1概概 率率 论论 & & 数数 理理 统统 计计23概率论与数理统计概率论与数理统计概概 率率 论论 研究 随机现象随机现象 数量统计规律的一整套数学理论和方法 数理统计数理统计 应用概率论，研究 大量随机现象大量随机现象 数量规律性的科学区别与联系区别与联系 两者是紧密相连的同类学科，都以“随机现象”为研究对象（下面详述），都以“数量规律”为研究结果，不同之处在于数理统计强调随机现象的“大量”性。属于属于 应应 用用 数数 学学 应用目的应用目的明确、研究内容研究内容较为具体 高等数学属于 纯粹数学4世界充满了不确定性世界充满了不确定性/ /随机性随机性扔硬币、掷骰子和玩扑克等游戏；婴儿的降生，世间万物的繁衍生息；流星坠落，大自然的千变万化 。随随 机机 现现 象象5随随 机机 现现 象象 从亚里士多德时代开始，人们就已经认识到随机性/不确定性在客观世界中的普遍性，但人们没有认识到研究并量化随机性的可能性，而是把随机性看作为破坏规律、超越了人们理解能力范围的东西。6随随 机机 现现 象象 直到15、16世纪，人们才开始数量化数量化研究随机性/不确定性，并尝试从中发现客观规律。特别是20世纪发展成一门严格的数学科学分支：“概率论”。 至今，“概率论”已给人类社会活动产生了深远影响，还改变了人们的思维方法，成为人们探索未知自然的奥秘的有力工具.7随随 机机 现现 象象确确 定定 性性 现现 象象在一定条件下必然发生或不可能发生的客观现象。在一定条件下必然发生或不可能发生的客观现象。事先可预知其结果，或根据它过去的结果，在相同的条件事先可预知其结果，或根据它过去的结果，在相同的条件下可预知其下可预知其 将来的结果。将来的结果。例子：例子：1 1、在一个标准大气压下水加热到、在一个标准大气压下水加热到 100C100C时必沸腾。时必沸腾。 2 2、同性的电荷必然互斥。、同性的电荷必然互斥。 3 3、货币发行过量会导致通货膨胀。、货币发行过量会导致通货膨胀。客观现象客观现象确定性现象确定性现象随随 机机 现现 象象8随随 机机 现现 象象随随 机机 现现 象象在相同条件下在相同条件下 可能发生，也可能不发生可能发生，也可能不发生 的客观现象。的客观现象。呈现呈现 随机性、偶然性随机性、偶然性 的现象。的现象。 当人们在一定的条件下对随机现象进行观察或试验时，试验的结果不唯一，而且在每次试验前都无法确知哪个结果出现，即呈现出“偶然性”。客观现象客观现象确定性现象确定性现象随随 机机 现现 象象9随随 机机 现现 象象A. 太阳从东方升起；太阳从东方升起；B. 明天的最高温度；明天的最高温度；C. 上抛物体一定下落；上抛物体一定下落；D. 新生婴儿的体重新生婴儿的体重.哪些是哪些是 随随 机机 现现 象象？客观现象客观现象确定性现象确定性现象随随 机机 现现 象象10随随 机机 现现 象象随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有规律可言? ?否！否！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.随机现象的规律性随机现象的规律性11随随 机机 现现 象象随机现象的规律性随机现象的规律性例子：例子： 一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的着地点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的着地点则表现出某种规律性：例如，一定的命中率，一定的分布规律等. 12随随 机机 现现 象象随机现象的规律性随机现象的规律性又如：又如： 容器内的气体，每个气体分子的运动存在着不确定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向。但大量分子的平均活动却呈现出某种规律性：在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现“无序中的规律性”。13随随 机机 现现 象象随机现象的规律性随机现象的规律性再如：再如： 测量物体的长度，由于受环境的影响，每次测量的结果是有差异的。但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大多落在此常数的附近，离之越远则越少，因而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右基本对称”。14随随 机机 现现 象象随机现象的规律性随机现象的规律性问：问：“天有不测风云”和“天气可以预报”有矛盾吗?无！无！“天有不测风云”指的是随机现象一次实现的偶然性。“天气可以预报”指的是从大量气象观测信息中探寻天气现象中的规律性。15随随 机机 现现 象象总结：总结：随机现象有偶然性，也有其必然性，这种必然性表现在大量重复试验(或观察)中所呈现出的固有规律性，称为“随机现象的统计规律性”这正是概率论所研究的内容。概概 率率 论论 简简 史史16概概 率率 论论 发发 展展 阶阶 段段16541812拉普拉斯拉普拉斯分析概率论,1812柯尔莫戈洛夫柯尔莫戈洛夫概率论基础,1933古典概率论惠更斯惠更斯论赌博中的计算1657概率论的萌芽近代概率论现代概率论193317概概 率率 论论 的的 发发 展展 历历 史史萌芽时期萌芽时期（1654年之前） 以数据统计为主要手段 主要研究保险、赌博、占卜等实际问题古典概率论时期古典概率论时期（16541812） 主要手段：排列组合方法 主要研究离散型随机变量 标志性著作是1657年惠更斯的论赌博中的计算近代概率论时期近代概率论时期（18121933） 主要手段：微积分等分析方法 以研究连续型随机变量为主 标志性著作是1812年拉普拉斯的分析概率论现代概率论时期现代概率论时期（1933今） 以集合论、测度论为研究基础 研究内容逐渐趋向多元化 标志性著作是1933年柯尔莫戈洛夫的概率论基础18概概 率率 论论 的的 诞诞 生生概率论的诞生概率论的诞生始于1654年帕斯卡帕斯卡(Pascal)和费马费马(Fermat)关于如下赌博问题的通信。1654年一个名为安东尼安东尼 哥保德哥保德(AntoinieGombaud)的公爵向帕斯卡帕斯卡提出的赌博问题赌博问题:1、掷两颗骰子多少次，才能以不小于50%的概率得到两个6点；2、赌博结束时如何公平分配赌注。这二人发展了“古典概型古典概型”的定义和计算方法，提出了“数学期望数学期望”这一重要概念。英文“ProbabilityProbability”(概率概率)首次出现于1662年出版的波尔波尔 罗亚尔逻辑罗亚尔逻辑一书中。帕斯卡帕斯卡(Pascal)，法国1623-1662费马费马(Fermat)，法国 1601-166519惠更斯惠更斯HuygensChristiaan,1629-16951657年出版了论赌博中的计算论赌博中的计算，是最早的关于概率论的著作(是本仅包含14个命题和5个练习的小册子)。该书作为概率论的标准教材长达50年之久。该书末尾提出了若干从瓮中取带色球的问题，这些问题至今仍在概率论课本中出现。 古古 典典 概概 率率 论论16541812惠更斯惠更斯(Huygens)，荷兰代表性人物及其成果代表性人物及其成果20雅克比雅克比 伯努利伯努利JacobBernoulli,1654-17051713年出版了猜度术猜度术，把概率论建立在稳固的数学基础上的首次尝试。提出了著名的“伯努力试验伯努力试验”以及在概率中有重要意义的“伯努利大数定律伯努利大数定律”。公认的概率论的奠基人。 古典古典 概概 率率 论论16541812代表性人物及其成果代表性人物及其成果雅克比雅克比 伯努利伯努利 (JacobBernoulli)，瑞士21棣莫弗棣莫弗DeMoivreAbraham,1667-17541718年出版了机遇论机遇论，该书在概率论发展史中起着承前启后的作用。首次首次定义了独立事件的“乘法原理乘法原理”。在。在“二项分布二项分布”、“中心极限定理中心极限定理”等方面的工作，开辟了概率论发展的新方向。明确提出了“条件概率条件概率”的概念，并为概率论发展了一套较为普遍的符号。 古典古典 概概 率率 论论16541812棣莫弗棣莫弗(DeMoivre) ，法国，法国代表性人物及其成果代表性人物及其成果22蒲丰蒲丰BuffonGeorge-LouisLeclercde,1707-17881760年出版了偶然性的算术试验偶然性的算术试验。他提出了“几何概率几何概率”，并以“蒲丰投蒲丰投针针”问题闻名于世。可以通过“蒲丰投针蒲丰投针”问题，求圆周率的近似值。 古典古典 概概 率率 论论16541812蒲丰蒲丰 (Buffon)，法国代表性人物及其成果代表性人物及其成果23古典概率论其他著名学者古典概率论其他著名学者丹尼尔丹尼尔 伯努利伯努利 (DanielBernoulli)首次将概率论用于人口统计，提出“正态分布误差理论正态分布误差理论”，发表第一个正态分布表第一个正态分布表。贝叶斯贝叶斯 (Bayes)给出了著名的“贝叶斯公式贝叶斯公式”，提出了“贝叶斯假设贝叶斯假设”。 欧拉欧拉(Euler)对机遇游戏的概率计算和超几何级数超几何级数进行了研究。丹尼尔丹尼尔 伯努利伯努利 ，瑞士1700-1782欧拉欧拉，瑞士1707-1783贝叶斯贝叶斯 ，英国1702-176124始于1812年拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)出版的划时代巨著分析概率论分析概率论。将古典概率论推向近代概率论，引入了强有力的数学分析工具微积分微积分。拉普拉斯拉普拉斯 证明了重要的棣莫弗棣莫弗拉普拉斯拉普拉斯中心极限定理中心极限定理。这是连接离散型随机变量与连续型随机变量的纽带。 近近 代代 概概 率率 论论18121933拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)，法国1749-1827近代概率论近代概率论25泊松泊松Poisson,1781-18401837年出版了关于刑事案件和民事案关于刑事案件和民事案件审判概率的研究件审判概率的研究。提出了“泊松分布泊松分布”。 近近 代代 概概 率率 论论18121933泊松泊松(Poisson)，法国代表性人物及其成果代表性人物及其成果26切比雪夫切比雪夫Chebyshev,1821-18941866年发表论均值论均值。提出了“切比雪夫不等式切比雪夫不等式”、“切比切比雪夫大数定律雪夫大数定律”等。在概率及相关概念的抽象化方面做出了贡献，为概率论公理化打下了基础。 近近 代代 概概 率率 论论18121933切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)，俄国代表性人物及其成果代表性人物及其成果27马尔科夫马尔科夫Markov,1856-19221900年出版概率演算概率演算。提出了“马尔科夫不等式马尔科夫不等式”，改进和完善了大数定律和中心极限定理。创立了著名概率模型“马尔科夫链马尔科夫链”。 近近 代代 概概 率率 论论18121933马尔科夫马尔科夫(Markov)，俄国代表性人物及其成果代表性人物及其成果28近代概率论其他著名学者近代概率论其他著名学者高斯高斯(Gauss)建立了在概率中占重要地位的“高斯分布高斯分布”。柯西柯西(Cauchy)建立了“柯西分布柯西分布”，用近似方法证明了中心极限定理。李雅普诺夫李雅普诺夫(Lyapunov)创立了特征函数法特征函数法，在概率论极限定理研究上有突破进展。高斯高斯(Gauss)，德国1777-1855柯西柯西(Cauchy)，法国1789-1857李雅普诺夫李雅普诺夫(Lyapunov)，俄国1857-191829 现现 代代 概概 率率 论论始于1933年柯尔莫戈洛夫柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)出版的划时代巨著概率论基础概率论基础。提出了概率论的公理化结构，明确了概率的定义和概率论的基本概念，引入了新的工具测度论测度论。提出了6条公理，之后的整个概率论大厦都可以从这6条公理开始建起。19331933现今现今柯尔莫戈洛夫柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)，苏联1903-1987现代现代( (高等高等) )概率论概率论30列维列维 Lvy,1886-19711937年出版随机变量理论随机变量理论，发现“列维过程列维过程”。建立了独立增量过程的一般理论独立增量过程的一般理论。提出了“鞅鞅”、“列维测度列维测度”、“列维列维分布分布”等重要概念。 现现 代代 概概 率率 论论19331933现今现今列维列维(Lvy)，法国代表性人物及其成果代表性人物及其成果31伊藤清伊藤清 KiyoshiIt,1915-20081953年出版论随机微分方程论随机微分方程。随机分析的创立者随机分析的创立者，提出了“伊藤公式伊藤公式”、“多重维纳积分多重维纳积分”和“复多重维纳积分复多重维纳积分”。 现现 代代 概概 率率 论论19331933现今现今伊藤清伊藤清(KiyoshiIt)，日本代表性人物及其成果代表性人物及其成果32杜布杜布Doob,1910-20041954年出版随机过程随机过程。创立了“鞅论鞅论”，是随机过程理论基础的奠基人之一。给出“杜布鞅不等式杜布鞅不等式”、“杜布杜布- -邓肯引理邓肯引理”、“杜布鞅收敛定理杜布鞅收敛定理”等重要成果。 现现 代代 概概 率率 论论19331933现今现今杜布杜布(Doob)，美国代表性人物及其成果代表性人物及其成果33现代概率论其他著名学者现代概率论其他著名学者钟开莱钟开莱(Kai-LaiChung)，美国1917-2009周元燊周元燊(Yuan-ShihChow)，美国1924-罗斯罗斯(Ross)，美国1943-别林斯里别林斯里(Billingsley)，美国1925-2011费勒费勒(Feller)，美国1906-1970卡琳卡琳(Karlin)，美国1924-200734钟开莱钟开莱(Kai-LaiChung)是世界知名概率学家，著有初等概率论初等概率论、概率论基础概率论基础等十余部著作。周元燊周元燊(Yuan-ShihChow)从事“鞅论鞅论”、“最佳止步理论最佳止步理论”、“序贯分析序贯分析”的研究，著有概率论：独立性、互换性与鞅概率论：独立性、互换性与鞅。罗斯罗斯(Ross)从事“随机过程随机过程”的研究，著有概率论基础教程概率论基础教程、随机过程随机过程等书。钟开莱钟开莱(Kai-LaiChung)，美国周元燊周元燊(Yuan-ShihChow)，美国罗斯罗斯(Ross)，美国现代概率论其他著名学者现代概率论其他著名学者35别林斯里别林斯里(Billingsley)从事高等概率研究，著有概率与测度概率与测度、概率测度的收敛概率测度的收敛等著作。费勒费勒(Feller)在“更新理论更新理论”、“扩散过程扩散过程”、“随机游动随机游动”等方面都作出了基本贡献，著有概率论及其应用概率论及其应用。卡琳卡琳(Karlin)在“金融数学金融数学”、“博弈论博弈论”等方面均作出了基本的贡献，著有随机模型随机模型概论概论等书。别林斯里别林斯里(Billingsley)，美国费勒费勒(Feller)，美国卡琳卡琳(Karlin)，美国现代概率论其他著名学者现代概率论其他著名学者36