b f(x)dx=f(b)-f(a)(x)dx=f(b)-f(a) a微积分的发展史微积分的发展史外国语学院外国语学院(CFLL)(CFLL)201152010105201152010105李红艳李红艳17世纪酝酿牛莱微积分产生18世纪发展严密性注入应用及新分支现代发展学术地位思想萌芽 微积分的历史地位微积分的历史地位 若将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而微积分就是树干的主要部分，微积分堪称是人类最伟大的成就之一微积分堪称是人类最伟大的成就之一。 微积分（CalculusCalculus）是高等数学中研究函数的微分（DifferentiationDifferentiation）、积分(IntegrationIntegration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限极限、微分学微分学、积分学及其应用、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 我国的微积分思想萌芽我国的微积分思想萌芽 公元前5世纪，战国时期名家的代表作庄子天下篇中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想。 魏晋时期的数学家刘徽（如左图所示）的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元，用他的话说就是：“割之弥细，所失弥割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无可割，则与圆合体，而无所失矣所失矣。”西方的微积分思想萌芽西方的微积分思想萌芽 安提芬的“穷竭法穷竭法”。他在研究化圆为方的问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。 之后，古希腊数学家阿基米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积问题。十七世纪微积分的酝酿十七世纪微积分的酝酿 促使微积分产生的因素： 第一类是研究运动的时候直接出现的，即求即时速度的问题；即时速度的问题； 第二类是求曲线的切线的问题；曲线的切线的问题； 第三类是求函数的最大值最小值问题；函数的最大值最小值问题； 第四类是求曲线长、曲线围成的面积、曲面曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力等。体作用于另一个物体上的引力等。 意大利数学家卡瓦列里意大利数学家卡瓦列里在其著作用新方法促进的连续不可分量的几何学（1635）中，发展了系统的不可分量方法。 卡瓦列里认为：线是由无限多个点组成；线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成。无限多个平行平面组成。 他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量不可分量”，卡瓦列里建立了一条关于这些不可分量普遍原理，后以“卡瓦列里原理卡瓦列里原理”著称。 17世纪上半叶，一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。 法国数学家笛卡尔笛卡尔(左)代数方法代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大影响；德国天文学家数学家开普勒开普勒（右）的无限的无限小元法。小元法。 牛顿将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反流数术亦正、反流数术亦即微分与积分即微分与积分，并证明了二者的互逆关系并将其进一步统一为整体，这是他超越前人的功绩。牛顿与微积分的创立牛顿与微积分的创立1665年11月，牛顿发明正流数术正流数术1666年5月，发明反流数术反流数术，10月，牛顿发表了历史上第一篇系历史上第一篇系统的微积分文献统的微积分文献流数简论。 莱布尼茨特征三角形的第一定律如右1图示：莱布尼茨的微积分莱布尼茨的微积分 莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分，而是他引入的数学符号，如dx表示x的微分，“”表示积分，ddv，dddy表示二阶、三阶微分1695年左右用dmn表示m阶微分等。捷捷克克波波尔尔查查诺诺意意大大利利托托里里拆拆利利前苏联前苏联格拉茨基格拉茨基在微积分方面贡献较大的数学家还有很多，如图所示：法法 帕帕斯斯卡卡法法费费尔尔玛玛十八世纪微积分的发展十八世纪微积分的发展 从十七世纪到十八世纪的过渡时期，法国数学家罗尔罗尔在其论文任意次方程一个解法的证明任意次方程一个解法的证明中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们下周所说的罗尔微分中值定理罗尔微分中值定理。 伯努利兄弟雅各布和约翰伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给出了求未定式极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生罗比达编入其微积分著作无穷小分析，现在通称为罗比达法则罗比达法则。 1715年数学家泰勒在著作正的和反的增量方法中陈述了他获得的著名定理，即现在以他的名字命名的泰勒定理泰勒定理。后来，麦克劳林重新得到泰勒公式的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林麦克劳林”级数级数。 18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积偏导数理论和多重积分理论分理论。这方面的贡献主要应归功于尼古拉尼古拉伯努利、伯努利、欧拉欧拉（右图）和拉格朗日等和拉格朗日等数学家数学家。 18世纪，代表人物有达朗贝尔、欧拉和拉格朗日达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。 19世纪，对微积分的严密性真正有影响的先驱是法国数学家柯西柯西，著作为分析教程、无穷小计算教程及微分计算教程；另一位则是魏尔斯特魏尔斯特拉斯拉斯，在数学史上，他被称为“现代分析之父现代分析之父”。 微积分中有很多概念较模糊，如无穷小概念的解释不明确，于是很多数学家力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难。微积分中注入严密性微积分中注入严密性微积分的应用与新分支的形成微积分的应用与新分支的形成微积分微积分变分法偏微分方程常微分方程与动力系统常微分方程与动力系统：常微分方程与动力系统：从17世纪末开始，摆的摆的运动、弹性理论以及天体力学运动、弹性理论以及天体力学等实际问题引出了常微分方程；18世纪，有了明确的方向及目标；19世纪后半叶时，常微分方程在两大方向上开拓了新局面，涉及到很多新的分支（混沌、分形、交叉等混沌、分形、交叉等）。偏微分方程：偏微分方程：达朗贝尔发表的张紧的弦振动时形成的曲线的研究被看作是偏微分方程论的开端。变分法：变分法：起源于“最速降线”和其他一些类似的问题，最早由约翰伯努利提出向其他数学家挑战。欧拉对此给出了自己的解答，即后来的“欧拉方程”，至今仍是变分法的基本方程。 我国的数学泰斗陈省身陈省身先生所研究的微分几何微分几何领域便是利用微积分的理论来研究几何，后由我国数学家朱熹平、曹怀东等完成的最后封顶的庞加莱猜想便属于这一领域。 微积分的现代发展微积分的现代发展 在Riemann（黎曼）将Cauchy的积分含义扩展后，Lebesgue引进了测度的概念，将Riemann积分的含义扩展。如：著名的DirichiletDirichilet函数在函数在RiemannRiemann积分积分下不可积，在下不可积，在LebesgueLebesgue积分下便可积积分下便可积。 就数学本身发展的需求和解决问题的需要而言，仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的，有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般的微分流形一般的微分流形。 微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步步地由低级到高级、由不全面到比较全面地发展，人人类对大自然的探索永远不会有终点。类对大自然的探索永远不会有终点。