没有收获。”这样的辩论是否也会有一定的副作用？ 插入:家长与儿子的一段对话与儿子一起听电台的辩论节目，双方唇枪舌战，斗争激烈。我问儿子：“如果让你辩论，你愿意作正方还是反方？”儿子说：“我们学校也有这样的辩论。正方反方都是抽签的，抽到哪一方就得替哪一方辩论。观点不重要，重要的是会说，把对方驳倒你就赢了。”我问他：“那如果你抽到你反对的观点呢？你自己都说不服自己，怎样去说服别人”儿子说：“如果非要我选择跟自己观点不同的辩方。那我就不参加。”“可是你刚才说了，这是一场比赛，目的就是要击败对手，跟观点没关系。你弃权表示你已经输了。”儿子问我：“妈妈，那你是想我做个聪明的人呢，还是做个善良的人？”儿子丢了个问题给我。 我陷入了思索中，是啊，如果你为之辩论的观点让你反感，不屑，你是颠倒黑白打倒对方证明自己有多聪明呢？还是坚持自己的原则，做个诚实善良的人？你是决定做个识时务的聪明人指鹿为马？还是做个坚持原则真诚善良的人独立在风口浪尖？也许成年人都难以明白的道理，孩子却清晰如明镜：人可以不聪明，但不可以不善良。插入：聚焦数学教学改革必要的总结与反思我们不能以“新”“旧”作为区分教学方法“好”“坏”的主要标准，数学教学方法的变革更不应被看成教学模式的简单取代。基本立场我们并应明确肯定教学工作的创造性：教无定法，而应根据特定的教学内容、对象、环境（以及教师本人的个性特征）创造性地去应用各种教学方法。一段精彩言论漫漫数学路：“期盼、失落、冲突、化解和再上路”；“当然我们可以抱怨，这些问题何以反复的出现，我们也可反过来看，教育本来就是一种感染和潜移默化。如果明白这点，也许我们走了近半世纪的温温数教路，一点也没有白费，业界就正要这种炼历，一次又一次的反思、深化、在深层中成长问题就是有否吸取历史教训，避免重蹈覆辙。”（黄毅英等） 五、数学文化漫谈五、数学文化漫谈数学课程改革的一项重要贡献：明确提出了数学教学的“三维目标”。现实中存在的问题认识上的泛化；做法上的简单化（取代与简单组合）。例十三 买花与培养对母亲的感情 “ 讲到促进学生的情感、态度和价值观的发展，很多老师认为是很空泛的。有这样一个例子，讲的是去花店买花的问题：我要给妈妈买一束花，该怎么买？从表面上看，这里是教学加减运算的问题，这是一种知识和技能。但这里面还隐含着另一层含义：给妈妈买一束花，送她作生日礼物，通过学生的讨论交流，引发了对母亲的一种敬爱的感情，这就是课程标准所倡导的情感、态度和价值观。”（1）究竟什么是数学的文化价值？）究竟什么是数学的文化价值？问题的具体化：什么是数学课所应问题的具体化：什么是数学课所应具有的具有的“数学味数学味”？一个特殊的切入点：语文教学反照一个特殊的切入点：语文教学反照下的数学教学下的数学教学。有益的比较类似的提法：“语文天生多情，天生浪漫，语文教学有其自身的文化韵味。”但是，究竟什么是数学课所应具有的“数学味”？什么又是语文课所特有的“语文味”？这两者究竟有什么不同？例十四 窦桂梅老师的珍珠鸟教师突出地强调了课文中如下一些关键词：小脑袋，小红嘴，小红爪子，并要求学生在朗读时努力体现“娇小玲珑、十分怕人”这样一种意境（“读出味道来”）。这堂课成功的秘诀就在于通过朗读创设了这样一个氛围：对于小珍珠鸟的关切、爱怜孩子们甚至不知不觉地放低了声音，整个教室静稍稍的。相关的思考语文教学主要是一种“情知教学”，即是以情感来带动知识的学习。“让学生对文本生情，用情来理解文本,用情来感染学生。”（朱小亮 )对于数学教学我们是否也可作出同样的结论？可能的结论如果说语文教学是一种以情感带动知识学习的“情知教学”，那么，数学教学就主要是“以知贻情”，其涉及的情感也截然不同。语文教学中所涉及的是人类最为基本的一些感情：人世间的爱恨和冷暖，生命的短暂和崇高，社会历史进程中的神奇和悲欢这就是说，即如种种文学作品，在此首先吸引你的不是相应的语言表达形式，而是文字中的精神滋养，包括对大自然的关爱、对弱小的同情、对未来的希冀、对黑暗的恐惧等。与此相对照，在数学课上我们所希望学生养成的则是一种新的精神：它并非与生俱来，而是一种后天养成的理性精神 ；一种新的认识方式：客观的研究；一种新的追求：超越现象以认识隐藏于背后的本质（是什么，为什么）；一种不同的美感：数学美（罗素形容为“冷而严肃的美”）不同的教学标准好的语文课往往充满激情，数学教学则更加提倡冷静的理性分析；语文教学带有明显的个性化倾向；数学则追求普遍的知识，数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”的过程。例十五 “刻骨铬心的国耻”教师在组织引导“刻骨铬心的国耻”时声情并茂，很有感染力，很快将学生置于“南京大屠杀”的情境之中，学生整堂课都沉浸在悲情的氛围不中，有的朗读时声音颤抖哽咽，有的热泪盈眶，有的咬牙切齿，课堂气氛低沉而又压抑，几乎让人窒息，教师自己也身陷其中，难以自拔：“同学们，此时此刻，我话已经说不出来了。”致使课堂出现短时间的停止学生异常激动的高呼：“我要好好学习，将来制造出更先进的武器，我要替死去的30万中国人报仇”（张小香） 数学与情感数学与情感数学学习同样涉及到了人的本性，即是人类固有的好奇心、上进心，一种希望揭示世界最深刻奥秘的强烈情感。“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而儿童的精神世界里，这种需要特别强烈。”（苏霍姆林斯基）一个最好的比喻：童心。“我不知道世人怎样看我，我只是一个在海滩上玩耍的男孩，一会儿找到一颗特别光滑的卵石，一会儿找到一只异常美丽的贝彀，就这样使自己娱乐消遗。” （牛顿）必要的补充在数学课上我们所希望学生养成的是一种新的理性精神一种深层次的快乐：由智力满足带来的快乐，成功以后的快乐；一种新的情感：超越世俗的平和；一种新的性格：善于独立思考，不怕失败，勇于坚持 （2）如何充分发挥数学的文化价值）如何充分发挥数学的文化价值？ 与外插、简单组合等作法相对立，我们应当突出强调文化价值与知识内容的相互渗透，真正做到“以知贻情”。关键之一：创造适当的问题情境关键之一：创造适当的问题情境如果说语文教学的一个有效手段就是通过朗读创设出好的学习情境，即是要求学生带着感情去读，读出感情来；那么，数学教学中调动学生好奇心、上进心的主要手段就是如何能够提出恰当的问题：提出具有挑战性、同时又适合于学生认知水平的问题，提出具有启发性的问题，从而不断激发学生的好奇心，促使其积极地学习，而且不仅能学到知识、也能学会思维，包括养成健康的情感、态度与价值观。 反面的教训：一个学生写在试卷上的一段话“数学，你是个坏蛋，你害我脑细胞不知死了多少。我美好的青春年华就毁在你的手上，你总是打破别人的梦，你为什么要做个人见人恨，人做人更恨的家伙呢？如果没有你，我将笑得多灿烂呀！如果你离开我，我绝不责怪你无情。”（摘自2004年全国高中数学联赛决赛湖北赛区试卷。）关键之二：关键之二：教师自身的感染力量身体力行，耳濡目染。“文如其人”：一个没有“数学味”的教师不可能真正上出具有“数学味”的数学课。关键：高度的自觉性“其实，即使是小学数学，它的每一个结论、每一条规律，几乎都能找到令人赞叹的理由，几乎都能通过适当的方式，让学生有所感悟。为什么有的老师会无动于衷，放弃可贵的教育机会呢？有一天，看到媒体在评选感动中国的年度人物，我忽然醒悟：只有当教师自己被数学所感动时，他才能自觉地、不失时机地用数学的魅力去打动学生。“（曹培英）一个值得提倡的追求“教师与数学，二者理应相互交融、合二为一。一个优秀的数学教师站在讲台上，他就是数学！他的身上应该自然散发着一种独特的数学光华与气息，一种源自于理性、智慧、思辨的内在气质。”（张齐华）努力展示数学自身的魅力“是啊，当数学能够深入到数学的内部，展现它自身的魅力时，那些从外部添加的趣味性，什么小狗、小猫的故事，五颜六色的教具，就可以少用乃至不用了。这也就是数学教学的的一种返璞归真吧！”（曹培英）插入：教师的三个境界仅仅停留于知识的层面：教师匠；能够体现数学的思维：智者；无形的文化熏陶：大师！几点提醒第一，我们不应期望通过聆听某个专家的报告或阅读某部专著（特别是，通过将其毫无遗漏地归结为甲、乙、丙、丁等几条）就能很好把握“数学文化”的具体内涵，我们也不能期望通过依样画葫芦就能在课堂上很好体现“数学的文化价值”；毋宁说，与单纯的理论学习相比，我们应当更加重视自己的切身体会与感悟，因为，无论所说的体会和感悟是何等的“单薄”、“肤浅”，恰恰因为这是你自己的体会，从而才有可能在课堂上得到很好体现，更何况只要处处用心，我们就一定可以通过各种渠道最终把握“数学文化”的真谛。第二，数学教师的社会责任。背景：东西方文化的比较（数学文化与儒家文化） 数学“是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径”（柏拉图）算术亦是六艺要事，然可以兼明，不可以专业。“（颜氏家书）“历史已经证明，而且将继续证明，一个没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。”（齐民友）第三，数学的“善”与“恶”我们不仅应当突出强调数学对于社会进步与个人发展的积极作用（数学的“善”），也应清楚地看到数学的局限性及其可能的消极影响（数学的“恶”）。数学思维的局限性：简单性（simple-minded）,单一性（single-minded）,文本性（literal-minded）（J. Schwartz & G-C. Pota）五、充分发挥数学教育哲学的促进五、充分发挥数学教育哲学的促进作用作用。 （1）数学教育哲学的兴起必要的思考：这是否仅仅是一种时髦，还是有其一定的必然性，合理性？如何开展数学教育哲学的研究防止简单化的做法:“一般教育哲学”+“数学的例子”切实立足实际的数学活动：由数学哲学到数学教育哲学（2）数学教育哲学的主要内容数学观数学教育观数学学习观与数学教学观哲学思维的核心思维的深刻性；必要的批判性。例十六 数学教学的有效性“有效的课堂教学”这一口号是否有其一定的合理性？究竟什么是“有效的课堂教学”的主要内涵？在相关的实践中我们又应如何防止可能的片面性？结语：关于教师专业化发展的几点建议（1）：防止对于时髦潮流的盲目追随。面对任一新的时髦口号或潮流，我们都应冷静地思考：究竟什么是这一新的主张或口号的主要内涵？这一主张或口号究竟又能为我们提供什么新的启示和教益？什么是其固有的局限性或可能的错误？建议（2）：坚持教学工作的实践标准“情境中的需要高于规则、模式甚至标准价值观的规定。”专业发展的不同定位：由“理论指导下的自觉实践”转向“反思性实践”。建议（3）：大力提倡理论的多元化 “当一个理论转换成教学上的规定时，唯我独尊就会成为成功的最大敌人。理论上的唯我独尊和对教学的简单思维，肯定会把哪怕是最好的教育理念搞遭。”“当两个隐喻相互竞争并不断映证可能的缺陷，这样就更有可能为学习者和教师提供更自由的和坚实的效果。”（斯法德）关键高度的自觉性；必要的总结与反思。参考文献参考文献数学教育哲学的理论与实践，广西教育出版社，2008开放的小学数学教学，江苏教育出版社，2008数学思维与小学数学，江苏教育出版社，2008数学教学的有效性与开放性，课程、教材与教法，2007年第7期数学的文化价值何在何为，人民教育，2007年第6期数学教师的三个基本功，人民教育，2008年第18-20期