数学拓展课数学拓展课数格点，算面积一概念认识一概念认识ABCDE1 1、如图，网格纸上画着纵、横两组、如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点（如图中的点两组平行线的交点称为格点（如图中的点A A、B B、C C等）。显然，每一个小方格就是等）。显然，每一个小方格就是一个面积单位。一个面积单位。如果如果一个多边形的顶点都在格点上，一个多边形的顶点都在格点上，那么那么这个这个多边形叫做多边形叫做格点多边形格点多边形( (如图中如图中的多边形的多边形ABCDE)ABCDE) 2 2、凸多边形与凹多边形凸多边形与凹多边形：如右图：如右图a,a,把多边形的把多边形的任何任何一边向两方延长一边向两方延长, ,如果其他各边都在延长所得直线如果其他各边都在延长所得直线的同一旁的同一旁, ,这样的多边形叫做凸多边形。而图这样的多边形叫做凸多边形。而图b b中的中的多边形不具备这种性质多边形不具备这种性质, ,称为凹多边形称为凹多边形. .一概念认识一概念认识ab例例1 1、判断下列图形哪些是格点多边形、判断下列图形哪些是格点多边形？例例2 2、你会求图中格点多边形的面积吗、你会求图中格点多边形的面积吗？ABCDE分割法：分割法：把不规则的大图形分把不规则的大图形分割转化为若干规则的小图形；割转化为若干规则的小图形；添补法：添补法：把不规则图形周围添把不规则图形周围添补上规则的小图形转化一个规补上规则的小图形转化一个规则的大图形，使总面积便于计则的大图形，使总面积便于计算。算。（1 1）求下列多边形的面积求下列多边形的面积（2 2）不妨设不妨设S S-格点多边形的格点多边形的面积面积，N N-多边形多边形内部的格内部的格点数点数，L L-它的它的边上的格点数边上的格点数，那么，那么S S、N N、L L三者之间有没三者之间有没有关系呢有关系呢？图形序号形序号SNL0 01 12 21 12.52.54 44 45 56 6S S、N N、L L三者之间三者之间有有怎样的关系呢？怎样的关系呢？二二、探究格点多边形的面积、探究格点多边形的面积S S与内部、边上格点数与内部、边上格点数(N(N、L)L)的关系的关系活动一活动一探究探究N=0的格点多边形中的格点多边形中S与与L之间的关系之间的关系图形序号形序号SNLS S、N N、L L三者之间三者之间有有怎样的关系呢？怎样的关系呢？3 30 08 81 10 04 42 20 06 6二二、探究格点多边形的面积、探究格点多边形的面积S S与内部、边上格点数与内部、边上格点数(N(N、L)L)的关系的关系活动活动二二探究探究N=1的格点多边形中的格点多边形中S与与L之间的关系之间的关系图形序号形序号SNLS S、N N、L L三者之间三者之间有有怎样的关系呢？怎样的关系呢？2 21 14 42.52.51 15 54.54.51 19 9图形序号形序号SNL二二、探究格点多边形的面积、探究格点多边形的面积S S与内部、边上格点数与内部、边上格点数(N(N、L)L)的关系的关系活动活动三三探究探究N=2的格点多边形中的格点多边形中S与与L之间的关系之间的关系S S、N N、L L三者之间三者之间有有怎样的关系呢？怎样的关系呢？6 62 212124 42 26 63 32 21 1二二、探究格点多边形的面积、探究格点多边形的面积S S与内部、边上格点数与内部、边上格点数(N(N、L)L)的关系的关系活动活动四四探究探究N=3的格点多边形中的格点多边形中S与与L之间的关系之间的关系图形序号形序号SNL5 53 36 64 43 34 44.54.53 35 5S S、N N、L L三者之间三者之间有有怎样的关系呢？怎样的关系呢？二二、探究格点多边形的面积、探究格点多边形的面积S S与内部、边上格点数与内部、边上格点数(N(N、L)L)的关系的关系活动活动五五猜想猜想N=4、5、10、的格点多边形中的格点多边形中S与与L之间的关系之间的关系活动活动六六归纳总结：归纳总结：格点多边形中格点多边形中S与与L之间的关系之间的关系 通过上面的探究，我们发现，通过上面的探究，我们发现，这种格点多边形的这种格点多边形的面积面积计计算起来很方便，只要数一下图形算起来很方便，只要数一下图形边线边线上的上的格格点的点的数目数目及图及图形形内内部部的的格格点的数目，就可用点的数目，就可用公式公式算出。算出。 这个公式是皮克这个公式是皮克( (奥地利数学家乔治奥地利数学家乔治尼古拉斯尼古拉斯亚历山亚历山大大皮克皮克George Alexander PickGeorge Alexander Pick（185918591943)1943)在在18991899年给年给出的，被称为出的，被称为“皮克定理皮克定理”，这是一个，这是一个实用实用而有趣的定理。而有趣的定理。 给定顶点给定顶点坐标坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其皮克定理说明了其面积面积S S和和内部格点数目内部格点数目N N、多边形、多边形边界上的格边界上的格点数目点数目L L的的关系关系：例例3 3、（1 1）计算）计算图中格点多边形的面积图中格点多边形的面积又快又又快又准确！准确！例例3 3、（2 2）计算）计算图中格点多边形的面积图中格点多边形的面积例例3 3、（3 3）计算）计算图中格点多边形的面积图中格点多边形的面积已知下面的方格纸中，每个小正方形的边长为已知下面的方格纸中，每个小正方形的边长为1 1你能求出你能求出三个三个图形象图形象分别占了多少面积吗？分别占了多少面积吗？ 五、小结：共同交流课内活动体会五、小结：共同交流课内活动体会1 1、认识格点多边形、认识格点多边形2 2、识别凹凸多边形、识别凹凸多边形3 3、归纳格点多边形面积的求法（割补法、皮克定理、归纳格点多边形面积的求法（割补法、皮克定理数格点算面积）数格点算面积）4 4、会数格点多边形的内部及边上的格点数。、会数格点多边形的内部及边上的格点数。 下下图中每个图中每个数学味数学味正方形的面积都是正方形的面积都是1，那么图中这只，那么图中这只“狗狗”所占的面积是多少？所占的面积是多少？趣味数学趣味数学举一反三：1 1、( (第第六六届届“华华杯杯赛赛”试试题题) )图图中中正正六六边边形形ABCDEF的的面面积积是是54，AP= =2PF，CQ= =2BQ，求求阴阴影影四四边边形形CEPQ的的面面积积2 2、三角形格点问题三角形格点问题 所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“”“”或或“”“”，所形成的三角形都是等边三角形规定它的面积为所形成的三角形都是等边三角形规定它的面积为1，以这样的，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形关于三角形格点多边点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：形的面积同样有它的计算公式： 如果用如果用S表示面积，表示面积，N表示图形内包含的格点数，表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上表示图形周界上的格点数，那么有的格点数，那么有 即：即：格点多边形面积等于图形内部所包含格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的格点数的2倍与周界上格点数的和减去倍与周界上格点数的和减去2举一反三：1 1、求下列格点多边形的面积求下列格点多边形的面积( (每相邻三个点每相邻三个点“”“”或或“”“”成面积为成面积为1 1的等边三角形的等边三角形) ) 巩固：2 2、把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是_平方分米当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。希尔伯特再见！